第1頁（共1頁）2023-2024學(xué)年江蘇省無錫市惠山區(qū)天一實驗學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一.選擇題（共10小題，每小題3分，共計30分）1．（3分）下列方程中是一元二次方程是（）A．1x2+x=2 B．2C．x2+y2＝5 D．3x2﹣5x+2＝02．（3分）已知3a＝2b（a≠0，b≠0），下列變形錯誤的是（）A．a(chǎn)b=23 B．ba=3．（3分）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的兩個根是x1，x2，則x1?x2的值是（）A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．44．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則tanA的值是（）A．35 B．34 C．535．（3分）某網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺2020年的新注冊用戶數(shù)為100萬，2022年的新注冊用戶數(shù)為178萬，設(shè)新注冊用戶數(shù)的年平均增長率為x（x＞0），根據(jù)題意所列方程正確的是（）A．100x2＝178 B．100（1+x）2＝178 C．100（1﹣x）2＝178 D．100（1+2x）＝1786．（3分）下列說法正確的是（）A．等弧所對的圓心角相等 B．相等的弦所對的弧相等 C．過三點一定可以確定一個圓 D．垂直于半徑的直線是圓的切線7．（3分）如圖，將一把兩邊都帶有刻度的直尺放在半圓形紙片上，使其一邊經(jīng)過圓心O，另一邊所在直線與半圓相交于點D、E，量出半徑OC＝5cm，弦DE＝8cm，則直尺的寬度為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm8．（3分）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，過點A作AB的垂線交BC于點D，DE平分∠ADB交AB于點E．若DE＝4，則AC的長為（）A．3 B．4 C．23 D．9．（3分）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點稱為格點，頂點均在格點上的圖形稱為格點圖形，圖中的圓弧為格點△ABC外接圓的一部分，小正方形邊長為1，圖中陰影部分的面積為（）A．52π?74 B．52π?72 C．5410．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，OA＝OB＝35，點C為平面內(nèi)一動點，BC=32，連接AC，點M是線段AC上的一點，且滿足CM：MA＝1：2．當(dāng)線段OM取最大值時，點A．（35，65） B．（355C．（65，125） D．（65二.填空題（共8小題，每小題3分共計24分）11．（3分）在比例尺為像1：1000000的地圖上，相距75cm的兩地A、B的實際距離為km．12．（3分）已知圓錐的底面半徑是1cm，母線長為3cm，則該圓錐的側(cè)面積為cm2．13．（3分）如圖，點P把線段AB的黃金分割點，且AP＜BP．如果AB＝2，那么BP＝（結(jié)果保留小數(shù)）．14．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D在⊙O上，若∠ABC＝70°，則∠D的度數(shù)為°．15．（3分）如圖，過原點O的直線與反比例函數(shù)y1=k1x（x＞0）和y2=k2x（x＞0）的圖象分別交于點A1，A216．（3分）小明對《數(shù)書九章》中的“遙度圓城”問題進(jìn)行了改編：如圖，一座圓形城堡有正東、正南、正西和正北四個門，出南門向東走一段路程后剛好看到北門外的一棵大樹，向樹的方向走9里到達(dá)城堡邊，再往前走6里到達(dá)樹下．則該城堡的外圍直徑為里．17．（3分）若實數(shù)x，y，m滿足x+y+m＝6，3x﹣y+m＝4，則代數(shù)式﹣2xy+1的最大值為．18．（3分）如圖，DE平分等邊△ABC的面積，折疊△BDE得到△FDE，AC分別與DF，EF相交于G，H兩點．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的長是．三.解答題（共10小題，共計96分）19．（8分）解方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）x2﹣4x﹣2＝0．20．（8分）計算：（1）8?4sin45°+(（2）2cos60°+|1?221．（8分）如圖，△ABC中，CD是邊AB上的高，且ADCD（1）求證：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大?。?2．（10分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若△ABC的兩邊AB，AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根．第三邊BC的長為5，當(dāng)△ABC是等腰三角形時，求k的值．23．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．（1）經(jīng)過A、B、C三點的圓弧所在圓的圓心M的坐標(biāo)為；（2）這個圓的半徑為；（3）直接判斷點D（5，﹣2）與⊙M的位置關(guān)系．點D（5，﹣2）在⊙M（填內(nèi)、外、上）；（4）在方格中，連接AB，AC，BC，將△ABC以原點O為位似中心，縮小為原來的12，請畫出縮小后的圖形△A1B1C124．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，點F在線段AB的延長線上，且∠AFE＝∠ABC．（1）求證：EF與⊙O相切；（2）若BF＝1，sin∠AFE=45，求25．（10分）山西特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進(jìn)價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低2元，則平均每天的銷售可增加20千克，若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元，請回答：（1）每千克核桃應(yīng)降價多少元？（2）在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應(yīng)按原售價的幾折出售？26．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊BC落在x軸上，點B的坐標(biāo)為（﹣1，0），AB＝3，BC＝6，邊AD與y軸交于點E．（1）直接寫出點A、C、D的坐標(biāo)；（2）在x軸上取點F（3，0），直線y＝kx+b（k≠0）經(jīng)過點E，與x軸交于點M，連接EF．①當(dāng)∠MEF＝15°時，求直線y＝kx+b（k≠0）的函數(shù)表達(dá)式；②當(dāng)以線段EM為直徑的圓與矩形ABCD的邊所在直線相切時，求點M的坐標(biāo)．27．（12分）如圖，正方形ABCD中，點B關(guān)于直線的CD對稱點為E，F(xiàn)為AD邊上一動點，EF交CD于G，CF交BG于H．（1）當(dāng)F為AD中點時，求證CG＝2DG；（2）若線段DF滿足DF2＝DG?DC．①求證：CF＝BG；②求FDAD28．（12分）【學(xué)習(xí)心得】（1）小雯同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．例如：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一點，且AD＝AC，求∠BDC的度數(shù)．若以點A為圓心，AB長為半徑作輔助圓⊙A，則C，D兩點必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，∠BDC是⊙A的圓周角，則∠BDC＝°．【初步運用】（2）如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝24°，求∠BAC的度數(shù)；【方法遷移】（3）如圖3，已知線段AB和直線l，用直尺和圓規(guī)在l上作出所有的點P，使得∠APB＝30°（不寫作法，保留作圖痕跡）；【問題拓展】（4）①如圖4①，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝m，M為邊CD上的點．若滿足∠AMB＝45°的點M恰好有兩個，則m的取值范圍為．②如圖4②，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC邊上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD的長．

2023-2024學(xué)年江蘇省無錫市惠山區(qū)天一實驗學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一.選擇題（共10小題，每小題3分，共計30分）1．（3分）下列方程中是一元二次方程是（）A．1x2+x=2 B．2C．x2+y2＝5 D．3x2﹣5x+2＝0【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義解答．一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項進(jìn)行驗證，滿足這四個條件者為正確答案．【解答】解：A、不是整式方程，故錯誤．B、是一元一次方程，故錯誤；C、方程含有兩個未知數(shù)，故錯誤；D、符合一元二次方程的定義，正確；故選：D．2．（3分）已知3a＝2b（a≠0，b≠0），下列變形錯誤的是（）A．a(chǎn)b=23 B．ba=【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行變形，再判斷即可．【解答】解：A、∵3a＝2b，∴兩邊都除以3b得：abB、∵3a＝2b，∴兩邊都除以2a得：baC、3a＝2b，∴兩邊都除以2a得：baD、∵3a＝2b，∴兩邊都除以6得：a2故選：B．3．（3分）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的兩個根是x1，x2，則x1?x2的值是（）A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．4【分析】直接根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0的兩個根是x1，x2，∴x1?x2＝3．故選：A．4．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則tanA的值是（）A．35 B．34 C．53【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出tanA=BC【解答】解：∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，∴tanA=BC故選：D．5．（3分）某網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺2020年的新注冊用戶數(shù)為100萬，2022年的新注冊用戶數(shù)為178萬，設(shè)新注冊用戶數(shù)的年平均增長率為x（x＞0），根據(jù)題意所列方程正確的是（）A．100x2＝178 B．100（1+x）2＝178 C．100（1﹣x）2＝178 D．100（1+2x）＝178【分析】根據(jù)2022年的新注冊用戶數(shù)為178萬列方程即可得到答案；【解答】解：由題意可得，100（1+x）2＝178，故選：B．6．（3分）下列說法正確的是（）A．等弧所對的圓心角相等 B．相等的弦所對的弧相等 C．過三點一定可以確定一個圓 D．垂直于半徑的直線是圓的切線【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對A選項、B選項進(jìn)行判斷；根據(jù)確定圓的條件對C選項進(jìn)行判斷；根據(jù)切線的判定定理對D選項進(jìn)行判斷．【解答】解：A．等弧所對的圓心角相等，所以A選項符合題意；B．在同圓或等圓中，相等的弦所對的弧相等，所以B選項不符合題意；C．過不共線的三點一定可以確定一個圓，所以C選項不符合題意；D．過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，所以D選項不符合題意．故選：A．7．（3分）如圖，將一把兩邊都帶有刻度的直尺放在半圓形紙片上，使其一邊經(jīng)過圓心O，另一邊所在直線與半圓相交于點D、E，量出半徑OC＝5cm，弦DE＝8cm，則直尺的寬度為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】過點O作OF⊥DE，垂足為F，由垂徑定理可得出EF的長，再由勾股定理即可得出OF的長【解答】解：過點O作OF⊥DE，垂足為F，∵OF過圓心，∵DE＝8cm，∴EF=12DE＝4∵OC＝5cm，∴OE＝5cm，∴OF=OE2?故選：C．8．（3分）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，過點A作AB的垂線交BC于點D，DE平分∠ADB交AB于點E．若DE＝4，則AC的長為（）A．3 B．4 C．23 D．【分析】過點A作AG⊥BC于點G，根據(jù)含30°，45°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理計算即可．【解答】解：過點A作AG⊥BC于點G，∵∠C＝45°，∴∠GAC＝∠C＝45°，∴GA＝GC，∴AC=G∵∠B＝30°，∠BAD＝90°，∴∠ADB＝60°，∠GAD＝30°，∵DE平分∠ADB，∴∠ADE＝30°，∵DE＝4，∴AE=1∴AD=D∴GD=1∴AG=A∴AC=2故選：D．9．（3分）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點稱為格點，頂點均在格點上的圖形稱為格點圖形，圖中的圓弧為格點△ABC外接圓的一部分，小正方形邊長為1，圖中陰影部分的面積為（）A．52π?74 B．52π?72 C．54【分析】作AB的垂直平分線MN，作BC的垂直平分線PQ，設(shè)MN與PQ相交于點O，連接OA，OB，OC，則點O是△ABC外接圓的圓心，先根據(jù)勾股定理的逆定理證明△AOC是直角三角形，從而可得∠AOC＝90°，然后根據(jù)圖中陰影部分的面積＝扇形AOC的面積﹣△AOC的面積﹣△ABC的面積，進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：如圖：作AB的垂直平分線MN，作BC的垂直平分線PQ，設(shè)MN與PQ相交于點O，連接OA，OB，OC，則點O是△ABC外接圓的圓心，由題意得：OA2＝12+22＝5，OC2＝12+22＝5，AC2＝12+32＝10，∴OA2+OC2＝AC2，∴△AOC是直角三角形，∴∠AOC＝90°，∵AO＝OC=5∴圖中陰影部分的面積＝扇形AOC的面積﹣△AOC的面積﹣△ABC的面積=90π×(5)2360?=5π=5π=5π故選：D．10．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，OA＝OB＝35，點C為平面內(nèi)一動點，BC=32，連接AC，點M是線段AC上的一點，且滿足CM：MA＝1：2．當(dāng)線段OM取最大值時，點A．（35，65） B．（355C．（65，125） D．（65【分析】由題意可得點C在以點B為圓心，32為半徑的⊙B上，在x軸的負(fù)半軸上取點D（?352，0），連接BD，分別過C和M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足為F、E，先證△OAM∽△DAC，得OMCD=OAAD=23，從而當(dāng)CD取得最大值時，OM取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)D，B，C三點共線，且點B在線段DC【解答】解：∵點C為平面內(nèi)一動點，BD=3∴點C在以點B為圓心，32為半徑的⊙B在x軸的負(fù)半軸上取點D（?3連接BD，分別過C、M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足為F、E，∵OA＝OB=35∴AD＝OD+OA=9∴OAAD∵CM：MA＝1：2，∴OAAD∵∠OAM＝∠DAC，∴△OAM∽△DAC，∴OMCD∴當(dāng)CD取得最大值時，OM取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)D，B，C三點共線，且點B在線段DC上時，CD取得最大值，∵OA＝OB=35，OD=∴BD=O∴CD＝BC+BD＝9，∵OMCD∴OM＝6，∵y軸⊥x軸，CF⊥OA，∴∠DOB＝∠DFC＝90°，∵∠BDO＝∠CDF，∴△BDO∽△CDF，∴OBCF=BD解得CF=18同理可得，△AEM∽△AFC，∴MECF=AM解得ME=12∴OE=O∴當(dāng)線段OM取最大值時，點M的坐標(biāo)是（655，故選D．二.填空題（共8小題，每小題3分共計24分）11．（3分）在比例尺為像1：1000000的地圖上，相距75cm的兩地A、B的實際距離為750km．【分析】比例尺＝圖上距離與實際距離的比，由此即可計算．【解答】解：75÷11000000=75000000（cm∴兩地A、B的實際距離為750km．故答案為：750．12．（3分）已知圓錐的底面半徑是1cm，母線長為3cm，則該圓錐的側(cè)面積為3πcm2．【分析】圓錐的側(cè)面積＝底面周長×母線長÷2，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．【解答】解：圓錐的側(cè)面積＝2π×3×1÷2＝3π．故答案為：3π．13．（3分）如圖，點P把線段AB的黃金分割點，且AP＜BP．如果AB＝2，那么BP＝1.2（結(jié)果保留小數(shù)）．【分析】由黃金分割的定義得APBP【解答】解：∵點P是線段AB的黃金分割點（AP＜BP），∴APBP∴BP=5故答案為：1.2．14．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D在⊙O上，若∠ABC＝70°，則∠D的度數(shù)為20°．【分析】由AB為⊙O直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，即可求得∠ACB＝90°，根據(jù)題意即可求得∠A的度數(shù)，然后由同弧所對的圓周角相等，即可求得∠D的度數(shù)．【解答】解：∵AB為⊙O直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝70°，∴∠A＝90°﹣70°＝20°，∴∠D＝∠A＝20°．故答案為：20．15．（3分）如圖，過原點O的直線與反比例函數(shù)y1=k1x（x＞0）和y2=k2x（x＞0）的圖象分別交于點A1，A2，若O【分析】△OA1N∽△OA2M，根據(jù)三角形相似比的平方等于面積比，即可求解．【解答】解：分別過點A1、A2作x軸的垂線，垂足分別為M、N，則△OA1N∽△OA2M，∵OA則△OA2M和△OA1N的面積比為：9：4，而k1故答案為：9416．（3分）小明對《數(shù)書九章》中的“遙度圓城”問題進(jìn)行了改編：如圖，一座圓形城堡有正東、正南、正西和正北四個門，出南門向東走一段路程后剛好看到北門外的一棵大樹，向樹的方向走9里到達(dá)城堡邊，再往前走6里到達(dá)樹下．則該城堡的外圍直徑為9里．【分析】由AB切圓于D，BC切圓于C，連接OD，得到OD⊥AB，OC⊥BC，BD＝BC＝9里，由勾股定理求出AC=AB2?BC2【解答】解：如圖，⊙O表示圓形城堡，由題意知：AB切圓于D，BC切圓于C，連接OD，∴OD⊥AB，OC⊥BC，BD＝BC＝9里，∵AD＝6里，∴AB＝AD+BD＝15里，∴AC=A∵tanA=OD∴OD6∴OD＝4.5（里）．∴城堡的外圍直徑為2OD＝9（里）．故答案為：9．17．（3分）若實數(shù)x，y，m滿足x+y+m＝6，3x﹣y+m＝4，則代數(shù)式﹣2xy+1的最大值為32【分析】結(jié)合已知條件解含參的二元一次方程組，然后代入﹣2xy+1中確定其取值即可．【解答】解：由題意可得x+y=6?m3x?y=4?m解得x=5?m則﹣2xy+1＝﹣2×5?m=?(5?m)(7?m)=?m=?(m?6∴代數(shù)式﹣2xy+1的最大值為32故答案為：3218．（3分）如圖，DE平分等邊△ABC的面積，折疊△BDE得到△FDE，AC分別與DF，EF相交于G，H兩點．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的長是m2+【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到△BDE≌△FDE，根據(jù)已知條件得到圖形ACED的面積＝S△BDE＝S△FDE，求得S△FHG＝S△ADG+S△CHE，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵折疊△BDE得到△FDE，∴△BDE≌△FDE，∴S△BDE＝S△FDE，∠F＝∠B＝60°＝∠A＝∠C，∵DE平分等邊△ABC的面積，∴圖形ACED的面積＝S△BDE＝S△FDE，∴S△FHG＝S△ADG+S△CHE，∵∠AGD＝∠FGH，∠CHE＝∠FHG，∴△ADG∽△FHG，△CHE∽△FHG，∴S△ADGS△FHG∴S△ADG∴GH2＝m2+n2，解得GH=m2+n故答案為：m2三.解答題（共10小題，共計96分）19．（8分）解方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）x2﹣4x﹣2＝0．【分析】（1）方程利用因式分解法求解即可；（2）方程利用配方法求解即可．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，（x﹣5）（x+1）＝0，x﹣5＝0或x+1＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1；（2）x2﹣4x﹣2＝0，x2﹣4x＝2，x2﹣4x+4＝2+4，（x﹣2）2＝6，x﹣2＝±6，∴x1＝2+6，x2＝2?20．（8分）計算：（1）8?4sin45°+(（2）2cos60°+|1?2【分析】（1）先化簡各式，然后再進(jìn)行計算即可解答；（2）先化簡各式，然后再進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：（1）8＝22?4×＝22?22＝1；（2）2cos60°+|1?＝2×1＝1+2=221．（8分）如圖，△ABC中，CD是邊AB上的高，且ADCD（1）求證：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大?。痉治觥浚?）由兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似，即可證明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等可得：∠A＝∠BCD，然后由∠A+∠ACD＝90°，可得：∠BCD+∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°．【解答】（1）證明：∵CD是邊AB上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∵ADCD∴△ACD∽△CBD；（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A＝∠BCD，在△ACD中，∠ADC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°．22．（10分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若△ABC的兩邊AB，AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根．第三邊BC的長為5，當(dāng)△ABC是等腰三角形時，求k的值．【分析】（1）計算根的判別式的值得到Δ＞0，則根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論；（2）利用求根公式解方程得到AB、AC的長為k+1，k，討論：當(dāng)k+1＝5時，三角形三邊長分別為5、5、4；當(dāng)k＝5時，三角形三邊長分別為5、5、6．【解答】（1）證明：∵Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+k）＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4k＝1＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）x=2k+1±1解得x1＝k+1，x2＝k，即AB、AC的長為k+1，k，當(dāng)k+1＝5時，即k＝4，三角形三邊長分別為5、5、4；當(dāng)k＝5時，三角形三邊長分別為5、5、6；綜上所述，k的值為4或5．23．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．（1）經(jīng)過A、B、C三點的圓弧所在圓的圓心M的坐標(biāo)為（2，0）；（2）這個圓的半徑為25（3）直接判斷點D（5，﹣2）與⊙M的位置關(guān)系．點D（5，﹣2）在⊙M內(nèi)（填內(nèi)、外、上）；（4）在方格中，連接AB，AC，BC，將△ABC以原點O為位似中心，縮小為原來的12，請畫出縮小后的圖形△A1B1C1【分析】（1）連接AB，BC，分別作線段AB，BC的垂直平分線，交于點M，則點M即為經(jīng)過A、B、C三點的圓弧所在圓的圓心，即可得出答案．（2）連接AM，利用勾股定理求出AM的值，即可得出答案．（3）連接DM，利用勾股定理求出DM的值，與⊙M的半徑作比較，即可得出結(jié)論．（4）利用位似的性質(zhì)作圖即可．【解答】解：（1）連接AB，BC，分別作線段AB，BC的垂直平分線，交于點M，則點M即為經(jīng)過A、B、C三點的圓弧所在圓的圓心，點M的坐標(biāo)為（2，0）．故答案為：（2，0）．（2）連接AM，由勾股定理得，AM=2∴這個圓的半徑為25故答案為：25（3）連接DM，由勾股定理得，DM=3∵13＜25∴點D（5，﹣2）在⊙M內(nèi)．故答案為：內(nèi)．（4）如圖，△A1B1C1即為所求．24．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，點F在線段AB的延長線上，且∠AFE＝∠ABC．（1）求證：EF與⊙O相切；（2）若BF＝1，sin∠AFE=45，求【分析】（1）根據(jù)圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理可得OE⊥EF即可；（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)可求出半徑，進(jìn)而得到AB的長，再根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出AC，由勾股定理求出BC即可．【解答】（1）證明：如圖，連接OE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠FOE＝∠OAE+∠OEA＝2∠OAE，∵∠CAB＝2∠EAB，∴∠CAB＝∠FOE，又∵∠AFE＝∠ABC，∴∠CAB+∠ABC＝∠FOE+∠AFE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°＝∠FOE+∠AFE，∴∠OEF＝90°，即OE⊥EF，∵OE是半徑，∴EF是⊙O的切線；（2）解：在Rt△EOF中，設(shè)半徑為r，即OE＝OB＝r，則OF＝r+1，∵sin∠AFE=4∴r＝4，∴AB＝2r＝8，在Rt△ABC中，sin∠ABC=ACAB=sin∠AFE=∴AC=45×∴BC=A25．（10分）山西特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進(jìn)價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低2元，則平均每天的銷售可增加20千克，若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元，請回答：（1）每千克核桃應(yīng)降價多少元？（2）在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應(yīng)按原售價的幾折出售？【分析】（1）設(shè)每千克核桃降價x元，利用銷售量×每件利潤＝2240元列出方程求解即可；（2）為了讓利于顧客因此應(yīng)下降6元，求出此時的銷售單價即可確定幾折．【解答】（1）解：設(shè)每千克核桃應(yīng)降價x元．根據(jù)題意，得（60﹣x﹣40）（100+x化簡，得x2﹣10x+24＝0解得x1＝4，x2＝6答：每千克核桃應(yīng)降價4元或6元．（2）解：由（1）可知每千克核桃可降價4元或6元．因為要盡可能讓利于顧客，所以每千克核桃應(yīng)降價6元．此時，售價為：60﹣6＝54（元），設(shè)按原售價的m折出售，則有：60×m解得m＝9答：該店應(yīng)按原售價的九折出售．26．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊BC落在x軸上，點B的坐標(biāo)為（﹣1，0），AB＝3，BC＝6，邊AD與y軸交于點E．（1）直接寫出點A、C、D的坐標(biāo)；（2）在x軸上取點F（3，0），直線y＝kx+b（k≠0）經(jīng)過點E，與x軸交于點M，連接EF．①當(dāng)∠MEF＝15°時，求直線y＝kx+b（k≠0）的函數(shù)表達(dá)式；②當(dāng)以線段EM為直徑的圓與矩形ABCD的邊所在直線相切時，求點M的坐標(biāo)．【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)求出相應(yīng)線段，利用點的坐標(biāo)的意義解答即可；（2）①求出線段OF，利用等腰直角三角形的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系求得點M的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法解答即可；②利用分類討論的思想方法分兩種情況：Ⅰ、當(dāng)以線段EM為直徑的圓與矩形ABCD的邊AB所在直線相切相切時，Ⅱ、當(dāng)以線段EM為直徑的圓與矩形ABCD的邊CD所在直線相切相切時，利用直線與圓相切時圓心到直線的距離等于半徑的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）點B的坐標(biāo)為（﹣1，0），∴OB＝1．∵矩形ABCD中AB＝3，BC＝6，∴CD＝3，OC＝5，AE＝1，DE＝5．∴A（﹣1，3），C（5，0），D（5，3）；（2）①∵點F（3，0），∴OF＝3．∵OE＝3，∴OE＝OF．∴∠OEF＝∠OFE＝45°．∵∠MEF＝15°，∴∠OEM＝60°或30°．∴OM＝OE?tan60°＝33或OM＝OE?tan30°=3∴M（33，0）或（3，0）．∴33k+b=0b=3解得：k=?33b=3∴直線y＝kx+b（k≠0）的函數(shù)表達(dá)式為：y=?33x+3或y=?②設(shè)EM的中點為G，過點G作GH⊥AB于點H，延長HG交CD于點N，則GN⊥CD，如圖，由題意：以線段EM為直徑的圓與矩形ABCD的邊AD，BC所在直線相交．∴以線段EM為直徑的圓與矩形ABCD的邊AB，CD所在直線可能相切．Ⅰ、當(dāng)以線段EM為直徑的圓與矩形ABCD的邊AB所在直線相切相切時，則GH=12設(shè)M（m，0），則OM＝m．∴EM=O∵GH⊥AB，OB⊥AB，EA⊥AB，∴AE∥GH∥BM．∵EG＝GM，∴GH為梯形ABME的中位線．∴GH=12（1+1+m）∴2+m2解得：m=5經(jīng)檢驗，m=5∴M（54Ⅱ、當(dāng)以線段EM為直徑的圓與矩形ABCD的邊CD所在直線相切相切時，則GN=12∵GN⊥CD，MC⊥CD，ED⊥CD，∴DE∥GN∥CM．∵EG＝GM，∴GN為梯形CMED的中位線．∴GN=12（5+5﹣m）∴10?m2解得：m=91經(jīng)檢驗，m=91∴M（9120綜上，當(dāng)以線段EM為直徑的圓與矩形ABCD的邊所在直線相切時，點M的坐標(biāo)為（54，0）或（9127．（12分）如圖，正方形ABCD中，點B關(guān)于直線的CD對稱點為E，F(xiàn)為AD邊上一動點，EF交CD于G，CF交BG于H．（1）當(dāng)F為AD中點時，求證CG＝2DG；（2）若線段DF滿足DF2＝DG?DC．①求證：CF＝BG；②求FDAD【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；（2）①利用相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可；②設(shè)正方形的邊長為a，則AD＝CD＝a，設(shè)FD＝CG＝x，DG＝CD﹣CG＝a﹣x，利用DF2＝DG?DC列出方程，解方程即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝BC，AD∥BC．∵點B關(guān)于直線的CD對稱點為E，∴BC＝CE，∴AD＝CE．∵F為AD中點，∴DF=12∴DF=12∵AD∥BC，∴△FDG∽△ECG，∴DGCG∴DGCG∴CG＝2DG；（2）①證明：∵DF2＝DG?DC，∴DFDG∵∠FDG＝∠CDF＝90°，∴△FDG∽△CDF，∴∠DFG＝∠DCF．∵AD∥BC，∴∠DFG＝∠E，∵點B關(guān)于直線的CD對稱點為E，∴DC垂直平分BE，∴GB＝GE，∴∠E＝∠GBC，∴∠GBC＝∠FCD．在△FDC和△GCB中，∠FCD=∠GBCCD=BC∴△FDC≌△GCB（ASA），∴CF＝BG；②解：由①知：△FDC≌△GCB，∴DF＝CG．設(shè)正方形的邊長為a，則AD＝CD＝a，設(shè)FD＝CG＝x，∴DG＝CD﹣CG＝a﹣x，∵DF2＝DG?DC，∴x2＝（a﹣x）a，∴x2+ax﹣a2＝0，∴x=?a±a∴x=?1+5∴DF=?1+5∴DFAD28．（12分）【學(xué)習(xí)心得】（1）小雯同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．例如：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一點，且AD＝AC，求∠BDC的度