考試時間：120分鐘滿分：150分一．單選題（本小題8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的2．已知復數(shù)z，則z=()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件5．已知圓錐的母線長為8，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的表面積A．24πB．27πC．30πD．33π6．已知樣本數(shù)據(jù)：x1，x2，a，3-b，x3的方差為0，則a2+b2的最小值為()7．若f(x，記a=fb=f，c=f則a，b，c的大小關(guān)8．在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)面PAB是以AB為斜邊的等腰直角三角形，PC=PD若該四棱錐的所有頂點都在球O的表面上，則球O的表面積二．多選題（本小題3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多9．如圖，已知ΔABC，AB=1，AC=，BC=2，其內(nèi)有一點G，滿足A．AG=3AB+4ACB．點G為ΔABC的重心11．如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進一些水，已知BC=8，有水部分的幾何體體積是V，下列命題正確的是()A．固定容器底面一邊BC于地面上，將容器傾斜，有水的部分始終呈棱柱形B．固定容器底面一頂點B于地面上，將容器傾斜，有水的部分可能是三棱錐D．體積為V的正方體可以在軸截面為正三角形且底面半徑為3的圓錐內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)三、填空題（本小題共3小題，每小題5分，共15分12．已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，點M在C上，且點M到y(tǒng)軸的距離為4，則MF=．則log1b2025的值為．214．若不等式e2x+2t2x≥tex(2+x)對任意x∈[1,+∞)恒成立，則實數(shù)t的最大值是___四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.（13分）已知點A(2,1)關(guān)于坐標原點的對稱點為B，動點P滿足直線PA,PB的斜率之積為，記動點P的軌跡為曲線C．(1)求C的方程；(2)若ΔPAB為以AB為底邊的等腰三角形，求ΔPAB的面積．16（15分已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a，當n≥2時，an(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)記[x]表示不超過x的最大整數(shù)，bn，求數(shù)列{bn}前100項的和T100.17.（15分）已知平行六面體ABCD-A117.（15分）已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形，所有棱長為2，點O1和O分別為上、下底面的中心，且A1AB=A1AD18.（17分）某工廠一臺自動加工機器有兩種狀態(tài)：正常和故障．每小時初檢查機器狀態(tài)，若正常，則繼續(xù)工作；若故障，則進行檢修．機器在正常狀態(tài)下，1小時內(nèi)都不會發(fā)生故障，1小時后故障的概率為0.2，故障時有兩種檢修方案：方案一是加急檢修，1小時修復的概率為0.9，費用為9元/小時；方案二是常規(guī)檢修，1小時修復的概率為0.6，費用為6元/小時．若1小時內(nèi)無法修復，則下1小時繼續(xù)采用同樣的檢修方案．機器正常工作1小時可收益10元．各小時機器狀態(tài)是否正常相互獨立．(1)假設機器初始狀態(tài)為正常，若機器出現(xiàn)故障則隨機選擇檢修方案，求2小時后機器正常工作的概率；(2)假設機器初始狀態(tài)為故障，并一直選擇加急檢修，求3小時內(nèi)機器的總收益X的分布列和數(shù)學期望；(3)假設機器初始狀態(tài)為正常，并長期選擇常規(guī)檢修，記n小時后（n≥1）機器正常的概率為Pn，求Pn并計算n個小時的累計期望收益E(Y)．19.（17分）如圖，在區(qū)間[a,b]上，曲線y=f(x)與x=a,x=b,x軸圍成的陰影部分面積記為面積S，若F,(x)=f(x)（F,(x)為函數(shù)y=F(x)的導函數(shù)則S=F(b)-F(a).設函數(shù)f直線分別交x=a,x=b于B,C兩點（B,C在第一象限設四邊形ABCD的面積為S1，寫出S1的表達式（用a,b表示）并證明：S>S1(3)函數(shù)g(x)=f(x)lnx-m有兩個不同的零點x1,x2，比較x1x2與e2的大小，并說明理由.數(shù)學試題答案一、單選題【答案】C【分析】由已知利用交集的運算，可得答案.2．已知復數(shù)z=，則z=()【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)模的公式及除法法則求解即可.3．已知x∈R，設甲：sinx；乙則甲是A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)兩者之間的推出關(guān)系可得正確的選項,則x不一定推出≤x≤；反之，當≤x≤時，一定有sin選：B.【答案】B【分析】由(2)丄可計算出.，再根據(jù)模長公式計算即可.222.25．已知圓錐的母線長為8，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的表面積為()【答案】D【分析】根據(jù)圓錐表面積公式，結(jié)合扇形的弧長和面積公式進行求解即可.【詳解】設圓錐的母線長為l=8，底面半徑為r，因為圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，6．已知樣本數(shù)據(jù)：x1，x2，a，3b，x3的方差為0，則a2+b2的最小值為()【答案】C2【分析】根據(jù)方差的意義可得a+b=3，利用不等式a2+b2≥(a+b)2即可得結(jié)果.2可得a2+b當且僅當a=b時，等號成立，所以a2+b2的最小值為.故選：C.7．若f(x)=(|(),x，記a=f,)，b=f，c=f則a，b，c的大小關(guān)系為()【答案】A【分析】分別代入求值表示a,b，對于c，結(jié)合根式以及二次函數(shù)求出c取值范圍，最后借助指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小.3 24，b=f(-1)==f(1) 22214∞)上單調(diào)遞減所以b<a<c，故選8．在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)面PAB是以AB為斜邊的等腰直角三角形，【答案】D【分析】方法1，如圖建立以E為坐標原點，以BE,EF所在直線分別為x,y軸，以過點E且垂直于平面ABCD的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設設O(x,y,z)，球O的半徑為R，由題可建立關(guān)于x,y,z及R的方程，據(jù)此可得表面積.方法2，分別過點E作平面PAB的垂線，過EF的中點G作平面ABCD的垂線,則兩垂線交點為球心，再在OEG利用正弦定理可得外接球半徑，即可得表面積；解法一如圖，分別取AB,CD的中點E，F(xiàn)，連接PE,PF,EF，因為四邊形ABCD是邊長為2的正方形，所以EF丄AB，EF=2，所以cosLPEF===-LPEF=.PE2所以cosLPEF===-LPEF=.以E為坐標原點，以BE,EF所在直線分別為x,y軸，以過點E且垂直于平面ABCD的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，22【點睛】關(guān)鍵點睛：求解外接球問題的關(guān)鍵在于確定球心的位置，而確定球心位置的依據(jù)主要是球心的兩個特性：一是球心到球面上各點的距離都等于半徑；二是球心與截面圓圓心的連線垂直于截面（球的截面圓性質(zhì)利用球的半徑R、截面圓的半徑r及球心到截面的距離d三者的關(guān)系R2=r2+d2求解.解法二如圖，分別取AB，CD的中點E,F，連接PE,PF,EF，因為四邊形ABCD是邊長為2的正方形，所以EF丄AB，EF=2，過點E作平面PAB的垂線，過EF的中點G作平面ABCD的垂線，62二、多選題A．AG=3AB+4ACB．點G為ABC的重心【答案】BCD=-=-2，利用重心的性質(zhì)即可判斷，對于C由,利用D,G,E三點共線即可判斷，對于D設AB中點為N，計算CN，利用重心的性質(zhì)得CG=CN.)三等分點，即G為ABC的重心，故B正確；確；對于D：設AB中點為N，則有AN=AB=，又AC=·、i3,BC=2,AB=1，即AC2+AB2=BAB丄AC，在Rt△ACN中有CN==，又G為重心，所以CG=2CN=，故D正確.故選：BCD.【答案】ABD【分析】利用余弦定理即可求得AB，由cosC求sinC，即得ABC面積，利用數(shù)量積的定義即可判斷C，設ABC的內(nèi)切圓半徑為r，由SABC=AB+AC+BC).r即可求解r.【解】由余弦定理有：AB2=AC2+BC2-2AC.BCcos設ABC的內(nèi)切圓半徑為r，則有SABC=AB+AC+BC).r=8，即r故D正確.故選：ABD.當?shù)酌鍭BCD水平放置時，水面位置滿足BF:FB1=1:3，容器內(nèi)有水部分的幾何體體積是V，下列命題正A．固定容器底面一邊BC于地面上，將容器傾斜，有水的部分始終呈棱柱形B．固定容器底面一頂點B于地面上，將容器傾斜，有水的部分可能是三棱錐D．體積為V的正方體可以在軸截面為正三角形且底面半徑為3、/6的圓錐內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)【答案】ACD【分析】根據(jù)棱柱的定義可判斷A選項；計算出三棱錐B-AB1C的體積，比較V和三棱錐B-AB1C體積的大小，可判斷B選項；計算出圓錐的外接球半徑R，比較R與3、的大小，可判斷C選項；計算出圓錐的內(nèi)切球半徑和正方體的外接球半徑，比較大小后可判斷D選項.【詳解】對于A選項，由棱柱的特征：有兩個平面時相互平行且是全等的多邊形，其余每相鄰兩個面的交線也相互平行，而這些面都是平行四邊形，故A正確；44441所以，將固定容器底面一頂點B于地面上，將容器傾斜，要使得有水的部分呈三棱錐，則需水的體積不超過三棱錐B-AB1C的體積，但VB-ABC<V，矛盾，B錯；對于C選項，設圓錐的底面半徑為r，則V可得r設圓錐的外接球半徑為R，由勾股定理可得r2+42=R2，解得R因為r22-16因為r22-16 -16π 0 0所以，體積為V，高為4·的圓錐不可以放在半徑為3、的球體內(nèi)，C對；對于D選項，設軸截面為正三角形且底面半徑為3、的圓錐的內(nèi)球半徑為r1，2=3v2，即圓錐的內(nèi)切球半徑為r1=3v2，2設正方體的棱長為a，則a3=V=48，所以，體積為V的正方體可以在軸截面為正三角形且底面半徑為3、的圓錐的內(nèi)切球內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，故體積為V的正方體可以在軸截面為正三角形且底面半徑為3、的圓錐內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，D對.故選：ACD.三、填空題12．已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，點M在C上，且點M到y(tǒng)軸的距離為4，則MF=．【答案】5【分析】利用拋物線的定義可求得MF的值.【解】拋物線y2=4x的準線方程為x=-1，因為點M到y(tǒng)軸的距離為4，所以點M到準線x=-1的距離為5，由拋物線定義可得MF=5．故答案為：5.13．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S15=120，等比數(shù)列{bn}的首項為1，若a8=b4，則log1b2025的2【答案】-2024【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式，等差數(shù)列下標和的性質(zhì)可得a8=8，利用等比數(shù)列的通項公式結(jié)合a8=b4求出公比，繼而可得b2025，再根據(jù)對數(shù)運算即可求解.【解】設數(shù)列{bn}的公比為q，由S15故log1b2025=log1b1q2024=log122024=-2024，故答案為：-2024.14．若不等式e2x+2t2x≥tex(2+x)對任意x∈[1,+∞)恒成立，則實數(shù)t的最大值是 【答案】(ex)(ex)|(t-2,|(t-x,≥0，結(jié)合恒成立可求出t的取值范圍.即令f(x)=，其中x≥1，則f,(x)=≥0對任意的x≥1恒成立，即函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù)，(e2)2當x=2時，則有|(t-2,≥0顯然成立；exex(ex)(ex)exexee22x(2,(x,2x222x(2,(x,2x22xx(ex)(ex)xx當x>2時，>，由|(t-2,|(t-x,≥xx(ex)(ex)xx綜上所述，t≤或t=，故t的最大值為.四、解答題15．已知點A(2,1)關(guān)于坐標原點的對稱點為B，動點P滿足直線PA,PB的斜率之積為-，記動點P的軌跡為曲線C．(1)求C的方程；(2)若PAB為以AB為底邊的等腰三角形，求PAB的面積．【分析】（1）設P(x,y)，由kPA.kPB=-化簡整理可得C的方程；（2）由題意可知，以AB為底邊的等腰三角形的頂點P在直線y=-2x上，聯(lián)立直線與C的方程，可求得x2,y2，從而得OP，求出AB，進而由三角形面積公式求出答案．【詳解】（1）點A(2,1)關(guān)于坐標原點的對稱點為B(-2,-1)，（2）∵點A(2,1)關(guān)于坐標原點的對稱點為B(-2,-1)，kAB==，∴AB的垂直平分線過原點且斜率為-2，故AB的垂直平分線的方程為y=-2x.∴以AB為底邊的等腰三角形的頂點P在直線y=-2x上，〔y=-2xy=-2xxy12222x+y,又AB=(-1-1)22△PAB2 2 2.16．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=，當n≥2時an+SnSn-1=0.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)記[x]表示不超過x的最大整數(shù)，bn，求數(shù)列{bn}前100項和T100.【答案】(1)證明見解析(2)94【分析】（1）由an與Sn的關(guān)系可得根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明；Sn.Sn.nSn-1=0，可得Sn-Sn-1+SnSn-1=0，則即n≥2)，所以是首項為2，公差為1的等差數(shù)列.nnT100=9417．已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形，所有棱(1)求證：平面A1BD丄平面ABCD；(2)求平面O1BC與平面BCC1B1所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，利用線面垂直判定以及面面垂直判定，可得答案；（2）由題意建立空間直角坐標系，求得兩個平面的法向量，利用面面角的夾角向量公式，可得答案.在正方形ABCD中，由ACBD=O，則O為BD的中點，易知因為A1O平面A1BD，所以平面A1BD丄平面ABCD在正方形ABCD中，易知OC^OB，所以OA1,OB,OC兩兩垂直，以O為原點，分別以OB,OC,OA1所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，如下圖：v2,0,00,v2,00,2s2,v2，設平面O1BC與平面BCC1B1所成角為θ,則cos18．某工廠一臺自動加工機器有兩種狀態(tài)：正常和故障．每小時初檢查機器狀態(tài)，若正常，則繼續(xù)工作；若故障，則進行檢修．機器在正常狀態(tài)下，1小時內(nèi)都不會發(fā)生故障，1小時后故障的概率為0.2，故障時有兩種檢修方案：方案一是加急檢修，1小時修復的概率為0.9，費用為9元/小時；方案二是常規(guī)檢修，1小時修復的概率為0.6，費用為6元/小時．若1小時內(nèi)無法修復，則下1小時繼續(xù)采用同樣的檢修方案．機器正常工作1小時可收益10元．各小時機器狀態(tài)是否正常相互獨立．(1)假設機器初始狀態(tài)為正常，若機器出現(xiàn)故障則隨機選擇檢修方案，求2小時后機器正常工作的概率；(2)假設機器初始狀態(tài)為故障，并一直選擇加急檢修，求3小時內(nèi)機器的總收益X的分布列和數(shù)學期望；(3)假設機器初始狀態(tài)為正常，并長期選擇常規(guī)檢修，記n小時后（n≥1）機器正常的概率為Pn，求Pn并計算n個小時的累計期望收益E(Y)．【答案】(1)0.79(2)分布列見解析；期望為5.49元【分析】（1）設出相應的事件，條件概率公式和獨立事件的概率乘法公式計算即可；（2）由題意，列出X的所有可能的值，并依次求出對應的概率，列出分布列，計算出均值即可；（3）經(jīng)分析推得n個小時后正常的概率遞推式Pn=0.8Pn-1+0.6(1-Pn-1)(n≥2)，由此式構(gòu)造等比數(shù)列{Pn-}，求出其通項公式n-1(n≥1)，再根據(jù)修復與收益標準依次計算各小時的期望收益E(Yi)，最后利用等比數(shù)列的求和公式計算累計期望收益即可.【解】（1）設“i小時后機器正?！睘槭录?i=1，2)，設“加急檢修，1小時修復”為事件B1，設“常規(guī)檢修，1小時修復”為事件B2．|A|A|A從而2小時后機器正常的概率為(P2)（2）依題意，X的所有可能的值為-27，-8，11，X=-27的情況為第1個小時沒有修復，第2個小時沒有修復，第3個小時繼續(xù)修，修了3個小時花費27X=11的情況為第1個小時檢修好，花費9元，第2個小時正常工作，收益10元，第3個小時也正常工作，收益10元，共收益11