繩球與桿球模型對(duì)比試卷一、基礎(chǔ)概念辨析題（一）填空題繩球模型中繩子只能提供____（填“拉力”或“支持力”），桿球模型中輕桿既能提供____又能提供____。質(zhì)量為m的小球在長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩約束下做豎直面圓周運(yùn)動(dòng)，通過(guò)最高點(diǎn)的最小速度為_(kāi)___；若換成輕桿約束，最小速度為_(kāi)___。繩球模型在最低點(diǎn)時(shí)，繩子拉力T與重力mg的關(guān)系為T(mén)=；桿球模型在最高點(diǎn)時(shí)，若桿表現(xiàn)為支持力，則桿的作用力F與重力的關(guān)系為F=。（二）判斷題繩球模型在圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，繩子始終處于繃緊狀態(tài)（）桿球模型在最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)小球的作用力一定豎直向上（）兩種模型在最低點(diǎn)時(shí)的向心加速度大小均為v2/L（）二、動(dòng)力學(xué)分析計(jì)算題（一）繩球模型專(zhuān)項(xiàng)例題1：如圖所示，質(zhì)量m=0.5kg的小球用長(zhǎng)L=1m的輕繩懸掛于O點(diǎn)，在最低點(diǎn)以v?=5m/s的初速度水平拋出，忽略空氣阻力（g=10m/s2）。求：（1）小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度大小；（2）小球在最高點(diǎn)時(shí)繩子的拉力；（3）若繩子能承受的最大拉力為35N，判斷小球能否完成完整圓周運(yùn)動(dòng)。解析：（1）由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}mv_0^2=mg\cdot2L+\frac{1}{2}mv^2$代入數(shù)據(jù)解得：$v=\sqrt{v_0^2-4gL}=\sqrt{25-40}=\sqrt{5},\text{m/s}$（注：此處需驗(yàn)證v是否滿足最小速度要求$\sqrt{gL}=3.16,\text{m/s}$，因$\sqrt{5}\approx2.24<3.16$，故實(shí)際無(wú)法通過(guò)最高點(diǎn)，題目條件需修正初速度為v?=6m/s，則v=√(36-40)無(wú)意義，說(shuō)明需重新設(shè)定初速度使v≥√gL）修正題：將初速度改為v?=7m/s，求最高點(diǎn)速度：$v=\sqrt{7^2-4\times10\times1}=\sqrt{49-40}=3,\text{m/s}$（仍小于√10≈3.16m/s，繼續(xù)修正為v?=8m/s）$v=\sqrt{64-40}=\sqrt{24}\approx4.9,\text{m/s}>\sqrt{10},\text{m/s}$，滿足條件。（2）最高點(diǎn)向心力方程：$T+mg=m\frac{v^2}{L}$代入數(shù)據(jù)：$T=0.5\times\frac{24}{1}-0.5\times10=12-5=7,\text{N}$（3）最低點(diǎn)拉力計(jì)算：$T-mg=m\frac{v_0^2}{L}$$T=0.5\times\frac{64}{1}+5=32+5=37,\text{N}>35,\text{N}$，繩子斷裂，無(wú)法完成圓周運(yùn)動(dòng)。（二）桿球模型專(zhuān)項(xiàng)例題2：質(zhì)量m=1kg的小球固定在長(zhǎng)L=0.5m的輕桿一端，繞另一端O在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)速度v=2m/s（g=10m/s2）。求：（1）桿對(duì)小球的作用力大小及方向；（2）若小球在最高點(diǎn)時(shí)桿的作用力為零，求此時(shí)速度；（3）若小球恰好能通過(guò)最高點(diǎn)，求最低點(diǎn)的初速度。解析：（1）假設(shè)桿提供支持力（方向向上），向心力方程：$mg-F=m\frac{v^2}{L}$$F=mg-m\frac{v^2}{L}=10-1\times\frac{4}{0.5}=10-8=2,\text{N}>0$，假設(shè)成立，方向豎直向上。（2）作用力為零時(shí)：$mg=m\frac{v^2}{L}\Rightarrowv=\sqrt{gL}=\sqrt{5}\approx2.24,\text{m/s}$（3）“恰好通過(guò)最高點(diǎn)”對(duì)應(yīng)最小速度v_min=0，由機(jī)械能守恒：$\frac{1}{2}mv_0^2=mg\cdot2L\Rightarrowv_0=\sqrt{4gL}=\sqrt{20}\approx4.47,\text{m/s}$三、臨界條件分析題（一）多解問(wèn)題討論例題3：小球在輕桿約束下做豎直圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)通過(guò)某位置時(shí)桿的作用力為零，該位置可能在（）A.最高點(diǎn)B.最低點(diǎn)C.左側(cè)水平位置D.右側(cè)水平位置答案：A解析：桿的作用力為零僅在重力恰好提供向心力時(shí)成立，此時(shí)$v=\sqrt{gL}$，該速度僅在最高點(diǎn)可能出現(xiàn)（水平位置向心力需由桿的水平分力提供，無(wú)法為零）。（二）能量與臨界綜合題例題4：如圖所示，光滑軌道由四分之一圓弧AB與水平軌道BC平滑連接，圓弧半徑R=0.8m。質(zhì)量m=0.2kg的小球從A點(diǎn)靜止釋放，進(jìn)入BC段后與輕桿模型（桿長(zhǎng)L=0.4m）連接，繼續(xù)在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)（g=10m/s2）。求：（1）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度；（2）小球通過(guò)桿球模型最高點(diǎn)的最小速度；（3）判斷小球能否完成桿球模型的完整圓周運(yùn)動(dòng)。解析：（1）圓弧軌道機(jī)械能守恒：$mgR=\frac{1}{2}mv_B^2\Rightarrowv_B=\sqrt{2gR}=\sqrt{16}=4,\text{m/s}$（2）桿球模型最小速度為0（3）假設(shè)小球能通過(guò)最高點(diǎn)，由機(jī)械能守恒：$\frac{1}{2}mv_B^2=mg\cdot2L+\frac{1}{2}mv^2$$v^2=v_B^2-4gL=16-16=0$，恰好到達(dá)最高點(diǎn)速度為0，能完成圓周運(yùn)動(dòng)。四、實(shí)驗(yàn)探究題實(shí)驗(yàn)?zāi)康模候?yàn)證繩球與桿球模型在豎直圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界速度差異實(shí)驗(yàn)器材：鐵架臺(tái)、輕繩、輕桿、小球（質(zhì)量m已知）、秒表、刻度尺、力傳感器實(shí)驗(yàn)步驟：組裝繩球模型，測(cè)量繩長(zhǎng)L，用傳感器記錄繩子拉力隨時(shí)間變化；使小球從不同高度釋放，觀察能否通過(guò)最高點(diǎn)，記錄最小釋放高度h?；換用輕桿重復(fù)實(shí)驗(yàn)，記錄最小釋放高度h?；計(jì)算理論值：繩球模型h?=5L/2（由mg(h?-L)=1/2m(gL)推導(dǎo)），桿球模型h?=2L。數(shù)據(jù)處理：|模型類(lèi)型|實(shí)際最小高度（m）|理論最小高度（m）|相對(duì)誤差||----------|-------------------|-------------------|----------||繩球|||||桿球||||誤差分析：空氣阻力導(dǎo)致實(shí)際高度大于理論值；繩/桿的微小形變影響長(zhǎng)度測(cè)量；傳感器響應(yīng)延遲導(dǎo)致拉力峰值測(cè)量偏差。五、綜合應(yīng)用題例題5：如圖所示，質(zhì)量m=2kg的小球用長(zhǎng)L=1m的輕桿連接，繞O點(diǎn)在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)速度v?=6m/s，重力加速度g=10m/s2。求：（1）小球在A（與O等高的右側(cè)位置）的速度大小；（2）小球在B（最高點(diǎn)）和C（最低點(diǎn)）時(shí)桿的作用力，并比較兩者大小關(guān)系；（3）若在最高點(diǎn)時(shí)突然剪斷桿，小球做何種運(yùn)動(dòng)？經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間落地？解析：（1）機(jī)械能守恒：$\frac{1}{2}mv_1^2=mgL+\frac{1}{2}mv_A^2$$v_A=\sqrt{v_1^2-2gL}=\sqrt{36-20}=4,\text{m/s}$（2）最低點(diǎn)C：$T_C-mg=m\frac{v_1^2}{L}\RightarrowT_C=20+2\times36=92,\text{N}$（豎直向上）最高點(diǎn)B：$\frac{1}{2}mv_1^2=mg\cdot2L+\frac{1}{2}mv_B^2\Rightarrowv_B=\sqrt{36-40}=\text{無(wú)解}$（修正v?=7m/s，則v_B=√(49-40)=3m/s）$T_B+mg=m\frac{v_B^2}{L}\RightarrowT_B=2\times9-20=-2,\text{N}$（負(fù)號(hào)表示方向豎直向上，為支持力）（3）剪斷桿后小球做平拋運(yùn)動(dòng)，下落高度H=2L=2m，豎直方向：$H=\frac{1}{2}gt^2\Rightarrowt=\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{0.4}\approx0.63,\text{s}$六、拓展創(chuàng)新題問(wèn)題：若將繩球模型中的繩子替換為勁度系數(shù)k=100N/m的輕質(zhì)彈簧，小球質(zhì)量m=0.1kg，原長(zhǎng)L=0.5m，在最低點(diǎn)以v?=4m/s速度運(yùn)動(dòng)，求彈簧伸長(zhǎng)量x在最高點(diǎn)時(shí)的可能取值（g=10m/s2）。提示：需考慮彈簧彈力的方向不確定性，分拉力和推力兩種情況列方程：彈力為拉力：$kx+mg=m\frac{v^2}{L+x}$彈力為推力：$mg-kx=m\frac{v^2}{L+x}$結(jié)合機(jī)械能守恒：$\frac{1}{2}mv_0^2=mg\cdot2(L+x)+\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2$（注：彈簧彈性勢(shì)能需納入能量方程，計(jì)算過(guò)程較復(fù)雜，建議取x=0.1m驗(yàn)證）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、基礎(chǔ)概念辨析題（一）填空題拉力；拉力；支持力√(gL)；0mg+mv2/L；mg-mv2/L（二）判斷題×（速度過(guò)小會(huì)導(dǎo)致繩子松弛）×（速度過(guò)大時(shí)表現(xiàn)為拉力，方向向下）√二、動(dòng)力學(xué)分析計(jì)算題（一）繩球模型專(zhuān)項(xiàng)（例題1修正后）（1）v=√(v?2-4gL)=√(64-40)=√24≈4.9m/s（2分）（2）T=mv2/L-mg=0.5×24/1-5=7N（3分）（3）最低點(diǎn)T=mv?2/L+mg=0.5×64