第2章簡(jiǎn)單事件的概率

1.事件的可能性（1）必然事件：一定條件下必然會(huì)發(fā)生的事件叫做必然事件（2）不可能事件：一定條件下必然不會(huì)發(fā)生的事件叫做不可能事件（3）隨機(jī)事件：一定條件下可能發(fā)生、也可能不發(fā)生的事件叫做不確定事件，也叫隨機(jī)事件2.確定隨機(jī)事件發(fā)生的可能結(jié)果的常用方法：①列表；②畫樹狀圖。列表或者畫樹狀圖可以幫助我們分析問(wèn)題，避免重復(fù)和遺漏，既直觀又條理分明3.事件可能性大小的比較：（1）全部結(jié)果范圍內(nèi)，事件包含結(jié)果種數(shù)越多的，可能性越大；（2）確定大小的長(zhǎng)度/面積/體積范圍內(nèi)，事件包含長(zhǎng)度/面積/體積越多的，可能性越大。4.概率：事件發(fā)生的可能性大小稱為事件的概率5.概率一般用P表示，事件A發(fā)生的概率記為P（A）；（1）P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；0＜P（隨機(jī)事件）＜1；（2）概率公式：Pn：事件發(fā)生的各種結(jié)果的可能性相同且互相排斥時(shí)，結(jié)果總數(shù)記為n；m：事件A包含其中的結(jié)果數(shù)（）6.在相同條件下，當(dāng)重復(fù)實(shí)驗(yàn)的次數(shù)大量增加時(shí)，事件發(fā)生的頻率就穩(wěn)定在相應(yīng)的概率附近，此時(shí)，可以用一個(gè)事件發(fā)射個(gè)的頻率來(lái)估計(jì)這一事件發(fā)生的概率7.機(jī)會(huì)均等問(wèn)題，就是要讓所有參與游戲的成員都能夠有相同的概率獲得勝利，這需要他們?cè)谑录心軌颢@勝的結(jié)果的種數(shù)相同；8.實(shí)際問(wèn)題中的概率問(wèn)題，既要知道事件一共有多少種結(jié)果，也需要知道事件A發(fā)生有多少種結(jié)果，所以，列表或樹狀圖可以更好的分析出這兩個(gè)數(shù)據(jù)。9.在學(xué)習(xí)過(guò)統(tǒng)計(jì)方面的知識(shí)后，有時(shí)候我們需要通過(guò)圖表分析數(shù)據(jù)，然后通過(guò)統(tǒng)計(jì)結(jié)果來(lái)獲得計(jì)算概率需要的數(shù)據(jù)。一、事件的可能性1.辨析生活中的事件屬于何種事件錯(cuò)誤：對(duì)生活實(shí)際缺乏常規(guī)經(jīng)驗(yàn)，或?qū)⒖赡苄暂^大的隨機(jī)事件認(rèn)定為必然事件。注意：要注意“太陽(yáng)東升西落”這樣的常識(shí)，生活中必然確定的常識(shí)如物理現(xiàn)象都是必然事件；天氣預(yù)報(bào)、預(yù)測(cè)、經(jīng)驗(yàn)一般都是隨機(jī)事件。也要注意，概率再大，如果不是一定發(fā)生也是隨機(jī)事件；概率再小，如果有可能發(fā)生，那也是隨機(jī)事件。例1判斷下列事件的類型．①飛來(lái)橫禍；②甕中捉鱉；③海底撈月；④一箭雙雕；⑤緣木求魚；⑥雞蛋里挑骨頭．【答案】必然事件：②；不可能事件：③⑤⑥；隨機(jī)事件：①④【分析】本題考查了隨機(jī)事件的概念，明確題中各成語(yǔ)的意思以及隨機(jī)事件的概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念，可得答案．【詳解】解：①飛來(lái)橫禍，是隨機(jī)事件；②甕中捉鱉，是必然事件；③海底撈月，是不可能事件；④一箭雙雕，是隨機(jī)事件；⑤緣木求魚，是不可能事件；⑥雞蛋里挑骨頭，是不可能事件．2.辨析數(shù)學(xué)問(wèn)題中的事件屬于何種事件錯(cuò)誤：不熟悉數(shù)學(xué)定義、定理和性質(zhì)，從而對(duì)描述數(shù)學(xué)問(wèn)題的事件無(wú)法辨析可能性注意：在數(shù)學(xué)問(wèn)題中，常見的定義、定理和性質(zhì)都是必然事件，比如三角形內(nèi)角和為180°，比如二次函數(shù)有且只有一條對(duì)稱軸；有些數(shù)學(xué)問(wèn)題則需要通過(guò)不同情況的討論才能知道結(jié)果，比如等腰三角形底角大于頂角，正數(shù)加負(fù)數(shù)等于零這些都是隨機(jī)事件。例2（24-25七年級(jí)下·湖南衡陽(yáng)·期末）下列語(yǔ)句所描述的事件：①任意畫一個(gè)多邊形，其外角和為360°；②經(jīng)過(guò)任意兩點(diǎn)畫一條直線；③任意畫一個(gè)三角形，其兩邊之和小于第三邊；④任意一個(gè)平行四邊形對(duì)角線相等；其中是隨機(jī)事件的是（填序號(hào)）．【答案】④【分析】本題考查的是隨機(jī)事件，必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，掌握必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．【詳解】解：①任意畫一個(gè)多邊形，其外角和為360°，是必然事件；②經(jīng)過(guò)任意兩點(diǎn)畫一條直線，是必然事件；③任意畫一個(gè)三角形，其兩邊之和小于第三邊，是不可能事件；④任意一個(gè)平行四邊形對(duì)角線相等，不一定。只有矩形（以及正方形）這類特殊的平行四邊形對(duì)角線相等，所以④是隨機(jī)事件；故答案為：④．3.列表法確定事件結(jié)果的種數(shù)錯(cuò)誤：列表時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)常見錯(cuò)誤：①首行首列的所有情況有缺漏；②表格左上到右下的整一斜格不能根據(jù)實(shí)際情況判斷是否計(jì)為結(jié)果數(shù)。注意：列表時(shí)，要先明確每行所有可能性和每列的所有可能性；其次要注意表格中每格的數(shù)據(jù)是否都有意義。具體分情況如下：（1）對(duì)于一個(gè)事件由兩個(gè)獨(dú)立的結(jié)果組合而成的，每行和每列分別列清所有結(jié)果即可，且從左上到右下整一斜格的數(shù)據(jù)是有意義的，比如擲兩個(gè)骰子、兩枚硬幣，或者比如有放回的摸取黑布袋中的小球。圖①：表示擲兩枚骰子所有圖①：表示擲兩枚骰子所有36種點(diǎn)數(shù)的結(jié)果圖②：表示擲兩枚硬幣所有4種點(diǎn)數(shù)的結(jié)果圖③：表示在有2紅1白三個(gè)小球的黑布袋中有放回的摸取一個(gè)小球，摸兩次的所有9種結(jié)果（2）對(duì)于一個(gè)事件有相互聯(lián)系的兩個(gè)結(jié)果組合而成大的，每行每列除了列清所有結(jié)果以外，要注意從左上到右下整一斜格的數(shù)據(jù)無(wú)有意義的，比如（1）中的③情況中，如果是不放回的摸取，則陰影部分的三種情況是不存在的，因此只有6種結(jié)果。例3下面是兩堆共五張印有數(shù)字的卡片，背面則是相同的白色背景。第一堆有2張，第二堆有三張，如下圖所示。將卡片翻過(guò)去，背面朝上，在每堆中分別隨機(jī)取出一張，請(qǐng)列表表示出所有可能性，并回答：第一堆2第一堆25461第二堆（1）這兩張上面的數(shù)字中有奇數(shù)的結(jié)果有多少種？（2）這兩張上面的數(shù)字的和是偶數(shù)的結(jié)果有多少種？（3）這兩張上面的數(shù)字的乘積大于10的結(jié)果有多少種？【答案】（1）4種（2）3種（3）3種【分析】本題主要考查了通過(guò)列表來(lái)列出所有可能的結(jié)果，并根據(jù)不同的事件找到符合要求的結(jié)果的種數(shù)．在列表時(shí)注意，首行首列必須標(biāo)清楚第一堆和第二堆所有的數(shù)字，再在表格中用（x，y）表示出每個(gè)結(jié)果。【詳解】解：所有可能的結(jié)果列表如下：（用（x，y）表示第一堆的數(shù)為x，第二堆的數(shù)為y）1462（2,1）（2,4）（2,6）5（5,1）（5,4）（5,6）（1）有奇數(shù)的結(jié)果共有4種，分別是（2,1）、（5,1）、（5,4）、（5,6）.（2）和是偶數(shù)的結(jié)果有3種，分別是（2,4）、（2,6）、（5,1）.（3）數(shù)字的乘積大于10的結(jié)果有3種，分別是（2,6）、（5,4）、（5,6）.4.樹狀圖法確定事件結(jié)果的種數(shù)錯(cuò)誤：每一樹狀圖“枝杈”上可能有哪些結(jié)果不能一一列舉。注意：在作樹狀圖時(shí)，要注意按照層級(jí)去列，第一層所有結(jié)果列出后，繼續(xù)列第一層下每種結(jié)果的第二層的可能情況，按順序列出不能缺漏。尤其注意，類似小球摸取時(shí)的放回與不放回有區(qū)別，不能混淆。例4在不透明的布袋中放入白色，灰色和黑色小球各1個(gè)，他們只有顏色不同。那么：（1）如果任意摸取其中兩個(gè)小球，一共有多少種不同的結(jié)果？（2）如果任意摸取一個(gè)小球后放回，再摸取一個(gè)小球，兩次摸到的小球顏色不相同的結(jié)果有多少種？請(qǐng)用樹狀圖解決問(wèn)題?！敬鸢浮浚?）3種（2）6種【分析】本題主要考查了求事件的結(jié)果種數(shù)，第（1）中只要枚舉即可，第（2）小題可以通過(guò)樹狀圖求解，因?yàn)槭怯蟹呕氐拿。虼说诙蚊r(shí)和第一次一樣，都分別有3種可能?！驹斀狻浚?）一共有3種，分別是：一白一灰、一白一黑和一灰一黑3種情況。（2）所有可能的結(jié)果列樹狀圖結(jié)果如下：白色白色灰色白色黑色灰色灰色白色黑色黑色灰色白色黑色√√√√√√由樹狀圖可知，兩次摸到的小球顏色不相同的結(jié)果有6種。5.比較事件可能性的大小錯(cuò)誤：不同事件形式不能通過(guò)不同方式比較大小。在統(tǒng)計(jì)所有可能的結(jié)果時(shí)列表錯(cuò)誤或樹狀圖錯(cuò)誤，在比較幾何概型的問(wèn)題時(shí)不知道可以通過(guò)比較幾何圖形的大小實(shí)現(xiàn)。注意：熟悉均等事件和幾何概型分別在比較事件可能性的大小時(shí)的區(qū)別。掌握前面列出的列表法和樹狀圖法的注意事項(xiàng)；掌握幾何概型通過(guò)計(jì)算幾何圖形的大小，代替事件可能性的種數(shù)；例5（24-25六年級(jí)下·上海寶山·期末）以下四個(gè)事件中，摸球一次，摸到紅球的可能性從小到大的排列順序是.（這些球除顏色外都相同）①8個(gè)白球，2個(gè)紅球，3個(gè)黑球；②3個(gè)藍(lán)球，9個(gè)白球，1個(gè)紅球③6個(gè)白球，4個(gè)藍(lán)球，3個(gè)紅球；④2個(gè)黑球，4個(gè)紅球，7個(gè)白球【答案】②①③④【分析】本題考查了事件的可能性，在所有球中紅球占的比例越高，摸到紅球的可能性越大，由此可解．【詳解】解：①一共13個(gè)球，其中2個(gè)紅球，摸到紅球的可能性為213；②一共13個(gè)球，其中1個(gè)紅球，摸到紅球的可能性為113；③一共13個(gè)球，其中3個(gè)紅球，摸到紅球的可能性為313；④一共13個(gè)球，其中4個(gè)紅球，摸到紅球的可能性為413；113因此摸到紅球的可能性從小到大的排列順序是②①③④，故答案為：②①③④．例6（23-24八年級(jí)下·江蘇泰州·期末）“年中狂歡購(gòu)，回饋不停歇，驚喜連連，等你來(lái)拿！”6月18日上午，某商家在萬(wàn)達(dá)廣場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)銷售活動(dòng)，抽獎(jiǎng)活動(dòng)設(shè)置如下的翻獎(jiǎng)牌，翻獎(jiǎng)牌的正面、背面如下，若只能在9個(gè)數(shù)字中選擇一個(gè)數(shù)字翻牌，請(qǐng)解決下面的問(wèn)題：(1)得到以下獎(jiǎng)品的可能性最小的是______；A．平板

B．手機(jī)

C．球拍

D．水壺(2)請(qǐng)你設(shè)計(jì)下面翻獎(jiǎng)牌反面剩余的獎(jiǎng)品，獎(jiǎng)品包含“手機(jī)”、“球拍”、“水壺”，使得抽到“水壺”的可能性>抽到“球拍”的可能性>抽到“手機(jī)”的可能性．【答案】(1)B(2)見解析（答案不唯一）【分析】本題主要考查可能性大小的判斷，解題的關(guān)鍵是理解概率的計(jì)算公式．（1）分別求出獲得手機(jī)，平板，水壺，和球拍的可能性大小，然后進(jìn)行解答即可；（2）根據(jù)可能性的大小，保證“水壺”有3張，“球拍”有2張，“手機(jī)”有1張即可．【詳解】（1）解：由題意可知一共有9個(gè)數(shù)，其中對(duì)應(yīng)“手機(jī)”的有1個(gè)，則抽到“手機(jī)”獎(jiǎng)品的可能性是：19；對(duì)應(yīng)“平板”、水壺和球拍的數(shù)字有2個(gè)，則抽到“平板”、水壺和球拍的可能性均為2∴得到“手機(jī)”的可能性最小，故選：B．（2）解：∵抽到“水壺”的可能性>抽到“球拍”的可能性>抽到“手機(jī)”的可能性∴設(shè)計(jì)六張牌中有3張對(duì)應(yīng)水壺，2張對(duì)應(yīng)球拍，1張對(duì)應(yīng)手機(jī)，如圖所示：如圖所示，二、事件的概率1.用公式計(jì)算的概率問(wèn)題——均等事件錯(cuò)誤：用公式P（A）=m注意：要列出所有可能的結(jié)果種數(shù)n和所有符合事件A可能的結(jié)果種數(shù)m，再用公式P（例7（2025·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知開關(guān)S1已損壞無(wú)法閉合，現(xiàn)隨機(jī)閉合3個(gè)開關(guān)S2，S3，S4中的兩個(gè)開關(guān)，能使小燈泡【答案】2【分析】本題考查了列舉法求概率．根據(jù)題意列舉出所有等可能的結(jié)果是解題的關(guān)鍵．由題意知，隨機(jī)閉合3個(gè)開關(guān)S2，S3，S4中的兩個(gè)開關(guān)，共有（S2，S3）（S2，S4），（S3，S4）三種等可能的結(jié)果，其中能夠使小燈泡L發(fā)光的共有（【詳解】解：由題意知，隨機(jī)閉合3個(gè)開關(guān)S2，S3，共有（S2，S3）（S2，S4），（其中能夠使小燈泡L發(fā)光的共有（S2，S3）（S2，∴使小燈泡L發(fā)光的概率是23故答案為：23例8（24-25八年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·開學(xué)考試）在一個(gè)不透明的袋子中裝有紅、黃、白球分別為3、4、5個(gè)，這些球除顏色外完全相同，從袋中任取一個(gè)球，則取到的不是黃球的概率是．【答案】2【分析】本題考查了概率公式求概率；首先求出球的總量；然后根據(jù)概率公式，用紅、白球的數(shù)量除以球的總量，求出取到的不是黃球的概率是多少即可．【詳解】解：取到的不是黃球的概率是3+53+4+5故答案為：232.用公式計(jì)算的概率問(wèn)題——幾何事件錯(cuò)誤：用公式P（A）=m注意：在用公式P（A）=mn計(jì)算幾何相關(guān)的概率問(wèn)題時(shí)，例9（2025·山東青島·三模）如圖2，小靚用七巧板拼成一幅裝飾圖，放入長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)，裝飾圖中的三角形頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，三角形①的邊GD在邊AD上，若在矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)落在空白部分的概率．【答案】2-【分析】設(shè)七巧板的邊長(zhǎng)為x，根據(jù)正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)分別表示出AB，BC，進(jìn)一步求出落在空白部分的概率．本題考查了幾何概率，矩形的性質(zhì)，七巧板，關(guān)鍵是熟悉七巧板的特征，表示出AB，BC的長(zhǎng)．【詳解】解：設(shè)七巧板的邊長(zhǎng)為x，則AB=12∴矩形區(qū)域的面積AB×∴空白部分的面積1+2∴這個(gè)點(diǎn)落在空白部分的概率為2x故答案為：2-23.用公式計(jì)算的概率問(wèn)題——數(shù)學(xué)問(wèn)題錯(cuò)誤：對(duì)初中階段所有學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題掌握不扎實(shí)。注意：概率問(wèn)題中還會(huì)涉及到以往學(xué)習(xí)的其他數(shù)學(xué)問(wèn)題，要注意復(fù)習(xí)各類數(shù)學(xué)知識(shí)，以下是可能的舉例：（1）數(shù)的辨析，掌握有理數(shù)、實(shí)數(shù)、平方根和立方根、二次根式等概念；比如在10個(gè)數(shù)中抽到有理數(shù)的概率；（2）代數(shù)的辨析，掌握整式、分式、單項(xiàng)式和多項(xiàng)式等概念，比如在8個(gè)整式中抽到單項(xiàng)式的概率；（3）方程與不等式的解的辨析，掌握不同方程或不等式求解方法，比如考查5個(gè)答案中，抽到已知方程的正確解的概率。函數(shù)的辨析，掌握點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，掌握不同函數(shù)的性質(zhì)等，比如在6個(gè)點(diǎn)中抽到在已知二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的概率；（4）幾何圖形的性質(zhì)，掌握不同幾何圖形的定理和性質(zhì)，比如在不同幾何圖形中抽到中心對(duì)稱圖形的概率；（5）其他。例10（2025·浙江·一模）有5根木棒，長(zhǎng)度分別為1，2，3，3，4，從中任取3根木棒首尾相接，能組成三角形的概率為．【答案】1【分析】本題考查了概率的計(jì)算和三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是先找出所有可能的組合，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系篩選出能組成三角形的組合，最后計(jì)算概率．先列出從5根木棒中任取3根的所有組合；再根據(jù)“三角形任意兩邊之和大于第三邊”判斷哪些組合能組成三角形；最后用能組成三角形的組合數(shù)除以總組合數(shù)得到概率．【詳解】解：從5根木棒中任取3根，所有可能的組合有：1,2,3、1,2,3、1,2,4、1,3,3、1,3,4、1,3,4、2,3,3、2,3,4、2,3,4、3,3,4，共10種．根據(jù)三角形三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊”，能組成三角形的組合有：1,3,3、2,3,3、2,3,4、2,3,4、3,3,4，共5種．則能組成三角形的概率為510故答案為：1例11（2025·四川成都·三模）已知m是不等式m-2≤3m-10【答案】1【分析】本題考查了概率公式，一元一次不等式組的整數(shù)解，解分式方程等知識(shí)，解不等式組得4≤m<8，所以正整數(shù)m的值為4、5、6、7，解分式方程得x=【詳解】解：解不等式組得：4≤m∴正整數(shù)m的值為4、5、6、7，解分式方程得：x=當(dāng)m=4時(shí)，x當(dāng)m=5時(shí)，x當(dāng)m=6時(shí)，x當(dāng)m=7時(shí)，x∴分式方程2x-2故答案為：14.頻率和概率概念的辨析錯(cuò)誤：將頻率和概率混為一談。比如認(rèn)為頻率就是概率。注意：頻率不是概率，概率是事件本身的性質(zhì)，不會(huì)隨著每次試驗(yàn)產(chǎn)生變化；頻率是試驗(yàn)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)量，同一個(gè)場(chǎng)景里，每次試驗(yàn)結(jié)果的頻率都會(huì)有所不同。例12（24-25九年級(jí)上·福建·期中）農(nóng)科院某研究所在相同條件下做某種農(nóng)作物的發(fā)芽率試驗(yàn)，結(jié)果如下表所示：種子個(gè)數(shù)2005007008009001000發(fā)芽種子個(gè)數(shù)187435624718814901種子發(fā)芽率0.9350.8700.8910.8980.9040.901下面有四個(gè)判斷，其中合理的是（

）A．試驗(yàn)種子的個(gè)數(shù)最少的那次試驗(yàn)得到的種子發(fā)芽的頻率一定是種子發(fā)芽的概率B．試驗(yàn)種子的個(gè)數(shù)最多的那次試驗(yàn)得到的種子發(fā)芽的頻率一定是種子發(fā)芽的概率C．種子發(fā)芽的概率為0.935+0.870+0.891+0.898+0.904+0.901D．隨著參加試驗(yàn)的種子數(shù)量增加，種子發(fā)芽的頻率在0.9附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)種子發(fā)芽的概率約為0.9【答案】D【分析】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定的位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．【詳解】解：根據(jù)大量試驗(yàn)得到的發(fā)芽率即為概率，故說(shuō)法正確的是D選項(xiàng)，故選：D．5.概率公式的變形應(yīng)用錯(cuò)誤：只會(huì)通過(guò)m和n求解P(A)，不會(huì)通過(guò)P(A)和n求解m，或者通過(guò)P(A)和m求解n。注意：由概率公式P（（1）m=P(A)×n，也就是說(shuō)，當(dāng)已知某一事件A的概率P(A)和所有結(jié)果種數(shù)n時(shí)，可以求出事件A可能的結(jié)果種數(shù)m；（2）n=mP(A)，也就是說(shuō)，當(dāng)已知某一事件A的概率P(A)和該事件可能的結(jié)果種數(shù)m，可以據(jù)此求出所有結(jié)果種數(shù)例13（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·期末）在一個(gè)不透明的布袋中裝有50個(gè)黃、白兩種顏色的球，除顏色外其他都相同，小紅通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.3左右，則布袋中黃球可能有（

）A．40個(gè) B．35個(gè) C．20個(gè) D．15個(gè)【答案】D【分析】本題考查利用頻率估計(jì)概率．利用頻率估計(jì)概率得到摸到黃球的概率為0.3，然后根據(jù)概率公式計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)袋子中黃球有x個(gè)，根據(jù)題意，得：x50解得：x=15即布袋中黃球可能有15個(gè)．故選D．例14（24-25七年級(jí)下·四川成都·期末）在一個(gè)不透明的盒子里裝有除顏色外完全相同的紅、白、黑三種顏色的球，其中紅球4個(gè)，黑球比白球多4個(gè)，從盒子隨機(jī)摸出一個(gè)球是白球的概率是14(1)求盒子中白球的個(gè)數(shù)；(2)能否通過(guò)只改變盒子中紅球的數(shù)量，使得任意摸出一個(gè)球是白球的概率為15【答案】(1)盒子中白球的個(gè)數(shù)為4；(2)盒子還要增加4個(gè)紅球．【分析】本題主要考查概率公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)概率公式列出相應(yīng)的方程．（1）設(shè)白球的個(gè)數(shù)為x，根據(jù)“隨機(jī)摸出一個(gè)球是白球的概率是14”，求出x（2）設(shè)增加紅球的個(gè)數(shù)為y，根據(jù)“任意摸出一個(gè)球是白球的概率為15”，列出關(guān)于y【詳解】（1）解：設(shè)白球的個(gè)數(shù)為x，由題可得：x4+解得：x=4經(jīng)檢驗(yàn)：x=4∴盒子中白球的個(gè)數(shù)為4；（2）解：設(shè)增加紅球的個(gè)數(shù)為y，由題可得：44+解得：y=4經(jīng)檢驗(yàn)：y=4∴盒子還要增加4個(gè)紅球．三、概率的實(shí)際應(yīng)用1.實(shí)際問(wèn)題中的概率問(wèn)題錯(cuò)誤：在解決概率問(wèn)題時(shí)，常見的錯(cuò)誤發(fā)生在：（1）分析題目已知條件，確定所求事件的范圍；（2）列表或列樹狀圖時(shí)有缺漏，導(dǎo)致求m和n時(shí)出錯(cuò)；（3）計(jì)算或化簡(jiǎn)時(shí)出錯(cuò)，或答題時(shí)出錯(cuò)。注意：統(tǒng)計(jì)出m和n要避免缺漏，要正確使用概率公式P（例15（24-25七年級(jí)下·山東青島·期末）端午節(jié)某商場(chǎng)舉辦了“幸運(yùn)抽獎(jiǎng)”活動(dòng)，抽獎(jiǎng)箱里共有14個(gè)小球，其中有8個(gè)紅球、4個(gè)白球和2個(gè)綠球，它們除顏色外其余都相同，小穎和小亮參與了這個(gè)活動(dòng)．(1)從中任意摸出一球，若摸到紅球，則小穎獲得獎(jiǎng)勵(lì)；若摸到白球，小亮獲得獎(jiǎng)勵(lì)，這個(gè)活動(dòng)對(duì)雙方公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明你的理由；(2)現(xiàn)在要從箱中取出若干個(gè)紅球，再放入相同數(shù)量的白球，使得這個(gè)活動(dòng)對(duì)雙方公平，則要取出多少個(gè)紅球？【答案】(1)活動(dòng)對(duì)雙方不公平，理由見解析；(2)取出2個(gè)紅球．【分析】本題主要考查游戲的公平性，判斷游戲公平性需要先計(jì)算每個(gè)事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平．（1）利用概率公式分別求出小潁和小亮獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率，進(jìn)而得出答案；（2）設(shè)取出了x個(gè)紅球，直接利用當(dāng)紅球與白球個(gè)數(shù)相等時(shí)，小潁和小亮獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率相等，則活動(dòng)公平，列出方程，求出答案即可．【詳解】（1）解：（1）不公平．由題意可得：小潁獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率為=814=∵47∴活動(dòng)對(duì)雙方不公平；（2）解：設(shè)取出了x個(gè)紅球，當(dāng)紅球與白球個(gè)數(shù)相等時(shí)，活動(dòng)公平，則：8-x∴x=2答：取出2個(gè)紅球．例16（24-25七年級(jí)下·河南平頂山·期末）某商場(chǎng)在促銷活動(dòng)中設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤等分為10份，如圖所示．同時(shí)規(guī)定：顧客購(gòu)物滿20元就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)，下表是活動(dòng)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的次數(shù)n100200300400500指針落在“謝謝參與”區(qū)域的次數(shù)m296093122b指針落在“謝謝參與”區(qū)域的頻率m0.290.30.31a0.296(1)完成上述表格：a＝，b＝；(2)若繼續(xù)不停轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)n很大時(shí)，指針落在“謝謝參與”區(qū)域的頻率將會(huì)接近，假如你去轉(zhuǎn)動(dòng)該轉(zhuǎn)盤一次，你轉(zhuǎn)到“謝謝參與”的概率是；（結(jié)果都精確到0.1）(3)顧客轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，得到獎(jiǎng)品“盲盒”的概率記為P1，得到獎(jiǎng)品“貼紙”的概率記為P2，得到“謝謝參與”的概率記為P3，求P1，P2，P3的大小關(guān)系．（【答案】(1)0.305、148(2)0.3，0.3(3)P【分析】本題考查的是利用頻率估計(jì)概率，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，用到的知識(shí)點(diǎn)為：頻率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．（1）根據(jù)頻率和頻數(shù)的關(guān)系求得a和b的值即可；（2）利用大量重復(fù)試驗(yàn)中的頻率穩(wěn)定值估計(jì)概率即可；（3）利用概率公式分別求得P1、P2、【詳解】（1）解：a=122400故答案為：0.305、148；（2）解：若繼續(xù)不停轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)n很大時(shí)，指針落在“謝謝參與”區(qū)域的頻率將會(huì)接近0.3，假如你去轉(zhuǎn)動(dòng)該轉(zhuǎn)盤一次，你轉(zhuǎn)到“謝謝參與”的概率約是0.3；故答案為：0.3，0.3；（3）解：∵P1=210∴P例17（2025·甘肅甘南·中考真題）某校組織學(xué)生觀看“天宮課堂”第二課直播，跟著空間站的翟志剛、王亞平、葉光富三位宇航員學(xué)習(xí)科學(xué)知識(shí)，他們相互配合，生動(dòng)演示了四個(gè)實(shí)驗(yàn)：（A）微重力環(huán)境下的太空“冰雪”實(shí)驗(yàn)，（B）液橋演示實(shí)驗(yàn)，（C）水油分離實(shí)驗(yàn)，（D）太空拋物實(shí)驗(yàn)．觀看完后，該校對(duì)部分學(xué)生對(duì)四個(gè)實(shí)驗(yàn)的喜愛情況作了抽樣調(diào)查，將調(diào)查情況制成了如下的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)圖中信息，回答下列問(wèn)題：(1)共調(diào)查了______名學(xué)生，圖2中A所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為______；(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；(3)若從兩名男生、兩名女生中隨機(jī)抽取2人參加學(xué)校組織的“我愛科學(xué)”演講比賽，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求抽到的學(xué)生恰好是一男一女的概率．【答案】(1)50，144°(2)見解析(3)2【分析】本題考查的是用樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖等知識(shí)，從統(tǒng)計(jì)圖中獲取數(shù)量和數(shù)量之間的關(guān)系，列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）由B的人數(shù)除以所占百分比得出共調(diào)查的學(xué)生人數(shù)，再由360°乘以A的占比即可求解圓心角即可解決問(wèn)題；（2）求出D、C的人數(shù)，即可解決問(wèn)題；（3）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到的學(xué)生恰好是一男一女的結(jié)果有8種，再由概率公式求解即可．【詳解】（1）解：共調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為：10÷20%∴圖2中A所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為：360°×20故答案為：50，144°；（2）解：D的人數(shù)為：50×10%∴C的人數(shù)為：50-20-10-5=15（人），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：（3）解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到的學(xué)生恰好是一男一女的結(jié)果有8種，∴抽到的學(xué)生恰好是一男一女的概率為8121．（24-25九年級(jí)上·江西新余·階段練習(xí)）某日天氣預(yù)報(bào)信息顯示：明天最高氣溫32℃，最低氣溫25℃，降水概率為90%A．明天一定下雨 B．明天不可能下雨C．明天下雨的可能性較小 D．明天下雨的可能性較大【答案】D【分析】本題主要考查概率的意義，根據(jù)降水的概率所提供的數(shù)字進(jìn)行判斷是解答本題關(guān)鍵．根據(jù)題意，明天是否下雨和最高溫度、最低溫度無(wú)關(guān)，根據(jù)降水概率為90%進(jìn)行分析，明天下雨的可能性較大．【詳解】解：降水概率為90%，那么明天下雨的可能性較大．故選：D．2．（24-25七年級(jí)上·河南鄭州·開學(xué)考試）口袋里有10個(gè)球，這些球除顏色外其他的完全相同，其中白球有3個(gè)，紅球有7個(gè)，從中任意摸出一個(gè)球，下列說(shuō)法中不正確的是（

）．A．可能摸到白球，也可能摸到紅球 B．一定摸到紅球C．摸到紅球的可能性大 D．摸到白球的可能性小【答案】B【分析】本題主要考查可能性的大小，解題的關(guān)鍵是掌握可能性大小的概念．根據(jù)可能性的大小的概念求解即可．【詳解】解：從裝有白球有3個(gè)，紅球有7個(gè)的口袋中，任意摸出一個(gè)球，兩種顏色的球均有可能，是紅球的可能性大于白球的可能性，故B錯(cuò)誤，符合題意．故選：B．3．（2025·廣東深圳·三模）深大城際（軌道交通33號(hào)線）是大灣區(qū)城際鐵路網(wǎng)的重要組成部分，起于深圳機(jī)場(chǎng)，終至惠州大亞灣．全線14站，其中深圳段11站，惠州大亞灣段3站，小深同學(xué)隨機(jī)選擇其中1個(gè)站點(diǎn)參觀，則該站點(diǎn)恰好屬于深圳段的概率為（

）A．311 B．811 C．314【答案】D【分析】本題考查的是根據(jù)概率公式求概率，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．直接由概率公式求解即可；【詳解】解：小深同學(xué)隨機(jī)選擇其中1個(gè)站點(diǎn)參觀共有14種等可能的結(jié)果，其中該站點(diǎn)恰好屬于深圳段的有11種結(jié)果，所以該站點(diǎn)恰好屬于深圳段的概率為1114故選：D．4．（24-25九年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，正八邊形轉(zhuǎn)盤被分成八個(gè)面積相等的三角形，任意轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)轉(zhuǎn)盤一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針落在陰影部分的概率是（）A．13 B．12 C．38【答案】C【分析】本題考查的是幾何概率，熟練掌握概率的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可知，正八邊形轉(zhuǎn)盤被分成八個(gè)面積相等的三角形，其中陰影部分的面積為3個(gè)面積相等的三角形，根據(jù)概率公式可知，指針落在陰影部分的概率等于陰影部分的面積除以正八邊形的面積，據(jù)此計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)題意可知，正八邊形轉(zhuǎn)盤被分成八個(gè)面積相等的三角形，其中陰影部分的面積為3個(gè)面積相等的三角形，∴指針落在陰影部分的概率是38故選：C．5．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·期末）有四張形狀、大小，質(zhì)地完全相同的卡片，每張卡片的正面寫有一個(gè)算式，將四張卡片置于暗箱搖勻，從中隨機(jī)抽取兩張，則抽取的兩張卡片上的算式都正確的概率是（

）①-5-2=-3；②3+3=23；③A．12 B．14 C．16【答案】C【分析】本題考查了概率的計(jì)算．熟練使用列舉法或樹狀圖法列出所有可能情況是解題的關(guān)鍵．先判斷每個(gè)算式是否正確，然后通過(guò)列舉法找出四張卡片種隨機(jī)抽取兩張的所有可能情況，再找出兩張卡片算式都正確的情況，然后根據(jù)概率公式計(jì)算即可．【詳解】解：算式①中-5-2=-7，并非-算式②中3+算式③中a5算式④a6抽取兩張卡片的所有情況有：①②、①③、①④、②③、②④、③④共6種，其中抽取的兩張卡片上的算式都正確的情況有：②④，共1種，所以抽取的兩張卡片上的算式都正確的概率是16故選C．6．（24-25九年級(jí)上·江西新余·階段練習(xí)）下面四個(gè)試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果概率最小的是（

）A．如圖1，在一次試驗(yàn)中，老師共做了400次擲圖釘游戲，并記錄了游戲的結(jié)果，繪制了折線統(tǒng)計(jì)圖，估計(jì)出了釘尖朝上的概率B．如圖2，這是一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，任意轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針落在藍(lán)色區(qū)域的概率C．小明、小紅、小剛3位同學(xué)合影留念，3人隨機(jī)站成一排，小明、小剛兩人恰好相鄰的概率D．有7張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，6，8，9，將它們背面朝上洗勻后，從中隨機(jī)抽出一張，抽出標(biāo)有的數(shù)字“大于6”的卡片的概率【答案】D【分析】本題考查概率的計(jì)算，根據(jù)概率的求解方法分別求出各概率的大小，即可判斷．【詳解】A.如圖1，在一次試驗(yàn)中，老師共做了400次擲圖釘游戲，并記錄了游戲的結(jié)果繪制了下面的折線統(tǒng)計(jì)圖，估計(jì)出的釘尖朝上的概率大概為0.4；B.如圖2，是一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，任意轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針落在藍(lán)色區(qū)域的概率為120360=1C.記小明、小紅、小剛3位同學(xué)分別為A，B，C，3人隨機(jī)站成一排，所有等可能的結(jié)果有ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，共6種，其中小明、小剛兩人恰好相鄰的結(jié)果有ACB，BAC，BCA，CAB，共4種，∴小明、小剛兩人恰好相鄰的概率為46D.有7張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，6，8，9，將它們背面朝上洗勻后，從中隨機(jī)抽出一張，抽出標(biāo)有數(shù)字“大于6”的卡片的概率27≈0.28故選：D．7．（24-25八年級(jí)下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）將下列事件對(duì)應(yīng)的序號(hào)，正確填入題后橫線上．①守株待兔；②水中撈月；③連續(xù)拋擲同一枚硬幣2次都是正面朝上；④任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和為180°；⑤若x=3，則x⑥從1，3，5中任選一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)是奇數(shù)．（1）其中是必然事件的有；（2）其中是隨機(jī)事件的有；（3）其中是確定事件的有．【答案】④⑥①③⑤②④⑥【分析】本題主要考查了事件的分類，根據(jù)隨機(jī)事件，確定事件的定義解答即可.【詳解】解：①守株待兔是隨機(jī)事件；②水中撈月是不可能事件，屬于確定事件；③連續(xù)拋同一枚硬幣2次都是正面朝上，這個(gè)事件是隨機(jī)事件；④任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和為180°是必然事件，屬于確定事件；⑤若x=3，則x=3或-3，所以x=3是隨機(jī)事件；必然事件的有：④⑥；隨機(jī)事件的有：①③⑤；確定事件的有：②④⑥.故答案為：④⑥；①③⑤；②④⑥.8．（24-25九年級(jí)下·遼寧撫順·階段練習(xí)）在一個(gè)不透明的盒子中裝有3個(gè)紅球和若干個(gè)白球，這些球除顏色外均相同，若每次將球充分?jǐn)噭蚝?，任意摸?個(gè)球記下顏色再放回盒子，通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.2左右，則這個(gè)盒子中大約有個(gè)白球．【答案】12【分析】此題考查了利用頻率估計(jì)概率，在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，首先根據(jù)紅球的個(gè)數(shù)和摸到紅球的頻率求出球的總個(gè)數(shù)，然后減去紅球的個(gè)數(shù)即可得到白球的個(gè)數(shù)．【詳解】解：∵有3個(gè)紅球，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.2左右，∴這個(gè)盒子中大約有3÷0.2=15個(gè)球，∴15-3=12（個(gè)），∴這個(gè)盒子中大約有12個(gè)白球．故答案為：12．9．（24-25七年級(jí)上·北京豐臺(tái)·階段練習(xí)）一枚硬幣連擲3次，只有一次出現(xiàn)正面的概率是．【答案】3【分析】列樹狀圖計(jì)算即可．本題考查了畫樹狀圖法求概率，熟練掌握方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，畫圖如下：一共有8種等可能結(jié)果，其中只有一次出現(xiàn)正面的可能性有3種，故只有一次出現(xiàn)正面的概率是38故答案為：3810．（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，兩個(gè)帶指針的轉(zhuǎn)盤A，B分別被分成三個(gè)面積相等的扇形，轉(zhuǎn)盤A上的數(shù)字分別是2，5，9，轉(zhuǎn)盤B上的數(shù)字分別是3，6，8（兩個(gè)轉(zhuǎn)盤除表面數(shù)字不同之外，其他完全相同）．小美撥動(dòng)A轉(zhuǎn)盤上的指針，小麗撥動(dòng)B轉(zhuǎn)盤上的指針，使之旋轉(zhuǎn)，指針停止后所指數(shù)字較大的一方獲勝（若箭頭恰好停留在分界線上，則重轉(zhuǎn)一次），則（填“小美”或“小麗”）獲勝的可能性大．【答案】小麗【分析】考查了判斷游戲公平性．解題關(guān)鍵抓住判斷游戲公平性要先計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．先用列表法求得各自獲勝的概率，再進(jìn)行比較進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：列表得：25932，35，39，362，65，69，682，85，89，8共有9種可能，其中小美獲勝的次數(shù)為4，小麗獲勝的次數(shù)為5，∴P小美∴P小美∴小麗的獲勝可能性較大．故答案為：小麗．11．（24-25七年級(jí)上·云南臨滄·階段練習(xí)）從標(biāo)有數(shù)字1，2，?，8的8張卡片中，任意抽取1張；設(shè)事件A為“取到2的倍數(shù)”，事件B為“取到3的倍數(shù)”，事件C為“取到比10大的數(shù)”.事件D為“取到整數(shù)”．(1)發(fā)生可能性最大的事件是______，發(fā)生可能性最小的事件是______；(2)把事件A、B、C、D按照發(fā)生可能性的大小在數(shù)軸上用字母A、B、C、D標(biāo)注出來(lái)．【答案】(1)D，C(2)見解析【分析】本題主要考查可能性大小，解題的關(guān)鍵是掌握隨機(jī)事件發(fā)生的可能性(概率)的計(jì)算方法．（1）根據(jù)可能性大小的概念得出四個(gè)事件的可能性大小，從而得出答案；（2）根據(jù)所求數(shù)據(jù)表示在數(shù)軸上即可．【詳解】（1）解：事件A“取到2的倍數(shù)”的可能性大小為48事件B“取到3的倍數(shù)”的可能性大小為28事件C“取到比10大的數(shù)”的可能性大小為0，事件D“取到整數(shù)”的可能性大小為1，所以發(fā)生可能性最大的事件是D，發(fā)生可能性最小的事件是C，故答案為：D、C；（2）如圖：12．（24-25七年級(jí)下·內(nèi)蒙古包頭·階段練習(xí)）如圖，現(xiàn)有一個(gè)轉(zhuǎn)盤被平均分成6等份，分別標(biāo)有2、3、4、5、6、7這六個(gè)數(shù)字，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字，求：(1)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)出的數(shù)字大于3的概率；(2)小圓和小夢(mèng)一起做游戲，現(xiàn)有兩張分別寫有3和4的卡片，要隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后記下轉(zhuǎn)出的數(shù)字，與兩張卡片上的數(shù)字分別作為三條線段的長(zhǎng)度．小圓說(shuō)：“若這三條線段能構(gòu)成等腰三角形，則我贏”小夢(mèng)說(shuō)：“若這三條線段構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)小于10，則我贏”，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方公平嗎？試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．【答案】(1)2(2)這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方不公平，理由見解析【分析】本題主要考查了游戲公平性的判斷、三角形的三邊關(guān)系、等腰三角形的判定、概率公式等知識(shí)點(diǎn)，掌握判斷游戲公平性的方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)概率公式計(jì)算即可；（2）分別求出這三條線段能構(gòu)成等腰三角形的概率和三條線段構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)小于10的概率，再進(jìn)行比較即可解答．【詳解】（1）解：∵轉(zhuǎn)盤被平均分成6等份，轉(zhuǎn)到每個(gè)數(shù)字的可能性相等，共有6種可能結(jié)果，大于3的結(jié)果有4種，∴轉(zhuǎn)出的數(shù)字大于3的概率為46（2）解：這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方不公平；理由如下：∵轉(zhuǎn)盤被平均分成6等份，轉(zhuǎn)到每個(gè)數(shù)字的可能性相等，共有6種可能結(jié)果，