第三章勾股定理知識點1：函數(shù)的相關概念1.常量與變量：（1）常量：在一個變化過程中，數(shù)值保持不變的量叫作常量；（2）變量：在一個變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量叫作變量。2.函數(shù)的概念：一個變化過程中有兩個變量，和，如果對于的每一個確定的值都有唯一的值與它對應，那么稱是的函數(shù)，是自變量。自變量根據(jù)實際問題的需要，一般都有自己的取值范圍。3.函數(shù)的表示方法：表達式法、表格法、圖象法。4.函數(shù)的圖象：（1）函數(shù)圖象：把自變量的取值作為橫坐標，對應的函數(shù)值作為縱坐標，在平面直角坐標系中描出對應的點，這些點組成的圖形叫做函數(shù)圖象。（2）函數(shù)圖象上的點與函數(shù)表達式的關系：函數(shù)圖象上的點的坐標一定滿足函數(shù)表達式。滿足函數(shù)表達式的有序實數(shù)對表示的點一定在該函數(shù)圖象上。知識點2：正比例函數(shù)的概念、圖象及性質1.正比例函數(shù)的概念：一般地，形如（）的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)。2.正比例函數(shù)的圖象和性質：k的符號函數(shù)圖象增減性k>0隨著的增大而增大k<0隨著的增大而減小知識點3：一次函數(shù)的概念、圖象及性質1.一次函數(shù)的概念：一般地，形如（）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)。2.一次函數(shù)的圖象和性質：函數(shù)圖象經過象限函數(shù)性質y=kx+bk>0b>0一、二、三隨增大而增大k>0b<0一、三、四y=kx+bk<0b>0一、二、四y隨x增大而減小知識點4：三個“一次”的關系：1．一次函數(shù)與一元一次方程的關系：直線y=kx+b與x軸的交點的橫坐標，所以對應方程kx+b=0的解為．2．一次函數(shù)與一元一次不等式的關系：當時，要求一元一次不等式的解集，從的圖象上可以看出是圖象位于橫軸上方的部分對應的，所以其解集是；反之，的解集是。 當時，要求一元一次不等式的解集，從的圖象上可以看出是圖象位于橫軸上方的部分對應的，所以其解集是；反之，的解集是。3．一次函數(shù)與二元一次方程組的關系：從數(shù)的角度看，解二元一次方程組相當于考慮自變量為何值時，兩個函數(shù)的值相等，以及這兩個函數(shù)值是何值；從形的角度看，解二元一次方程組相當于確定兩條直線的交點坐標：一般地，一次函數(shù)與一次函數(shù)交點的坐標就是對應方程組的解。牢記：交點的坐標“就是”對應方程組的解，只是它們寫的格式不同。交點的坐標為，對應方程組的解為，它們數(shù)值上是相等的。知識點5：待定系數(shù)法：1.待定系數(shù)法：先設含有未知系數(shù)的函數(shù)表達式，再根據(jù)條件求出這些未知系數(shù)的值，從而確定函數(shù)表達式的方法叫做待定系數(shù)法。2.用待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達式的一般步驟：（1）設表達式；（2）根據(jù)已知條件得到的方程組；（3）解方程組，求出的值；（4）寫出函數(shù)的表達式。知識點6：用一次函數(shù)解決實際問題的步驟：（1）設定實際問題中的自變量與因變量；（2）通過列方程(組)與待定系數(shù)法求一次函數(shù)關系式；（3）確定自變量的取值范圍；（4）利用函數(shù)性質解決問題；（5）檢驗所求解是否符合實際意義；（6）答案．易錯點1函數(shù)概念的理解不透錯誤：認為“只要一個變量變化，另一個變量跟著變化，就是的函數(shù)”．注意：判斷變量是不是變量的函數(shù)，關鍵是看兩個條件：（1）存在一個變化過程中；（2）這個變化過程中有兩個變量，和，且對于的每一個確定的值y都有唯一的值與它對應。也就是說把一個的值帶入表達式，只能求出一個的值.對于圖象的判斷就是用一條垂直于橫軸的直線從左向右移動，這條直線只能與圖象有一個交點。如果出現(xiàn)了兩個交點，那就不是函數(shù)關系。例題1下列各圖中，變量y是變量x的函數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【知識點】函數(shù)的概念、函數(shù)圖象識別【分析】本題考查了函數(shù)的意義，函數(shù)的意義反映在圖象上簡單的判斷方法是：做垂直x軸的直線在左右平移的過程中與函數(shù)圖象只會有一個交點．根據(jù)函數(shù)的意義即可求出答案．【詳解】解：根據(jù)函數(shù)的意義可知：對于自變量x的任何值，y都有唯一的值與之相對應，所以只有A正確．故選：A．易錯點2利用一次函數(shù)性質比較函數(shù)值的大小錯誤：要特別注意k的正負對函數(shù)值大小的影響．注意：一次函數(shù)中，k的正負決定了隨自變量的變化情況，比較同一個一次函數(shù)的兩個不同對應的函數(shù)值，首先要看k正負，其次再看兩個自變量的大小關系，對于k的正負不確定的情況，一定要分類討論．例題2已知，，三點均在直線為常數(shù)，，上，且，則下列判斷正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【知識點】判斷一次函數(shù)的增減性、比較一次函數(shù)值的大小【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的性質，解題的關鍵是熟練掌握一次函數(shù)的性質．根據(jù)直線方程及已知條件，結合一次函數(shù)的單調性及符號性質進行判斷．【詳解】解：已知直線為，其中，，故直線從左向右上升，且與y軸交于負半軸，三點，對應，A、若，則，，但可能為正也可能為負，導致符號不確定，乘積未必正，不符合題意；B、若，則和同號，但可能跨過交點，導致符號與相反，乘積未必正，不符合題意；C、若，則，。因，故也為負數(shù)，此時，和中，和均為負數(shù)，加上，故，即和均為負數(shù)，乘積，選項C正確，符合題意；D、若，則，但可能正或負（取決于是否超過），乘積未必正，不符合題意；故選：C．易錯點3利用一次函數(shù)與一元一次方程的關系解一元一次方程錯誤：認為“一次函數(shù)與橫軸的交點坐標就是對應一元一次方程的解”．注意：一次函數(shù)的圖象與橫軸的交點的坐標是,而對應方程的解是,兩者意義和形式是不同的，只是交點的橫坐標與對應方程的解在數(shù)值上是相等的。例題3如圖，直線過點和點，則方程的解是（）A． B． C． D．【答案】D【知識點】已知直線與坐標軸交點求方程的解、利用圖象法解一元一次方程【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程的關系，熟練掌握該知識點是關鍵．先求出一次函數(shù)解析式，再計算時方程的解即可．【詳解】解：設直線解析式為，代入點得：，解得，直線解析式為，方程轉化為，當時，，解得．故選：D．易錯點4利用一次函數(shù)與一元一次不等式的關系解一元一次不等式錯誤：不能正確利用函數(shù)圖象和數(shù)形結合正確求解一元一次不等式的解集．注意：利用一次函數(shù)的圖象求解一元一次不等式的解集，主要是借助一次函數(shù)的圖象與橫軸的交點坐標以及數(shù)形結合的思想，求解一元一次不等式的解集。大于0，就是對應函數(shù)圖象位于橫軸上方的部分，然后找出這部分圖象對應的變量x的取值范圍；反之，小于0，就是對應函數(shù)圖象位于橫軸下方的部分，然后找出這部分圖象對應的變量x的取值范圍。當然，有時候還會借助函數(shù)圖象的平移。例題4 一次函數(shù)（k，b是常數(shù)，）的圖象如圖所示，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】由直線與坐標軸的交點求不等式的解集【分析】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關系．從圖象上得到函數(shù)的增減性及與x軸的交點的橫坐標，即能求得不等式的解集．【詳解】解：函數(shù)的圖象經過點，并且函數(shù)值y隨x的增大而增大，所以當時，函數(shù)值大于0，即關于x的不等式的解集是．故選：A．易錯點5利用一次函數(shù)與幾何圖形綜合中的多解問題錯誤：一次函數(shù)與幾何圖形綜合問題中易產生漏解．注意：一次函數(shù)與幾何圖形的綜合問題，尤其是有關動點問題，易產生多解問題，學生很多時候考慮不全，易產生漏解問題，此時，要想不出現(xiàn)漏解問題，就要學會對題目中的情況分類討論。這樣的問題主要是面積問題、長度問題、角度問題等等。例題5 如圖，平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象分別交軸、軸于點，一次函數(shù)的圖象經過點，并與軸交于點為直線上的動點．(1)求直線的解析式；(2)當點的橫坐標比縱坐標大時，求的面積；(3)當時，求點的坐標．【答案】(1)直線的解析式為(2)的面積為(3)點F的坐標為或【知識點】求直線圍成的圖形面積、一次函數(shù)與幾何綜合、求一次函數(shù)解析式【分析】本題考查一次函數(shù)綜合應用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，等腰三角形判定與性質等，解題的關鍵是分類討論思想的應用．（1）求出，由一次函數(shù)的圖象經過點，可得，故直線的解析式為；（2）求出，，可得，再求出，即可得；（3）當F在右側時，設交y軸于G，由，可得，設，由，有，解得，知，可得直線的解析式為，聯(lián)立，可解得，當在左側時，，即軸，即可得．【詳解】（1）解：在中，令得，，一次函數(shù)的圖象經過點，，直線的解析式為；（2）解：如圖：在中，令得，，在中，令得，，，在中，令得：，解得，，，的面積為9；（3）解：當F在右側時，設交y軸于G，如圖：，，設，則，，，，解得，，由，設直線的解析式為，∴，解得，，∴直線的解析式為：，聯(lián)立，解得，；當在左側時，∵，∴，即軸，，在中，令得，；綜上所述，點F的坐標為或．例題6 如圖，在平面直角坐標系中，直線：與軸、軸分別交于，兩點，直線：與軸負半軸、軸、直線分別交于三點，且．(1)求直線的函數(shù)解析式；(2)求四邊形的面積；(3)在坐標軸上是否存在點，使得？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)4(3)或或或【知識點】求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點問題、兩直線的交點與二元一次方程組的解、求直線圍成的圖形面積【分析】本題考查一次函數(shù)綜合應用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，求兩直線交點坐標等，解題的關鍵是分類討論思想的應用．（1）用待定系數(shù)法可得直線解析式；（2）連接，求出D坐標后直線的函數(shù)解析式可求，進而C，E兩點坐標可求，故四邊形可求；（3）分兩種情況：當P在y軸上或在x軸上，設出P點坐標，利用作為等量關系列出方程求解即可．【詳解】（1）解：與軸、軸分別交于，兩點代入得：，解得：，∴直線的函數(shù)解析式為；（2）連接，如圖：∵，，，，，把代入得：，∴直線的函數(shù)解析式為，令得，，由，得：，∴四邊形的面積為4；（3）在坐標軸上存在點P，使得，理由如下：，，，當P在y軸上時，設，如圖：，，，解得或，∴P點坐標或；當P在x軸上時，設，如圖：，，，解得或，∴P點坐標或．綜上所述，P的坐標為或或或一、選擇題1．下列各圖象中，不能表示y是x的函數(shù)的是（

）A．B． C． D．【答案】D【知識點】函數(shù)的概念、函數(shù)圖象識別【分析】本題考查函數(shù)的識別，根據(jù)函數(shù)的定義，對于每一個自變量都有唯一確定的因變量與之對應，再進行判斷即可．【詳解】解：A中圖象，對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與其對應，那么就說y是x的函數(shù)，不符合題意，B中圖象，對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與其對應，那么就說y是x的函數(shù)，不符合題意，C中圖象，對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與其對應，那么就說y是x的函數(shù)，不符合題意，D中圖象，對于x的每一個確定的值，y不一定有唯一的值與其對應，那么y不是x的函數(shù)，符合題意，故選：D．2．下列關于變量，的關系，其中不是的函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】函數(shù)的概念【分析】本題考查了函數(shù)，熟記函數(shù)的定義（一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量與，并且對于的每一個確定的值，都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說是自變量，是的函數(shù)）是解題關鍵．根據(jù)函數(shù)定義逐項進行判斷即可．【詳解】解：A、對于的每一個確定的值，都有唯一確定的值與其對應，所以是的函數(shù)，此項不符題意；B、對于的每一個確定的值，都有唯一確定的值與其對應，所以是的函數(shù)，此項不符題意；C、對于的每一個確定的值，有兩個的值與其對應，所以不是的函數(shù)，此項符合題意；D、對于的每一個確定的值，都有唯一確定的值與其對應，所以是的函數(shù)，此項不符題意．故選：C．3．下列曲線中表示是的函數(shù)的是（

）A．B．C． D．【答案】C【知識點】函數(shù)的概念、函數(shù)圖象識別【分析】本題考查函數(shù)定義的應用，由函數(shù)定義，我們可以在有圖象的部分作一條垂直于軸的直線，如果這條直線與圖象有且只有一個交點，則滿足函數(shù)定義，反之不滿足，從而確定答案，掌握這種由函數(shù)定義判定曲線是否為函數(shù)圖象的方法是解決問題的關鍵．【詳解】解：A、如圖所示：選項圖象與直線有多個交點，不滿足函數(shù)定義，不符合題意；B、如圖所示：選項圖象與直線有多個交點，不滿足函數(shù)定義，不符合題意；C、如圖所示：選項圖象與直線有且只有一個交點，滿足函數(shù)定義，符合題意；D、如圖所示：選項圖象與直線有多個交點，不滿足函數(shù)定義，不符合題意；故選：C．4．下列函數(shù)中，y的值隨x的值增大而減小的是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】判斷一次函數(shù)的增減性【分析】本題考查一次函數(shù)的增減性，對于一次函數(shù)，當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小，據(jù)此即可求解．【詳解】解：選項A：可整理為，此時，故隨的增大而減小，符合題意；選項B：中，故隨的增大而增大，不符合題意；選項C：中，故隨的增大而增大，不符合題意；選項D：中，故隨的增大而增大，不符合題意；故選：A．5．點，點是一次函數(shù)圖象上的兩個點，則與的大小關系是（

）A． B． C． D．不能確定【答案】A【知識點】判斷一次函數(shù)的增減性、比較一次函數(shù)值的大小【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質，根據(jù)一次函數(shù)的性質得到隨的增大而減小，即可求解，掌握一次函數(shù)的性質是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴隨的增大而減小，∵點，點是一次函數(shù)圖象上的兩個點，且，∴，故選：A．6．在平面直角坐標系中，一次函數(shù)（是常數(shù)且）的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．當時， B．當時，C．方程的解是 D．不等式的解集是【答案】C【知識點】已知直線與坐標軸交點求方程的解、由直線與坐標軸的交點求不等式的解集【分析】本題考查了一次函數(shù)與不等式，一次函數(shù)與一元一次方程，根據(jù)函數(shù)圖象逐項判斷即可求解，看懂函數(shù)圖象是解題的關鍵．【詳解】解：、由函數(shù)圖象可知，當時，，該選項說法錯誤，不合題意；、由函數(shù)圖象可知，當時，，該選項說法錯誤，不合題意；、由函數(shù)圖象可知，當時，，所以方程的解是，該選項說法正確，符合題意；、由函數(shù)圖象可知，當時，，所以不等式的解集是，該選項說法錯誤，不合題意；故選：．7．已知直線的圖象經過點，，則關于的方程的解為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】已知直線與坐標軸交點求方程的解【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程，關于的方程的解即為直線的圖象與軸交點的橫坐標．一元一次方程可以通過做出一次函數(shù)來解決．一元一次方程的根就是它所對應的一次函數(shù)的函數(shù)值為0時，自變量的值．即一次函數(shù)圖象與軸交點的橫坐標．【詳解】解：當時，，所以關于的方程的解即為直線的圖象與軸交點的橫坐標．因為直線的圖象經過點，所以關于的方程的解為．故選：D．8．如圖，一次函數(shù)與的圖象相交于點，下列說法正確的是（

）A．B．關于的方程的解是C．關于的不等式的解集是D．關于的不等式的解集是【答案】C【知識點】根據(jù)兩條直線的交點求不等式的解集、已知直線與坐標軸交點求方程的解、已知函數(shù)經過的象限求參數(shù)范圍、求一次函數(shù)解析式【分析】本題考查了兩條直線的交點問題.運用待定系數(shù)法可求出交點坐標和一次函數(shù)圖象的解析式，再結合圖形分析即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，把交點代入一次函數(shù)中得，，解得，，∴，把點代入一次函數(shù)圖象得，，根據(jù)一次函數(shù)的圖象可得，，故A選項錯誤，不符合題意；當時，，則關于的方程的解是，故B選項正錯誤，不符合題意；當時，，故C選項正確，符合題意；由圖可知，當時，，故D選項錯誤，不符合題意；故選：C．二、填空題9．如圖，一次函數(shù)的圖象經過點，則不等式的解集為．【答案】【知識點】由直線與坐標軸的交點求不等式的解集【分析】本題考查了利用一次函數(shù)圖象解不等式，觀察圖象對應的函數(shù)圖象所對應自變量的取值范圍，即可求解．【詳解】解：由圖象得：，故答案為：．10．如圖，一次函數(shù)與（k，b是不為0的常數(shù)）的圖象交于點，則關于的不等式組的解集是．【答案】【知識點】根據(jù)兩條直線的交點求不等式的解集、由直線與坐標軸的交點求不等式的解集、求不等式組的解集【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式（組）的關系及應用．利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征求交點橫坐標；根據(jù)一次函數(shù)的圖象位置關系確定不等式的解集；以及綜合兩個不等式的解集得到不等式組的解集，體現(xiàn)了“數(shù)形結合”的思想，即通過函數(shù)圖象直觀解決不等式問題．首先通過把交點坐標代入已知一次函數(shù)求出交點的橫坐標，然后根據(jù)函數(shù)圖象的位置關系確定不等式組的解集．【詳解】解：因為點在的圖象上，所以將代入中，得到．．解不等式，解得．從圖象上看，表示的圖象在圖象上方的部分，表示的圖象在x軸上方的部分．已知交點，所以的解集就是的圖象在圖象上方，且的圖象在x軸上方對應的x的取值范圍，即．故答案為：．11．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)與一次函數(shù)（m、n均為常數(shù)，且）的圖象交于點，則關于x的不等式的解集是．【答案】【知識點】根據(jù)兩條直線的交點求不等式的解集【分析】本題考查了兩條直線相交或平行問題、一次函數(shù)與一元一次不等式的關系，熟練掌握以上知識點是關鍵．根據(jù)一次函數(shù)與一元一次不等式的關系，數(shù)形結合解答即可．【詳解】解：∵一次函數(shù)與一次函數(shù)（m、n均為常數(shù)，且）的圖象交于點，∴關于x的不等式的解集是．故答案為：．12．一次函數(shù)與的圖象如圖所示，則下列結論：①；②；③的值每增加，的值增加；④．其中正確的是．【答案】①②③【知識點】已知函數(shù)經過的象限求參數(shù)范圍、判斷一次函數(shù)的增減性、根據(jù)兩條直線的交點求不等式的解集【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質，掌握一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，數(shù)形結合是解題的關鍵．根據(jù)函數(shù)圖象直接得到，，，，進一步即可得到；根據(jù)當時，，即可求得；求得，根據(jù)解析式即可求得的值每增加，的值增加；當時，根據(jù)圖象得不等式．【詳解】解：由圖象可得：，，，，，，，故正確；一次函數(shù)與的圖象的交點的橫坐標為，，，即，故正確；，，，，，的值每增加，的值增加，故正確；當時，，，由圖象可知，，故錯誤．故答案為：．三、解答題13．如圖，在平面直角坐標系中，直線經過原點和點，經過點的另一條直線交軸于點．(1)求直線的函數(shù)表達式；(2)若在直線上存在一點，使，求點的坐標．【答案】(1)(2)或【知識點】求一次函數(shù)解析式、求直線圍成的圖形面積【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、三角形的面積，解題