河北省部分高中2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期12月期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，，(i為虛數(shù)單位)，則（

）A． B．1 C． D．32．已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．3．已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1，方差為0，則數(shù)據(jù)，的方差為（

）A．0 B．1 C．2 D．34．的展開式中的系數(shù)為（

）A．12 B．60 C．160 D．2405．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．某智能物流車的“實(shí)際配送向量D”“規(guī)劃路線向量R”“交通擁堵修正向量J”滿足關(guān)系式：D=3R+2J.已知條件如下：實(shí)際配送向量，交通擁堵修正向量J與向量垂直，配送效率等級(jí)通過“規(guī)劃路線向量R的模(單位：km)”判定，標(biāo)準(zhǔn)如下表(一般情況下，認(rèn)定“停滯”屬于無效配送)：配送效率等級(jí)超高效高效常規(guī)低效停滯模的范圍若此次配送為有效配送，則此次配送的效率等級(jí)為（

）A．超高效 B．高效 C．常規(guī) D．低效7．如圖，三棱柱中，為中點(diǎn)，為棱上一點(diǎn)，為側(cè)面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為（

）A．1 B．C． D．28．若函數(shù)（其中），存在唯一整數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知，，且，則（

）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，則滿足過點(diǎn)可作出3條直線與圖象相切的充分條件是（

）A．， B．C．點(diǎn)在射線上 D．點(diǎn)在曲線上11．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，且交的右支于點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的左支上一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．三、填空題12．已知函數(shù)，則滿足的的值為.13．若點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.14．在平面四邊形中，，若滿足上述條件的平面四邊形有且只有1個(gè)，則邊的取值范圍是.四、解答題15．已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得的的最小值.16．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)點(diǎn)在曲線上，求的最大值.17．如圖1，在菱形中，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)在邊AD，AB上（不含端點(diǎn)），且存在實(shí)數(shù)使，沿EF將向上折起得到，使得平面平面，如圖2所示．(1)若，求的值；(2)當(dāng)點(diǎn)的位置變化時(shí)，平面與平面的夾角的余弦值是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由．18．已知是橢圓上的兩點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，且的橫坐標(biāo)之和為，設(shè)直線為線段的中垂線，過點(diǎn)作直線，垂足為．求垂足橫坐標(biāo)的取值范圍，并求的軌跡方程．19．在生態(tài)研究中，觀察兩種昆蟲的信息傳遞，這兩種昆蟲的信息素中均含某種特殊化學(xué)物質(zhì)A，A的濃度代表環(huán)境是否安全，但種群甲與種群乙的響應(yīng)恰好相反，種群甲接收到含高濃度A的信息素后，認(rèn)為“安全”，傳遞含高濃度A的信息素，反之認(rèn)為“危險(xiǎn)”，傳遞含低濃度A的信息素；種群乙接收到含高濃度A的信息素后，認(rèn)為“危險(xiǎn)”，傳遞含低濃度A的信息素，反之認(rèn)為“安全”，傳遞含高濃度A的信息素，初始時(shí)，第1只昆蟲屬于種群甲，其接受到了“安全”的環(huán)境信息并開始傳遞．每只昆蟲傳遞信息時(shí)，有的概率將信息素傳遞給同種群的昆蟲，的概率將信息素傳遞給另一種群的昆蟲，每次傳遞僅傳遞給一只昆蟲，且每只昆蟲傳遞信息的準(zhǔn)確性與傳遞給的對(duì)象無關(guān)．(1)設(shè)為第n只昆蟲屬于種群甲的概率，當(dāng)時(shí)，求；(2)求第n只昆蟲傳遞含高濃度化學(xué)物質(zhì)的信息素的概率；(3)證明：當(dāng)時(shí)，，并闡述若要使這兩種昆蟲種群更加適應(yīng)環(huán)境，p應(yīng)該滿足的要求及原因．

參考答案1．C【詳解】，利用復(fù)數(shù)相等的充分必要條件可得：.故選：C.2．B【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，故選：B.3．B【詳解】,的平均數(shù)為1，方差為0，，，，，，方差為故選：B.4．B【詳解】因?yàn)榈亩?xiàng)展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以，所以的展開式中的系數(shù)為60.故選：B5．D【詳解】先確定函數(shù)定義域：由得，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.令，則，故是奇函數(shù).因?yàn)槠婧瘮?shù)，故需為偶函數(shù).偶函數(shù)滿足，即，利用正弦函數(shù)性質(zhì)，得，解得.由，當(dāng)時(shí)，取最小值.故選：D6．B【詳解】設(shè)向量，因?yàn)橄蛄颗c垂直，且，可得，解得或，所以或，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以屬于高效；?dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以屬于停滯，因?yàn)椤巴睂儆跓o效配送，排除此種情況，所以此時(shí)配送的效率等級(jí)為高效.故選：B.7．A【詳解】由題意知，，在上取點(diǎn)，使得，則且，所以四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，所以平面.在上取點(diǎn)，使得，有，則，又平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，則點(diǎn)P的軌跡為線段.在中，，由余弦定理，得，即點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.故選：A8．B【詳解】，即，令，，由，，所以函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，且，，，，，如圖，作出函數(shù)與的大致圖象，又，，且直線，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合圖象可得，得.故選：B.9．AC【詳解】是正數(shù)，則，，故選項(xiàng)A正確；，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，取等號(hào)，故選項(xiàng)C正確；結(jié)合A選項(xiàng)，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.10．ACD【詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)過點(diǎn)的直線與的圖象切于點(diǎn)，則切線斜率，即，去分母整理得，切線有3條，設(shè)，則有3個(gè)零點(diǎn)，，令，得或，所以，對(duì)于A，取，得，A正確；對(duì)于B，取，則，不滿足，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，，則，，滿足，C正確；對(duì)于D，令，，則，，滿足，D正確；故選：ACD.11．ACD【詳解】對(duì)雙曲線：，，所以.雙曲線在一、三象限的漸近線方程為.如圖：直線所在的直線方程為：.由，即.由且，即.又，所以.對(duì)A：因?yàn)?，所以，，所以，故A正確；對(duì)B：因?yàn)?，，所以不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)D：設(shè)雙曲線左焦點(diǎn)為，則，所以，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào).故D正確。故選：ACD12．【詳解】因，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，解得，即，若，則，解得，不合題意，舍去；若，則，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，，解得，不合題意，舍去.綜上，可得.故答案為：.13．【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.14．【詳解】在中，由余弦定理可得，所以，由正弦定理可得，即，因?yàn)?，所以，所以，在中，由正弦定理可得，即，因?yàn)闈M足上述條件的平面四邊形有且只有1個(gè)，所以或，得或，所以邊的取值范圍是.故答案為：

15．(1)(2)【詳解】（1）由于，故解得所以.（2）由（1）知，所以，則數(shù)列是以4為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列；所以.由，得，即，則，或，又因?yàn)?，所以的最小值?.16．(1)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減(2)【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）由（1）可知，的最大值為又時(shí)，，，由題意得，，，不妨設(shè)，則，設(shè)，則，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，的最大值為117．(1)(2)是定值；定值為【詳解】（1）在圖2中，取EF中點(diǎn)O，BD中點(diǎn)M，連接OP，OM，因?yàn)?，即，所以，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，由題意可知，以O(shè)為原點(diǎn)，OF、OM、OP所在直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，∴，，，，故，∵，∴，∴，解得（舍）或，∴，∴，∴圖中點(diǎn)E在靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)處，即（2）設(shè)平面與平面的夾角為．由（1）易知平面PEF的法向量，，，設(shè)平面的法向量，則，即，取，得，∴．∴．∴無論點(diǎn)E的位置如何，平面與平面的夾角的余弦值為定值．18．(1)；(2)，且.【詳解】（1）由題意解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，線段的中點(diǎn)，則，，①當(dāng)時(shí)，的中垂線為軸，過點(diǎn)向中垂線作垂線，垂足為點(diǎn)②當(dāng)時(shí)，直線的斜率，則，所以，將代入橢圓方程得，所以，從而或，線段的中垂線方程為，即．故線段的中垂線過定點(diǎn)故垂足軌跡是在以為圓心，半徑為的圓弧，其方程為過點(diǎn)與垂直的直線為，聯(lián)立方程組消去得，因?yàn)?，所以，綜上①，②所得所以垂足軌跡方程是，且．19．(1)(2)(3)答案見解析【詳解】（1）由題意可知，當(dāng)時(shí)，由初始條件為第1只昆蟲是種群甲，所以．當(dāng)時(shí)，第n只昆蟲屬于種群甲可能有兩種情況：第只是甲且第n只與它同種群，或第只是乙且第n只與它不同種群，也即，得，

當(dāng)時(shí)，，解得，即當(dāng)，時(shí)，第n只昆蟲屬于種群甲的概率恒為，又．故第n只昆蟲屬于種群甲的概率，則．（2）由題意可知，當(dāng)時(shí)，由初始條件為第1只昆蟲是種群甲，其傳遞高濃度信號(hào)，所以．當(dāng)時(shí)，第n只昆蟲傳遞高濃度信號(hào)可能有兩種情況：第n只昆蟲接收高濃度信號(hào)且是甲種群，或第n只昆蟲接收低濃度信號(hào)且是乙種群，則，即．