②若在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減．【清單03】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值1、函數(shù)的極值函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，如果對(duì)附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)，記作．如果對(duì)附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點(diǎn)．求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟（1）先確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）求方程的根；（4）檢驗(yàn)在方程的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極小值．注：①可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號(hào)異號(hào)．②是為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點(diǎn)．另外，極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)，在極小值點(diǎn)是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：為可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)；但為的極值點(diǎn)．2、函數(shù)的最值函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點(diǎn)之間的最小者．導(dǎo)函數(shù)為（1）當(dāng)時(shí)，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．（2）當(dāng)時(shí)，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得．【題型一】導(dǎo)數(shù)的計(jì)算【例1】．（25-26高二上·福建莆田·月考）已知函數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．【變式1-1】．（24-25高二下·福建泉州·月考）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【變式1-2】．（25-26高二上·浙江寧波·期中）（多選題）下列導(dǎo)數(shù)計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【題型二】導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用【例2】．（25-26高二上·浙江寧波·期中）已知函數(shù)，則函數(shù)在處的切線方程是．

【變式2-1】．（25-26高二·全國·假期作業(yè)）曲線在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為，在點(diǎn)處的切線方程為．【變式2-2】．（25-26高二上·重慶沙坪壩·期中）已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則的值為（

）A．3 B． C． D．【題型三】證明（判斷）函數(shù)的單調(diào)性【例3】．（24-25高二下·重慶沙坪壩·期末）已知函數(shù)，(1)若曲線與軸相切，求實(shí)數(shù)的取值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【變式3-1】．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論單調(diào)性．

【變式3-2】．（24-25高二下·四川資陽·月考）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)討論的單調(diào)性．【題型四】函數(shù)單調(diào)性的簡單應(yīng)用【例4】．（24-25高二下·云南昭通·期中）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式4-1】．（24-25高二下·四川南充·期中）已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，則的值為（

）A．3 B．2 C．1 D．【變式4-2】．（24-25高二下·上海黃浦·月考）若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是．

【題型五】函數(shù)的極值【例5】．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得極小值5.(1)求的值；(2)當(dāng)時(shí)，求的最小值.【變式5-1】．（25-26高二上·全國·單元測(cè)試）已知函數(shù)在處有極小值，則的值為（

）A．1或3 B．2 C．3 D．1【變式5-2】．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若是的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

【題型六】函數(shù)的最值【例6】．（25-26高三上·廣東廣州·月考）已知函數(shù)．(1)當(dāng)，求在區(qū)間上的最大值；(2)討論的單調(diào)性．【變式6-1】．（23-24高二下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知函數(shù)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【變式6-2】．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的最值；(2)若，求的取值范圍．【題型七】函數(shù)中的構(gòu)造問題【例7】．已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，對(duì)任意，恒有，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．

【變式7-1】．已知偶函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，且，則的解集為.【變式7-2】．已知為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，其中為的導(dǎo)數(shù)，則不等式的解集為．【題型八】不等式的恒成立問題【例8】．（24-25高二下·北京大興·期中）在下列不等式中，當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的不等式對(duì)任意的不能恒成立的是（

）A． B．C． D．【變式8-1】.當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式8-2】．已知函數(shù)，，若對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【題型九】不等式的證明問題【例9】．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).求證：當(dāng)時(shí)，；

【變式9-1】．（25-26高三上·福建莆田·期中）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【變式9-2】．（25-26高三上·安徽·月考）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，證明．

【題型十】函數(shù)的零點(diǎn)問題【例10】．（25-26高三上·廣東河源·月考）已知函數(shù)在處有極值.(1)求的值；(2)若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式10-1】．（25-26高三上·重慶·月考）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)證明:當(dāng)時(shí)，在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

【題型一】容易函數(shù)的定義域而致錯(cuò)【例1】．（2025·青?！つM預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性；(3)若，恒成立，求的取值范圍．【變式1-1】．（2025·吉林長春·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若恒成立，求