2.2.1直線的點(diǎn)斜式方程第二章

§2.2

直線的方程<<<1.了解由斜率公式推導(dǎo)直線的點(diǎn)斜式方程的過程.2.掌握直線的點(diǎn)斜式方程與斜截式方程.(重點(diǎn))3.會利用直線的點(diǎn)斜式方程與斜截式方程解決有關(guān)的問題.(難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)射擊手在進(jìn)行射擊訓(xùn)練時，要掌握兩個動作要領(lǐng)：一是托槍的手要非常穩(wěn)，二是眼睛要瞄準(zhǔn)目標(biāo)的方向.若要把子彈飛行的軌跡看作一條直線，且射擊手達(dá)到了上述的兩個動作要求，則托槍的手的位置相當(dāng)于直線上的定點(diǎn)，眼睛瞄準(zhǔn)的方向即為直線的傾斜方向.導(dǎo)語一、求直線的點(diǎn)斜式方程二、直線的斜截式方程課時對點(diǎn)練三、根據(jù)直線的斜截式方程判斷兩直線平行與垂直隨堂演練內(nèi)容索引求直線的點(diǎn)斜式方程一

給定一個點(diǎn)P0(x0，y0)和斜率k(或傾斜角)就能確定一條直線.怎么確定P0(x0，y0)和斜率k之間的關(guān)系？問題1我們把方程

稱為過點(diǎn)P0(x0，y0)，斜率為k的直線l的方程.方程y-y0=k(x-x0)由直線上一個定點(diǎn)(x0，y0)及該直線的斜率k確定，我們把它叫做直線的

，簡稱點(diǎn)斜式.y-y0=k(x-x0)點(diǎn)斜式方程(1)點(diǎn)斜式應(yīng)用的前提是直線的斜率存在，若斜率不存在，則不能應(yīng)用此種形式.(2)當(dāng)直線與x軸平行或重合時，方程可簡寫為y=y0.特別地，x軸的方程是y=0.(3)當(dāng)直線與y軸平行或重合時，不能應(yīng)用點(diǎn)斜式方程.此時可將方程寫成x=x0.特別地，y軸的方程是x=0.

注

意

點(diǎn)<<<(課本例1)直線l經(jīng)過點(diǎn)P0(-2，3)，且傾斜角α=45°，求直線l的點(diǎn)斜式方程，并畫出直線l.例

1直線l經(jīng)過點(diǎn)P0(-2，3)，斜率k=tan45°=1，代入點(diǎn)斜式方程得y-3=x+2.解畫圖時，只需再找出直線l上的另一點(diǎn)P1(x1，y1)，例如，取x1=-1，則y1=4，得點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(-1，4)，過P0，P1兩點(diǎn)的直線即為所求，如圖所示.

根據(jù)條件寫出下列直線的點(diǎn)斜式方程：(1)經(jīng)過點(diǎn)A(-4，3)，斜率k=3；例

1由點(diǎn)斜式方程可知，所求直線的點(diǎn)斜式方程為y-3=3(x+4).解(2)經(jīng)過點(diǎn)B(-1，4)，傾斜角為135°.由題意知，直線的斜率k=tan

135°=-1，故所求直線的點(diǎn)斜式方程為y-4=-(x+1).解求直線的點(diǎn)斜式方程的步驟及注意點(diǎn)(1)求直線的點(diǎn)斜式方程的步驟：定點(diǎn)(x0，y0)→定斜率k→寫出方程y-y0=k(x-x0).(2)點(diǎn)斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示過點(diǎn)P(x0，y0)的所有直線，但x=x0除外.

反思感悟

跟蹤訓(xùn)練

1

解(2)經(jīng)過點(diǎn)P(5，-2)，且與y軸平行；與y軸平行的直線，其斜率k不存在，不能用點(diǎn)斜式方程表示.但直線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為5，故直線方程可記為x=5.解(3)過P(-2，3)，Q(5，-4)兩點(diǎn).

解二直線的斜截式方程提示由點(diǎn)斜式方程得y-b=k(x-0)，即y=kx+b.直線l上給定一個點(diǎn)P0(0，b)和斜率k，求直線l的方程.問題21.直線l與y軸的交點(diǎn)(0，b)的

叫做直線l在y軸上的截距.2.把方程y=kx+b叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式.縱坐標(biāo)b(1)直線的斜截式方程是直線的點(diǎn)斜式方程的特殊情況，只能在直線斜率存在的前提下使用；由直線的斜截式方程可直接得到直線的斜率和在y軸上的截距.(2)截距是一個實數(shù)，它是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，可以為正數(shù)、負(fù)數(shù)和0.當(dāng)直線過原點(diǎn)時，它在x軸上的截距和在y軸上的截距都為0.

注

意

點(diǎn)<<<

已知直線l1的方程為y=-2x+3，l2的方程為y=4x-2，直線l與l1平行且與l2在y軸上的截距相同，求直線l的方程.例

2由斜截式方程知，直線l1的斜率k1=-2，又因為l∥l1，所以kl=-2.由題意知，l2在y軸上的截距為-2，所以直線l在y軸上的截距b=-2.由斜截式可得直線l的方程為y=-2x-2.解

本例中若將“直線l與l1平行且與l2在y軸上的截距相等”改為“直線l與l1垂直且與l2在y軸上的截距互為相反數(shù)”，求直線l的方程.延伸探究1

解

若本例條件不變，求本例中直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.延伸探究2

解求直線的斜截式方程的策略(1)斜截式方程的應(yīng)用前提是直線的斜率存在.(2)直線的斜截式方程y=kx+b中只有兩個參數(shù)，因此要確定直線方程只需兩個獨(dú)立條件即可.

反思感悟根據(jù)直線的斜截式方程判斷兩直線平行與垂直三(課本例2)已知直線l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，試討論：(1)l1∥l2的條件是什么？例

3若l1∥l2，則k1=k2，此時l1，l2與y軸的交點(diǎn)不同，即b1≠b2；反之，若k1=k2，且b1≠b2，則l1∥l2.解(2)l1⊥l2的條件是什么？若l1⊥l2，則k1k2=-1；反之，若k1k2=-1，則l1⊥l2.解

例

3

解若l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，則l1∥l2?k1=k2且b1≠b2，l1⊥l2?k1k2=-1.

反思感悟(1)當(dāng)a為何值時，直線l1：y=-x+2a與直線l2：y=(a2-2)x+2平行？跟蹤訓(xùn)練2

解(2)當(dāng)a為何值時，直線l1：y=(2a-1)x+3與直線l2：y=4x-3垂直？

解1.知識清單：(1)直線的點(diǎn)斜式方程.(2)直線的斜截式方程.2.方法歸納：待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法.3.常見誤區(qū)：求直線方程時忽視斜率不存在的情況；混淆截距與距離.隨堂演練四1234

√

解析1234

√

解析12343.若直線y=kx+b通過第一、三、四象限，則有A.k>0，b>0 B.k>0，b<0C.k<0，b>0 D.k<0，b<0√∵直線經(jīng)過第一、三、四象限，∴圖形如圖所示，由圖知，k>0，b<0.解析12344.已知直線y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直，則a=

.

由題意可知a·(a+2)=-1，解得a=-1.解析-1課時對點(diǎn)練五題號1234567答案BDAADBC題號811121314答案y=x+5BCD題號

15答案對一對答案123456789101112131415169.答案12345678910111213141516

10.答案12345678910111213141516

10.答案12345678910111213141516

16.答案12345678910111213141516(1)由y=kx+2k+1，得y-1=k(x+2).由直線方程的點(diǎn)斜式可知，直線l恒過定點(diǎn)(-2，1).(2)設(shè)函數(shù)f(x)=kx+2k+1，顯然其圖象是一條直線(如圖所示)，若要使當(dāng)-3<x<3時，直線上的點(diǎn)都在x軸上方，16.答案12345678910111213141516

基礎(chǔ)鞏固1.過點(diǎn)P(2，-1)，且傾斜角為90°的直線方程為A.y=-1 B.x=2C.y=2 D.x=-1√過點(diǎn)P(2，-1)，且傾斜角為90°的直線垂直于x軸，其方程為x=2.解析答案12345678910111213141516

√答案12345678910111213141516

解析3.已知直線l過點(diǎn)(-3，4)且方向向量為(1，-2)，則l在x軸上的截距為A.-1 B.1

C.-5 D.5√因為直線l的方向向量為(1，-2)，所以直線l的斜率k=-2，又直線l過點(diǎn)(-3，4)，所以直線方程為y-4=-2(x+3)，

令y=0，得x=-1，所以l在x軸上的截距為-1.解析答案12345678910111213141516

√所求直線與已知直線垂直，因此所求直線的斜率為-2，故方程為y-3=-2(x+1).解析答案12345678910111213141516

√答案12345678910111213141516答案12345678910111213141516

解析

√√答案12345678910111213141516答案12345678910111213141516

解析

解析答案12345678910111213141516

8.直線l的斜率k為方程x2-2x+1=0的根，且在y軸上的截距為5，則直線l的方程為

.

由題意，方程x2-2x+1=0的根為1，所以k=1，又在y軸上的截距為5，則直線l的方程為y=x+5.解析答案12345678910111213141516y=x+59.求滿足下列條件的m的值.(1)直線l1：y=-x+1與直線l2：y=(m2-2)x+2m平行；∵l1∥l2，∴兩直線的斜率相等.∴m2-2=-1且2m≠1，∴m=±1.解答案12345678910111213141516(2)直線l1：y=-2x+3與直線l2：y=(2m-1)x-5垂直.

解答案1234567891011121314151610.直線l過點(diǎn)(2，2)，且與x軸和直線y=x圍成的三角形的面積為2，求直線l的方程.答案12345678910111213141516答案12345678910111213141516

解11.(多選)同一坐標(biāo)系中，直線l1：y=ax+b與l2：y=bx-a大致位置正確的是綜合運(yùn)用答案12345678910111213141516√√答案12345678910111213141516因為l1：y=ax+b，l2：y=bx-a，對于A，由圖可得直線l1的斜率a<0，在y軸上的截距b<0，而l2的斜率b>0，矛盾，故A錯誤；對于B，由圖可得直線l1的斜率a>0，在y軸上的截距b<0，而l2的斜率b<0，在y軸上的截距-a<0，即a>0，符合題意，故B正確；對于C，由圖可得直線l1的斜率a<0，在y軸上的截距b>0，而l2的斜率b>0，在y軸上的截距-a>0，即a<0，符合題意，故C正確；對于D，由圖可得直線l1的斜率a>0，在y軸上的截距b>0，而l2的斜率b<0，矛盾，故D錯誤.解析12.已知直線l：y=xsinθ+cosθ的圖象如圖所示，則角θ是A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角√答案12345678910111213141516結(jié)合圖象易知，sin

θ<0，cos

θ>0，則角θ是第四象限角.解析13.在y軸上的截距為-6，且與y軸相交成60°角的直線方程為

.

答案1234567891011121314