河北省2026屆高三上學期大數(shù)據(jù)應(yīng)用調(diào)研聯(lián)合測評（Ⅳ）數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．3．已知復數(shù)是虛部為正數(shù)的純虛數(shù)，且滿足，則（

）A．1 B．2 C．1或2 D．34．已知函數(shù)，則“函數(shù)的圖象的一條對稱軸為”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件5．已知長方體的外接球表面積為，且，則該長方體的體積的最大值為（

）A． B． C．3 D．6．在邊長為2的等邊中，點為內(nèi)切圓上一點，則（

）A．1 B． C．2 D．37．已知為定義在上的偶函數(shù)，當時，，若方程恰有6個不同的根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．2025年，青年數(shù)學家王虹和她的合作伙伴約書亞·扎爾（JoshuaZahl）通過一系列復雜的數(shù)學論證和創(chuàng)新的方法，成功破解了三維掛谷猜想，轟動整個數(shù)學界．掛谷猜想的二維表述為：一個長度為1的線段在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動和平移，轉(zhuǎn)過后，回到原位置，掃過的最小面積是多少？甲同學研究線段在圓上旋轉(zhuǎn)掃過面積問題：已知圓半徑為2，點為圓上兩點，且，則線段旋轉(zhuǎn)后（始終在圓上），該線段掃過的面積為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知正實數(shù)、滿足，則下列說法正確的是（

）A． B．的最小值為C．的最小值為 D．存在、滿足10．在中，內(nèi)角的對邊分別為，,，則下列說法正確的是（

）A． B．若為等腰三角形，則C．當時， D．當時，11．已知橢圓的左、右頂點分別為，且的離心率為，點在直線上，點為直線上的動點，直線與的另一個交點為，記線段的中點為，則下列說法正確的是（

）A．B．當時，的面積為C．當變化時，直線與直線的斜率之積恒為定值D．存在，滿足三、填空題12．若隨機變量，則．13．已知數(shù)列為等差數(shù)列，為的前項和，若，則．14．若，且關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為．四、解答題15．如圖，在三棱錐中，平面，，，，．(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．16．已知數(shù)列滿足．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為表示不大于的最大整數(shù)，求．17．在某直播平臺上購物成為了很多人最喜歡的購物方式．近日該平臺發(fā)現(xiàn)新上平臺的商品經(jīng)常收到買家投訴，于是進行調(diào)研分析，發(fā)現(xiàn)購買商品的只有青年和中老年（年齡>44）兩類購買者，從所有購買商品的買家中，隨機抽取青年購買者和中老年購買者各100人，給商品打分分）并提出建議，分數(shù)統(tǒng)計如下表格(假設(shè)各組數(shù)據(jù)在對應(yīng)的區(qū)間內(nèi)均勻分布)：給商品打分區(qū)間青年購買者5354515中老年購買者3540205(1)請根據(jù)表格數(shù)據(jù)，估計青年購買者打分的平均數(shù)和中老年購買者打分的中位數(shù)（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點值為代表）；(2)若購買者打分在區(qū)間內(nèi)為“滿意顧客”，其他為“不滿意顧客”．①根據(jù)表格數(shù)據(jù)，將頻率視為概率，從商品的所有購買者中隨機抽取一名購買者，記事件“該購買者為青年購買者”，事件“該購買者為滿意顧客”，計算的估計值；②請利用表格數(shù)據(jù)補充完整下列列聯(lián)表（注：區(qū)間頻數(shù)若不是整數(shù)，四舍五入后保留整數(shù)），并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為對商品是否滿意與購買者群體有關(guān)．滿意顧客不滿意顧客合計青年購買者100中老年購買者100合計200附：．0.0500.0100.0013.8416.63510.82818．已知拋物線的焦點為，過的直線與交于兩點，且與軸交于點的準線與軸交于點．(1)當直線的斜率為1時，求的值；(2)是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；(3)求證：為銳角．19．已知函數(shù)是函數(shù)的一個極值點．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有三個零點，且．①求實數(shù)的取值范圍；②求證：．

參考答案1．C【詳解】集合，又，所以，故選：C．2．D【詳解】因為雙曲線的方程為，所以，所以雙曲線的實半軸長為，虛半軸長為，所以，所以漸近線方程為.故選：D．3．A【詳解】設(shè)，代入，得到，解得，即，故，即，解得或－2，因為，所以，故.故選：A．4．B【詳解】由函數(shù)的圖象的一條對稱軸為，得，解得，又因為，所以或，因此“函數(shù)的圖象的一條對稱軸為”是“”的必要不充分條件.故選：B．5．C【詳解】設(shè)長方體的外接球半徑為，且，因為外接球表面積為，故，即，又因為，可得，即，所以該長方體的體積，當且僅當時，等號成立，所以長方體的體積的最大值為.故選：C．6．B【詳解】設(shè)點為內(nèi)切圓圓心，則，則，因為是等邊三角形，故點也是的重心，故，故，由等面積得，則，故.故選：B7．B【詳解】設(shè)，由于函數(shù)為偶函數(shù)，且當時，，故的大致圖象如圖所示，當時，函數(shù)的圖象與直線有四個交點，橫坐標分別設(shè)為，，且，故四個方程的根的個數(shù)分別為0，0，4，2，故方程恰有6個不同的根，因此B選項正確．容易驗證取其他值時，不符合題意．故選：B.8．C【詳解】如圖，由題意知線段掃過的面積為圖中陰影部分的面積，點到的距離，故線段旋轉(zhuǎn)過程中始終與以為圓心，1為半徑的小圓相切，記旋轉(zhuǎn)前和旋轉(zhuǎn)后的切點分別為，矩形的面積為，故；等邊三角形的面積為，扇形的面積為，故；三角形的面積為，扇形的面積為，故.故陰影部分面積.故選：C．9．AC【詳解】由正實數(shù)、滿足得，又因為，解得，故A選項正確；由已知條件及得，解得，當且僅當時，即當時，取等號，故B選項錯誤；由已知條件及得，解得，當且僅當時，即當時，取等號，故C選項正確；由得，則，當且僅當時，即當時，等號成立，故D選項錯誤．故選：AC．10．BC【詳解】對于A，，即，因為，故，故，故，A選項錯誤；對于A，由對A選項的分析可知，當為等腰三角形時，為等邊三角形，故，則，解得，故B選項正確；對于C，當時，，結(jié)合余弦定理得，即，即，故C選項正確；對于D，由，又由對C選項分析可知，當時，，代入，解得，故，代入，得，故，即，故D選項錯誤．故選：BC．11．AC【詳解】對于A，依題意，，則，由離心率為，得，解得，A正確；對于B，當時，點，線段的中點為橢圓的上頂點，即點，的面積為，B錯誤；對于C，設(shè)，則，直線與直線的斜率分別為，，則，C正確；對于D，假設(shè)存在，使得，由為線段的中點，得與矛盾，因此假設(shè)不成立，即不存在，使得，D錯誤.故選：AC12．【詳解】由于隨機變量，故，因此．故答案為：13．2027【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)知，則．故答案為：202714．【詳解】因為，所以，所以不等式等價于，設(shè)，則，令，解得，令，解得，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故；設(shè)，則，令，解得，令，解得，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，因為恒成立，所以，即．故答案為：15．(1)證明見解析；(2)．【詳解】（1）因為平面，平面，所以．因為，所以．又因為平面，故平面．又因為平面，所以平面平面．（2）因為，所以以點為坐標原點，以，所在直線分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，設(shè)平面的法向量為，則即，令得，故平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．16．(1)證明見解析，(2)【詳解】（1）解：由數(shù)列滿足，可得，又由，所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，即，所以數(shù)列的通項公式為.（2）解：由（1）知：，所以，故，因為，故，因此．17．(1)平均數(shù)6.6，中位數(shù)4.125(2)①；②表格見解析，認為對商品是否滿意與購買者群體有關(guān)【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)可知青年購買者打分的平均數(shù)．由數(shù)據(jù)可知中老年購買者打分在區(qū)間內(nèi)的頻率為，故其中位數(shù)滿足：，解得．（2）“假設(shè)各組數(shù)據(jù)在對應(yīng)的區(qū)間內(nèi)均勻分布”，①由題意知，．因此．②由表格數(shù)據(jù)知“滿意的青年購買者”的人數(shù)為（人），“不滿意的青年購買者”的人數(shù)為70人；“滿意的中老年購買者”的人數(shù)為（人），“不滿意的中老年購買者”的人數(shù)為88人，故補充完整的列聯(lián)表如下：滿意顧客不滿意顧客合計青年購買者3070100中老年購買者1288100合計42158200零假設(shè)為：對商品是否滿意與購買者群體無關(guān)．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為對商品是否滿意與購買者群體有關(guān)，此判斷犯錯誤的概率不超過0.01．18．(1)4(2)存在，1(3)證明見解析【詳解】（1）設(shè)兩點坐標分別為，由題意知的坐標為（1，0），當直線的斜率為1時，直線的方程為，聯(lián)立消去，整理得，解得，故，點坐標為,故，故．（2）存在，理由如下：由題可知，直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去得，，由題意知點坐標為，故．，故，故時，所以存在滿足題意的常數(shù)，且.（3）證明：，故，顯然三點不共線，故為銳角．19．(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2）．(2)①；②證明見解析【詳解】（1）由題知，因為是函數(shù)的一個極值點，所以，即，解得，故，令，解得或，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減．所以是函數(shù)的極大值點，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間是（0