第三章數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度知識點梳理01：平均數(shù)（1）算術(shù)平均數(shù)：一般地，對于個數(shù)，我們把叫做這個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，簡稱平均數(shù)，記作.計算公式為.【要點提示】平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的“平均水平”，反映了.（1）當一組數(shù)據(jù)較大時，并且這些數(shù)據(jù)都在某一常數(shù)附近上、下波動時，一般選用簡化計算公式.其中為新數(shù)據(jù)的平均數(shù)，為取定的接近這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的較“整”的數(shù).（2）加權(quán)平均數(shù)：平均數(shù)的大小與均有關(guān)系，其中任一數(shù)據(jù)的變動都會相應(yīng)引起平均數(shù)的變動.所以平均數(shù)容易受到個別特殊值的影響.若個數(shù)的權(quán)分別是，則叫做這個數(shù)的加權(quán)平均數(shù).【要點提示】（1）相同數(shù)據(jù)的個數(shù)叫做權(quán)，越大，表示的個數(shù)越多，“權(quán)”就.數(shù)據(jù)的權(quán)能夠反映.（2）加權(quán)平均數(shù)實際上是的另一種表現(xiàn)形式，.知識點梳理02：中位數(shù)與眾數(shù)（1）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按照的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).【要點提示】（1）一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是的；一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)不一定出現(xiàn)在這組數(shù)據(jù)中.（2）由一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可以知道中位數(shù)以上和以下數(shù)據(jù).（2）眾數(shù)：的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).【要點提示】（1）一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)一定出現(xiàn)在這組數(shù)據(jù)中；一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；如果所有數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都一樣，那么這組數(shù)據(jù)就沒有眾數(shù).（2）眾數(shù)是而不是數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù).（3）平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別：聯(lián)系：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都是用來，其中以最為重要.區(qū)別：平均數(shù)的大小與每一個數(shù)據(jù)都有關(guān)，任何一個數(shù)的波動都會引起的波動，當一組數(shù)據(jù)中有個別數(shù)據(jù)太高或太低，用平均數(shù)來描述整體趨勢則不合適，用或則較合適.中位數(shù)與數(shù)據(jù)排列位置有關(guān)，個別數(shù)據(jù)的波動對中位數(shù)沒影響；眾數(shù)主要研究，當時，可用眾數(shù)來描述.知識點梳理03：方差（1）極差：用一組數(shù)據(jù)中的來反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，用這種方法得到的差稱為極差，極差＝.【要點提示】極差是，它受的影響較大.一組數(shù)據(jù)極差越小，這組數(shù)據(jù)就越.（2）方差：方差的計算公式是：。它是反映的特征的量.（3）標準差：方差的，【要點提示】（1）方差反映的是一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況.方差越大，數(shù)據(jù)的波動；方差越小，數(shù)據(jù)的波動.（2）一組數(shù)據(jù)的每一個數(shù)都加上（或減去）同一個常數(shù)，所得的一組新數(shù)據(jù)的方差不變.（3）極差、方差和標準差的聯(lián)系與區(qū)別聯(lián)系：極差與方差、標準差都是表示．區(qū)別：極差表示的大小，它受的影響較大；方差反映了的大小．方差越大，穩(wěn)定性也；反之，則穩(wěn)定性．所以一般情況下用極差，在考慮到這組數(shù)據(jù)的時用方差.易錯點1：加權(quán)平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)混淆錯誤：忽略權(quán)重差異，直接求算術(shù)平均。

注意：算術(shù)平均數(shù)，簡稱平均數(shù)，記作.計算公式為.加權(quán)平均數(shù)：若個數(shù)的權(quán)分別是，則叫做這個數(shù)的加權(quán)平均數(shù).【典例精講1】設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，...，xn(1)x1+3，x2+3，(2)2x1，2x2，【變式訓(xùn)練1】某校八年級學(xué)生數(shù)學(xué)科目期末評價成績是由完成作業(yè)、單元檢測、期末考試三項成績構(gòu)成的，如果期末評價成績80分以上（含80分），則評為“優(yōu)秀”．下面表中是小張和小王兩位同學(xué)的成績記錄：完成作業(yè)單元檢測期末考試小張709080小王6075(1)若按三項成績的平均分記為期末評價成績，請計算小張的期末評價成績；(2)若按完成作業(yè)、單元檢測、期末考試三項成績按1：2：易錯點2：中位數(shù)計算未排序或忽略偶數(shù)項均值錯誤：直接定位中間數(shù)，未先排序；偶數(shù)項時未取平均值。

注意：奇數(shù)個數(shù)據(jù)：第n+12偶數(shù)個數(shù)據(jù)：第n2和n2【典例精講2】（23-24八年級上·山東青島·單元測試）現(xiàn)有一列數(shù)：6，3，3，4，5，4，3，若增加一個數(shù)x后，這列數(shù)的中位數(shù)仍不變，則x的值不可能為．【變式訓(xùn)練2】（2025·山西·三模）第四屆全民閱讀大會于2025年4月23日在山西太原開幕．大會的主題是“培育讀書風尚建設(shè)文化強國”．某校借此機會舉辦了主題為“書香校園重讀經(jīng)典”的演講比賽，滿分為10分，得分均為整數(shù)，成績達到6分及以上為合格，達到9分及以上為優(yōu)秀．從九年級一班和九年級二班各隨機抽取10名同學(xué)的成績，并進行整理．數(shù)據(jù)整理：小晉將隨機抽取的兩個班級的成績整理成如下統(tǒng)計圖：數(shù)據(jù)分析：小晉對兩個班級的成績進行了如下分析：班級平均數(shù)/分中位數(shù)/分眾數(shù)/分合格率優(yōu)秀率九年級一班76b9030九年級二班7.3a8c20根據(jù)上述信息回答下列問題：(1)填空：a=，b=，c(2)在所抽取同學(xué)的成績中，每班成績前50%的同學(xué)可以得到“閱讀小能手”的稱號．被抽到的小張同學(xué)的成績是7(3)請你結(jié)合表格中的信息，對兩個班級的成績進行評價．（寫出兩條即可）易錯點3：眾數(shù)遺漏多解或誤判唯一性錯誤：認為眾數(shù)唯一，忽略頻數(shù)相同的數(shù)據(jù)。

注意：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)（可能多個或無眾數(shù)）?！镜淅v2】（2025·上海浦東新·二模）小明喬遷的新居使用的是分時電表，按平時段（06:00~22:00）和谷時段（22:00~次日6:00）分別計費．為了解2025年4月新居的平時段用電量，小明連續(xù)8天，每天22:00記錄了電表平時段的讀數(shù)，如下表：星期日一二三四五六日平時段的讀數(shù)（單位：千瓦時）109121133149156173201221根據(jù)表格提供的信息，解答下列問題：(1)小明家這幾天中，平時段單日用電量最大的那天的用電量是________千瓦時；(2)計算小明家4月份平時段用電總量約是多少千瓦時？(3)小明計算出這幾天平時段單日用電量的中位數(shù)和眾數(shù)都是16千瓦時，你認為正確嗎？請簡要說明理由．【變式訓(xùn)練3】（24-25九年級上·全國·期末）一組數(shù)據(jù)：1、3、4、5、x、8的眾數(shù)是5，在這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是；易錯點4：方差與標準差混淆單位或步驟錯誤：方差結(jié)果未開方誤當標準差混淆單位（方差為原單位平方，標準差同原單位）

注意：方差s標準差s=【典例精講4】（2023·北京·一模）甲、乙兩名射擊愛好者5次射擊測試成績（單位：環(huán)）的統(tǒng)計圖如圖所示．記甲、乙兩人這5次測試成績數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為x甲，x乙，方差分別為s甲2，s乙2，則x甲【變式訓(xùn)練4】（2025·福建·中考真題）甲、乙兩人是新華高級中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組成員．以下是他們在參加高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)備隊員集訓(xùn)期間的測試成績及當?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽的相關(guān)信息．信息一：甲、乙兩人集訓(xùn)期間的測試成績（單位：分）日期隊員2月10日2月21日3月5日3月14日3月25日4月7日4月17日4月27日5月8日5月20日甲75807381908385929596乙82838682928387868485其中，甲、乙成績的平均數(shù)分別是x甲=85,x信息二：當?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽獲獎分數(shù)線（單位：分）年份20202021202220232024獲獎分數(shù)線9089908990試根據(jù)以上信息及你所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識，解決以下問題：(1)計算a的值，并根據(jù)平均數(shù)與方差對甲、乙的成績進行評價；(2)計算當?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽獲獎分數(shù)線的平均數(shù)，并說明：若要從中選擇一人參加高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，選誰更合適；(3)若要從中選擇一人參加進一步的培養(yǎng)，從發(fā)展?jié)撃艿慕嵌瓤紤]，你認為選誰更合適？為什么？一、選擇題1．（24-25九年級上·河北石家莊·期末）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)進行了10次計算比賽，甲丙兩人10次的平均成績都是95，乙丁兩人10次的平均成績都為93，但是方差分別是S甲2=0.13，S乙2=0.69，S丙A．甲 B．乙 C．丙 D．丁2．（24-25九年級上·全國·隨堂練習）某同學(xué)使用計算器求30個數(shù)據(jù)的平均數(shù)時，錯將其中的一個數(shù)據(jù)105輸入為15，則由此求出的平均數(shù)與實際平均數(shù)的差是（

）A．-3.5 B．3 C．0.5 D．3．（24-25八年級下·山西朔州·期末）某班級舉辦“七步洗手法”比賽活動，小明的單項成績（各項成績均按百分計）如下表所示：項目書面測試實際操作宣傳展示成績/分959795若按書面測試占30%、實際操作占50%、宣傳展示占20%A．94分 B．95分 C．96分 D．97分4．（24-25九年級上·江蘇徐州·期末）某校足球隊隊員年齡的平均數(shù)為13歲，方差為2歲2．若兩年后該足球隊隊員不變，則下列關(guān)于隊員前后年齡的說法，正確的是（

）A．平均數(shù)不變，方差改變 B．平均數(shù)不變，方差不變C．平均數(shù)改變，方差不變 D．平均數(shù)改變，方差改變5．（24-25八年級上·山東聊城·期末）《聊城市初中畢業(yè)生體育考試實施方案》中指出初中畢業(yè)生體育考試成績由運動參與、運動技能測試、體質(zhì)健康測試和統(tǒng)一體能測試四部分得分合成，其中體質(zhì)健康測試在八年級下學(xué)期集中測試，滿分30分．某學(xué)校體育老師對八年級（7）班全體學(xué)生進行了一次體質(zhì)健康測試，成績?nèi)缦拢撼煽?分24252627282930人數(shù)5101215521根據(jù)表中信息判斷，下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．該班一共有50名同學(xué) B．該班學(xué)生這次測試成績的眾數(shù)是27分C．該班學(xué)生這次測試成績的中位數(shù)是27分 D．該班學(xué)生這次測試成績的平均數(shù)是26.3分6．（24-25八年級上·浙江寧波·期末）檢測游泳池的水質(zhì)，要求三次檢驗的PH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．已知第一次PH檢測值為7.4，第二次PH檢測值在7.0至7.9之間（包含7.0和7.9），若該游泳池檢測合格，則第三次PH檢測值x的范圍是（

）A．7.2≤x≤C．7.2≤x≤7．（2025·湖北十堰·模擬預(yù)測）一次校園文化藝術(shù)節(jié)獨唱比賽中，小丁對九位評委老師給自己打出的分數(shù)進行了分析，并制作了如下表格：平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差9.29.29.10.23如果去掉一個最高分和一個最低分，那么表格中數(shù)據(jù)一定不會發(fā)生變化的是（

）A．中位數(shù) B．眾數(shù) C．平均數(shù) D．方差二、填空題8．（24-25九年級上·江蘇無錫·階段練習）甲、乙兩名射擊運動員進行射擊測試，每人10次射擊成績的平均數(shù)都是9.8（單位：環(huán)）及方差分別是1.6和1.8（單位：環(huán)2）要從中選擇一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的運動員參加比賽，應(yīng)選擇．9．（24-25九年級上·全國·隨堂練習）當五個整數(shù)從小到大排列后，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是4，如果其唯一眾數(shù)是6，那么這組數(shù)據(jù)可能的最大的和是．10．（2025·福建漳州·二模）4月23日是世界讀書日，某校舉行以“書與遠方”為主題的演講比賽．小吳同學(xué)的“演講內(nèi)容”得96分，“語言表達”得85分，“儀表形象”得90分．若按照圖中所示的百分比計算，則她的最后得分是分．11．（2025·福建·一模）我省某茶文化研究院招聘一名茶文化推廣專員，對三位應(yīng)聘者進行茶藝展示和茶文化知識考核，他們?nèi)顺煽儯ò俜种疲┤缦卤硭?，總評成績按茶藝展示占70%，茶文化知識考核占30%計算，則該研究院應(yīng)該錄用應(yīng)聘者茶藝展示成績茶文化知識考核成績甲8590乙9290丙888512．（2025·福建泉州·二模）課標明確規(guī)定把學(xué)生學(xué)會炒菜納入了勞動教育課程．若九（1）班第一小組5名學(xué)生會炒菜的種數(shù)依次為：3，2，6，4，3，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是．13．（24-25九年級上·北京·期中）已知x1，x2，x3，?，x10的平均數(shù)是5，則x1+1，x214．（2024·山東青島·中考真題）圖①和圖②中的兩組數(shù)據(jù)，分別是甲、乙兩地2024年5月27日至31日每天的最高氣溫，設(shè)這兩組數(shù)據(jù)的方差分別為s2甲，s2乙，則s2甲s215．（24-25九年級上·山東德州·開學(xué)考試）某校老師承擔了對甲、乙兩名學(xué)生每周“送教上門”的任務(wù)甲、乙兩名學(xué)生某十周每周接受“送教上門”的時間（單位：小時）如下：甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9．從接受“送教上門”的時間波動大小來看，學(xué)生每周接受送教的時間更穩(wěn)定（填“甲”或“乙”）．三、解答題16．（24-25九年級上·廣東廣州·階段練習）某中學(xué)為了解八年級學(xué)生平均每天的睡眠時間（均保留整數(shù)），隨機調(diào)查了該年級若干個學(xué)生，繪制了如下不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．請根據(jù)圖中的信息解答下列問題：

(1)請補全條形統(tǒng)計圖；(2)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是；中位數(shù)是；(3)根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果，估計該校八年級學(xué)生平均每天的睡眠時間．17．（24-25九年級上·江蘇泰州·階段練習）為弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，校學(xué)生處在八、九年級各抽取50名同學(xué)開展傳統(tǒng)文化知識競賽，為便于統(tǒng)計成績，制定了取整數(shù)的計分方式，滿分10分，競賽成績?nèi)鐖D所示：眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)方差八年級競賽成績7bc1.88九年級競賽成績a88m根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)填空：表中的a=______，b=______，c(2)該校九年級學(xué)生共有900人，若九年級學(xué)生都參加傳統(tǒng)文化知識競賽，請估計滿分有多少人？(3)求九年級被抽取的50名同學(xué)競賽成績的方差m，并比較八、九年級哪個年級成績更穩(wěn)定？18．（2025·安徽·中考真題）某景區(qū)管理處為了解景區(qū)的服務(wù)質(zhì)量，現(xiàn)從該景區(qū)5月份的游客中隨機抽取50人對景區(qū)的服務(wù)質(zhì)量進行評分，評分結(jié)果用x表示（單位：分），將全部評分結(jié)果按以下五組進行整理，并繪制統(tǒng)計表，部分信息如下：組別ABCDE分組4555657585人數(shù)3315a10請根據(jù)以上信息，完成下列問題：(1)a=________(2)這50名游客對該景區(qū)服務(wù)質(zhì)量評分的中位數(shù)落在________組；(3)若游客評分的平均數(shù)不低于75，則認定該景區(qū)的服務(wù)質(zhì)量良好．分別用50，60，70，80，90作為A，B，C，D，E這五組評分的平均數(shù)，估計該景區(qū)5月份的服務(wù)質(zhì)量是否良好，并說明理由．19．（2025·安徽阜陽·二模）某中學(xué)準備從七年級演唱非常好的甲、乙兩位同學(xué)中選出一位參加區(qū)教體局舉辦的“慶六一”晚會．為此邀請五位評委進行現(xiàn)場打分，將甲、乙兩位選手的得分數(shù)據(jù)整理成下列統(tǒng)計圖與統(tǒng)計表．平均數(shù)中位數(shù)方差甲8.8a0.56乙b9c根據(jù)以上信息，解決下列問題：(1)表格中的a=_____，b=_____，c(2)你認為選誰更合適？請說明理由；(3)在演唱比賽中，往往在所有評委給出的分數(shù)中，去掉一個最高分和一個最低分，然后計算余下分數(shù)的平均分．如果去掉一個最高分和一個最低分之后，選誰更合適，請說明理由．20．（24-25八年級上·山東菏澤·期末）根據(jù)國家教委的要求，我縣各中小學(xué)已全面推行學(xué)校課后延時服務(wù)．某中學(xué)為了解家長對課后延時服務(wù)的滿意度，在七、八年級中各隨機抽取10名學(xué)生家長進行問卷調(diào)查，獲得了每位學(xué)生家長對課后延時服務(wù)的評分數(shù)據(jù)．調(diào)查主題：七、八年級家長對課后延時服務(wù)評分調(diào)查報告【設(shè)計調(diào)查方式】在七、八年級中各隨機抽取了10名學(xué)生家長對課后延時服務(wù)的評分（滿分10分）．【收集、整理、描述數(shù)據(jù)】家長對課后延時服務(wù)的評分統(tǒng)計圖（滿分10分）：

數(shù)據(jù)分析：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差七年級a8c1.2八年級8b71.8請根據(jù)以上調(diào)查報告，解答下列問題：(1)上述表格中：a=______，b=______，c(2)在兩個年級中，如果某個年級評分的10個數(shù)