第第頁人教版（2024）八年級上冊數學期末復習：第13—15章壓軸題專題提升練習題匯編1．已知：四邊形ABCD，延長AB至點E，分別作∠DAB和∠CBE的角平分線．

(1)如圖1，當∠D=145°，∠C=85°時，∠DAB和∠CBE的角平分線交于點F，則∠F的度數為；(2)如圖2，當∠D=64°，∠C=60°時，∠DAB和∠CBE的角平分線的反向延長線交于點F，求∠F的度數；(3)猜想：當∠D與∠C滿足什么條件時，∠DAB和∠CBE的角平分線平行？畫出圖形，并說明理由．2．如圖，在平面直角坐標系中，A0,6，B?4,0，將線段AB沿x軸向右平移12個單位長度得到線段DC，點P為射線(1)點C的坐標為，點D的坐標為；(2)如圖①，點M是線段CD上一點（不與點C，D重合），當點P在線段AD上運動時（點P不與點D重合），連接PM,∠DPM,∠PMC,∠ABC之間有怎樣的數量關系？請說明理由；(3)如圖②，點N是y軸上任意一點，連接BN,CN,PN,PC，若ON=OB，三角形PNC的面積等于三角形AOB的面積，求點P的坐標．3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=10，CD平分∠ACB交斜邊AB于點D，動點P從點C出發(fā)，沿折線CA?AD向終點D(1)點P在CA上運動的過程中，當CP=時，△CPD與△CBD的面積相等；(2)點P在折線CA?AD上運動的過程中，若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度數；(3)若點E是斜邊AB的中點，當動點P在CA上運動時，線段CD所在直線上存在另一動點M，使兩線段MP、ME的長度之和，即MP+ME的值最小，求此時CP的長．4．△ABC是等邊三角形，點D在△ABC的內部，△BDC是頂角為120°的等腰三角形，BD=CD．(1)如圖（1），連接AD，求證：AD⊥BC；(2)如圖（2），過點D作∠EDF=60°，分別交AB、AC于點E、F，連接EF，延長ED交BC于點G．①求證：△DFC≌△DGB；②若BC=10，求△AEF的周長．5．已知直線AB與CD相交于點O，點E，F分別在射線OB和OD上．(1)如圖1，∠BOD=60°，EP平分∠OEF，FP平分∠OFE，求∠EPF的度數；(2)如圖2，EP平分∠OEF，FG平分∠DFE，FG的反向延長線交EP于點P；①若∠BOD=60°，則∠P=__________度（直接寫出結果，不需說理）；②若∠BOD=α°，求∠P的度數（請寫出完整的推理過程）．(3)如圖3，點G在FE的延長線上，∠OEF的角平分線EP，∠AOF的角平分線OP與∠OEG的角平分線所在的直線分別相交于點P、Q，若△PEQ的某一個內角是∠P的2倍；請直接寫出∠OFE的度數．6．在△ABC中，作出∠ABC、∠ACB的內、外角平分線，兩個內角平分線交于E點，兩個外角平分線交于D點，直線BE與直線CD交于M點．(1)如圖1，若∠BMC=20°，①直接寫出∠BDC，∠BEC，∠BAC的度數．∠BDC=______，∠BEC=______，∠BAC=______．②連接AM，求出∠CAM的度數．(2)如圖2，△ABC中，∠ABC=90°，BC=8cm，AB=15?cm，AC=17cm，∠ABC的內角平分線和∠ACB的外角平分線交于M點，過M作MN⊥BC，垂足為N7．（1）閱讀理解：如圖①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC邊上的中線AD的取值范圍．可以用如下方法：將△ACD繞著點D逆時針旋轉180°（2）問題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C為頂點作一個50°的角，角的兩邊分別交AB、8．已知：Rt△ABC中，∠B=90°,AE、CD分別是∠BAC和∠BCA的平分線，AE、CD交于點F(1)如圖1，求∠AFD；(2)如圖2，過點F作FG⊥CD，交BC于點G，求證：DF=GF；(3)如圖3，過點F作FH⊥AE，交AC于點H，連接DH，過點F作FM⊥BC于點M，延長MF交DH于點N，若FM=5,△DFN與△GFE面積之和為5，則FN=_______．9．閱讀理解，自主探究：“一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特殊情況，即三個等角角度為90°，于是有三組邊相互垂直．所以稱為“一線三垂直模型”，當模型中有一組對應邊長相等時，則模型中必定存在全等三角形．(1)問題解決：如圖1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，過點C作直線DE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于(2)問題探究：如圖2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，過點C作直線CE，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，AD=3.2cm，DE=2.3cm，求(3)拓展延伸：在平面直角坐標系中，A5,2，點B在第一、第三象限的角平分線l上，點C在y軸上，△ABC為等腰直角三角形．直接寫出符合條件的C10．【問題情境】利用角平分線構造全等三角形是常用的方法，如圖1，OP平分∠MON．點A為OM上一點，過點A作AC⊥OP，垂足為C，延長AC交ON于點B，可根據證明△AOC≌△BOC，則AO=BO，AC=BC（即點C為AB的中點）．【類比解答】如圖2，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，若∠EAC=63°，∠B=38°，通過上述構造全等的辦法，可求得∠DAE=．【拓展延伸】（1）如圖3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長線上，試探究BE和CD的數量關系，并證明你的結論．（2）如圖4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D在線段BC上，∠EDB=12∠C，BE⊥DE，垂足為E，DE與AB相交于點F．線段BE11．如圖1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD，點D在線段AB上，連結AC．(1)求證：AC=BD；(2)如圖2，點E、F為線段AC、BD的中點，連結OE、OF、EF，點G是線段EF的中點，連結OG．求證：OG平分∠EOF；(3)如圖3，若OB⊥OC，AO，CD交于點P，∠ACD=45°，AD=6，求△ACD的面積．12．截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略．【方法初探】如圖1，在△ABC中，AD⊥BC于點D，若CD=DB+AB，求證：∠B=2∠C．解題思路：我們可以采用“截長補短法”解決該問題，如圖2，在CD上截取DE=DB，連接AE，從而證明出結論．請你寫出證明過程．【方法應用】如圖3，點D為等邊△ABC外一點，連接AD，CD，BD，其中BD交AC于點E，且∠ADB=60°，求證：BD=AD+CD；【實際應用】如圖4，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠ACB≠90°，當AD為∠BAC的補角的角平分線時，線段AB，AC，CD之間的數量關系為______．13．已知△ABC是邊長為8的等邊三角形，點P在射線AB上運動，點Q在線段AC上運動，連接PQ，以PQ為邊向右作等邊△MPQ，連接BM．(1)如圖1，當點Q與點C重合，點P在點B右側時，①求證：AP=BM；②過點M作MH⊥CB于H，且CH=3，求線段BP的長；(2)如圖2，當點P在點B左側，且AQ=2BP時，求線段BM的最小值．14．在Rt△ABC中，點D在線段AB上，點E，F分別在線段AC,BC上，DE=DF，2∠A+∠EDF=180°(1)如圖1，當點B、F重合時，求證：點E是線段AC的中點；(2)如圖2，當∠A=45°時，過點D作DG⊥AC于點G，請補全圖形，探究線段AG與CE的數量關系，并證明；(3)如圖3，過點F作FK∥AB于點K，探究線段AE與CK的數量關系，并證明．15．直角三角形ABC中，∠C=90°，點D，E分別在AB，AC上，將△DEA沿DE翻折，得到(1)如圖①，若∠CED=75°，則∠CEF=°；(2)如圖②，∠BDF的平分線交線段BC于點G．若∠CED=∠BDG．求證BC∥DF．(3)已知∠A=α，∠BDF的平分線交直線BC于點G．當△DEF的其中一條邊與BC平行時，直接寫出∠BGD的度數（可用含α的式表示）．16．綜合與探究(1)如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E．①如圖1，試說明：△ADC≌△CBE．②如圖2，則線段DE，AD，BE之間的等量關系是______．③如圖3，若AD=5，BE=11，則DE的長______．(2)如圖4，在△ABC中，AB=AC，BC=8，S△ABC=12，以AC為直角邊向右側作一個等腰直角三角形ACD，連接BD，求出17．已知：△ABC為等邊三角形，點D、E分別為AB、BC邊上一點，AE、CD相交于點F，BD=CE．(1)如圖1，求∠AFD的度數；(2)如圖2，連接BF并延長，與AC相交于點G，點M為BF延長線上一點，MF=BF，點N為CD延長線上一點，∠MAN=120°，∠ACF=2∠CBG，求證：(3)在（2）的條件下（可使用備用圖），若△ABM的面積為2，AF+GC=DF+1，直接寫出點A到BC的距離與點N到AB的距離之和．18．如圖，已知△ABC和△DCE都是等邊三角形．(1)觀察發(fā)現：如圖①，若點B，C，E在同一條直線上，P為線段AE，BD的交點，則線段AE與BD之間的數量關系為；∠APB=．(2)如圖②，若點B，C，E在同一條直線上，F為線段BD，AC的交點，H為線段AE，CD的交點，連接FH，猜想FH與BE的位置關系，并證明．(3)深入探究：如圖③，若點B，C，E不在同一條直線上，P為線段AE，BD的交點．1中的結論仍成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．(4)連接CP，求證：PC平分∠BPE．19．閱讀下列材料，完成（1）～（3）題．數學課上，老師出示了這樣一道題：如圖1，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CD，垂足為D，BE⊥CD，交CD的延長線于點E，求證：【拓展延伸】在上面問題的基礎上，老師補充：如圖2，延長AD交BC于點G，如果CH=CG，CD所在直線交AB于點F，過F作FP⊥BH交AD延長線于點P，交BH于點Q，試探究線段AP，FP，同學們經過思考后，交流了自己的想法：小彤：“通過觀察和度量，發(fā)現∠AFC與∠QFB有某種數量關系；”小強：“通過研究發(fā)現，將三條線段中的兩條放到同一條直線上，即“截長補短”，再通過進一步推理，可以得出結論．”閱讀上面材料，請回答下面問題：(1)求證：BE=AD?DE；(2)猜想∠AFC與∠QFB的數量關系，并證明；(3)探究線段AP，20．【問題初探】（1）在數學活動課上，李老師給出如下問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AE⊥AB且AE=AB，點D在CA的延長線上，連接DE，∠ADE=①小明的解題思路：如圖2，小明同學從∠ADE=135°這個條件出發(fā)，給出如下解題思路：過E作EF⊥AD交AD的延長線于點F，則∠EDF=45°，②小濤的解題思路：如圖3，小濤同學從結論的角度出發(fā)，給出如下解題思路：在線段CB上截取CG=AC，則△ACG是等腰直角三角形，得∠AGC=∠GAC=45°，得到∠AGB=135°，將線段BC，DC之間的數量關系轉化為線段請你選擇一名同學的解題思路，寫出證明過程．【類比分析】（2）李老師發(fā)現之前兩名同學都運用了轉化思想，構造全等轉化等量線段，為了幫助同學們更好地感悟轉化思想，李老師將圖1進行變換，提出下面問題，請你解答．如圖4，在Rt△ABC中，∠C=90°，延長CA至點D，使AD=AB，射線AM⊥AB，點E在線段AB上，點F在射線AM上，連接EF，DF，EF=DF且EF⊥DF，其中AF=8，AE=2【類比分析】（3）如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，延長CA至點D、使AD=AB，射線AM⊥AB，點E在線段BA的延長線上，點F在射線AM上，連接EF，DF，EF=DF且EF⊥DF，若BC=7，AE=2參考答案1．（1）解：∵∠DAB和∠CBE的角平分線交于點F，∴∠BAF=1∵∠F+∠BAF=∠EBF，∴∠F=∠EBF?∠BAF，∴∠F=1∴∠F=1∵∠C+∠D+∠CBA+∠DAB=360°，∴∠F=90°?1∵∠D=145°，∠C=85°，∴∠F=145°+85°故答案為：25°．（2）解：設分別在射線FA,FB上取一點M，點N，∵∠DAB和∠CBE的角平分線交于點F，∴∠MAB=1∵∠F+∠ABF=∠MAB，∠ABF=∠EBN，∴∠F=∠MAB?∠ABF=∠MAB?∠EBN，∴∠F=1∴∠F=1∵∠C+∠D+∠CBA+∠DAB=360°，∴∠F=1∵∠D=64°，∠C=60°，∴∠F=90°?64°+60°（3）解：如圖，設FA,BG分別是∠DAB,∠CBE的角平分線，則∠BAF=1∵FA∥BG，∴∠BAF=1∴∠DAB=∠CBE，∴AD∥BC，∴∠C+∠D=180°．2．(1)(8,0)(12,6)(2)∠ABC+∠PMC?∠DPM=180°或(3)(2,6)或(14,6)或(26,6)【分析】（1）線段AB沿x軸向右平移12個單位，根據“右加左減”原則計算即可；（2）根據點P為射線AD上一動點，當點P在點D右邊時，當點P在點D左邊時，利用平行線的性質進行解答即可；（3）根據點N在y軸正半軸或負半軸兩種情況，再考慮點P在點A左邊或者右邊，利用△PNC的面積等于△AOB的面積列方程即可解答．【詳解】（1）根據坐標平移的規(guī)律，將線段AB沿x軸向右平移12個單位長度，縱坐標不變，橫坐標加12，即C(8,0)，D(12,6)．故C(8,0)，D(12,6)．（2）解：①當點P在點D右邊時，如圖，過點M作ME∥AD，∴∠DPM=∠PME，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=∴∠ADC=∠ABC，∵AD∥BC，∴ME∥BC，∴∠ADC=∠DME=∠PME+∠DMP=∠DPM+∠DMP，∴∠ABC=∠DPM+∠DMP，∵∠DMP=∴∠ABC=∠DPM+即∠ABC+∠PMC?∠DPM=②當點P在點D左邊時，同理可得∠ADC=∠ABC，∴∠ABC=∠EMC=∠PMC?∠PME=∠PMC?∠DPM，即∠ABC=∠PMC?∠DPM，故三個角的關系為∠ABC+∠PMC?∠DPM=180°或（3）∵A0,6，B∴OA=6，∴S△AOB∵ON=OB，∴ON=4，∵C(8,0)，D(12,6)∴OC=8，①點P在點A右邊，N在正半軸時，可得S△PNC設Pm,6，則PD=12?m∴12∴m=2，∴P2,6N在負半軸時，點C在PN的下方時，可得S△PNC設Pm,6∴12=12+8∴m=14，∴P14,6②點P在點D右邊，點C在PN的上方時如圖，連接AC，可得S△PNC設Pm,6∴12=1×m×∴m=26，∴P26,6故P點的坐標為2,6或14,6或26,6．【點睛】本題圍繞平面直角坐標系中的平移變換展開，綜合考查以下知識點：平面直角坐標系與點的平移，平行線的性質與判定，三角形面積計算，分類討論思想；解題的關鍵點在于：平移坐標的確定，角度關系的轉化，面積公式的應用，分類討論的實施；易錯點在于：平移坐標錯誤，角度關系推導錯誤，面積計算錯誤，分類討論遺漏．3．(1)當CP=10時，△CPD與△CBD的面積相等(2)45°或90°或67.5°或37.5°(3)5【分析】（1）證明△PCD≌（2）由（1）得：∠PCD=45°，分兩種情況：①點P在AC上，再分PC=PD，DP=DC，CP=CD利用等腰三角形的性質求解即可；②點P在AD上時，存在DP=DC，根據等腰三角形的性質求解即可；（3）當M在CD上，且MP⊥AC時，MP最小，作MP'⊥BC于P′，如圖3所示：則MP′∥AC，證明△PCM≌△P′CMAAS得到MP=MP′，CP=CP′，則MP+ME=MP【詳解】（1）解：當CP=10時，△CPD與△CBD的面積相等，理由如下：∵BC=10，∴CP=BC，∵CD平分∠ACB，∴∠PCD=∠BCD=1在△PCD和△BCD中，CP=CB∠PCD=∠BCD∴△PCD≌∴△CPD與△CBD的面積相等．（2）解：由（1）得：∠PCD=45°，分兩種情況：①點P在AC上，如圖1所示：若PC=PD，則∠PDC=∠PCD=45°，∴∠CPD=180°?45°?45°=90°；若DP=DC時，則∠CPD=∠PCD=45°；若CP=CD，則∠CPD=∠CDP=1②點P在AD上時，如圖2所示：存在DP=DC，∴∠CPD=∠PCD，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60∴∠CDP=∠BCD+∠B=45°+60°=105°，∴∠CPD=1綜上所述，∠CPD的度數為45°或90°或67.5°或37.5°；（3）解：當M在CD上，且MP⊥AC時，MP最小，作MP'⊥BC則MP∵CD平分∠ACB，∴∠PCM=∠P又∵∠MPC=∠MP'C=90°∴△PCM≌∴MP=MP′，∴MP+ME=MP′+ME≥EP′，當點E∴MP+ME的最小值為EP此時EP′∥∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=10∴AB=2BC=20，∵點E是斜邊AB的中點，∴BE=∴B∴CP=CP故答案為：5．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、含30°的直角三角形的性質、角平分線的定義、平行線的判定與性質以及最小值問題等知識；本題綜合性強，熟練掌握等腰三角形的性質和直角三角形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵．4．(1)見詳解(2)①見詳解，②△AEF的周長10【分析】本題主要考查等邊三角形的性質、等腰三角形的性質、全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握全等三角形的性質．（1）延長AD交BC于點M，利用SSS證明△ABD≌△ACD，則∠BAD=∠CAD，結合等邊三角形的性質得AD⊥BC；（2）①由等邊三角形和已知∠EDF=60°得到∠DBC=∠DCB=30°，∠FCD=30°，∠BDG=∠FDC，可證明△DFC≌△DGB；②延長CD和BD交AB和AC于點Q和P，在AC上取一點K，使KP=QE，連接DK，由①知∶BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，結合等邊三角形的性質得∠ABC=∠ACB=60°和∠BPC=∠CQB=90°，PC=12BC，BQ=12BC，進一步證明Rt△BDQ≌Rt△CDP，有DQ=PD【詳解】（1）證明：延長AD交BC于點M，如圖1，∴AB=AC，∵BD=CD，AD=AD，∴△ABD≌△ACDSSS∴∠BAD=∠CAD，∵△ABC是等邊三角形，∴AD⊥BC；（2）證明：①∵BD=CD，∴∠DBC=∠DCB=30°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°,∠FCD=30°，∵∠EDF=60°，∴∠FDC=120°，∵△BDC是頂角為120°的等腰三角形，∴∠FDC=∠BDC=120°，∴∠FDC=∠BDC=∠BDG+∠GDC=∠GDC+∠FDC，即∠BDG=∠FDC，則△DFC≌△DGBASA②延長CD和BD交AB和AC于點Q和P，在AC上取一點K，使KP=QE，連接DK，如圖，由①知∶BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠BPC=∠CQB=90°，∴PC=12BC∵BC=10，∴PC=BQ=AQ=AP=1在Rt△BDQ和RtBD=CD∴Rt△BDQ≌∴DQ=PD，∵∠DQE=∠DPK=90°，∵KP=QE，DQ=PD，∴△DQE≌△DPKSAS∴DE=DK,∠QDE=∠PDK，∵∠BDQ=60°,∠EDF=60°，∴∠QDE+∠FDP=60°，∴∠PDK+∠FDP=∠FDK=60°，則∠FDK=∠EDF=60°，∵FD=FD，DE=DK，∴△EDF≌△KDFSAS∴EF=FK=FP+PK，則△AEF的周長=AE+AF+EF=AE+AF+FP+PK=AE+AF+FP+QE=AP+AQ=5+5=10．5．(1)120°(2)①30；②1(3)60°或90°【分析】本題主要考查了三角形內角和定理，三角形外角的性質，角平分線的定義，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．（1）由三角形內角和定理可得∠OFE+∠OEF的結果，再由角平分線的定義可推出∠PEF+∠PFE的結果，據此由三角形內角和定理可得答案；（2）①設∠OEF=2x，由三角形內角和定理可得∠OFE=120°?2x，則由平角的定義可得∠DFE=60°+2x，由角平分線的定義可推出∠OFP=∠DFG=30°+x，則∠EFP=∠OFE+∠OFP=150°?x，據此由三角形內角和定理可得答案；②同（2）①求解即可；（3）由角平分線的定義和三角形外角的性質可證明∠P=12∠OFE；根據角平分線的定義和三角形內角和定理可求出∠Q=90°?12∠OFE，則可得到【詳解】（1）解：∵∠BOD=60°，∴∠OFE+∠OEF=180°?∠EOF=120°；∵EP平分∠OEF，FP平分∠OFE，∴∠PEF=1∴∠PEF+∠PFE=1∴∠EPF=180°?∠PEF+∠PFE（2）解：①設∠OEF=2x，∵∠BOD=60°，∴∠OFE=180°?∠OEF?∠EOF=120°?2x，∴∠DFE=180°?∠OFE=60°+2x，∵EP平分∠OEF，FG平分∠DFE，∴∠PEF=1∴∠OFP=∠DFG=30°+x，∴∠EFP=∠OFE+∠OFP=150°?x，∴∠P=180°?∠EFP?∠PEF=180°?150°+x?x=30°；②設∠OEF=2y，∵∠BOD=α°，∴∠OFE=180°?∠OEF?∠EOF=180°?α°?2y，∴∠DFE=180°?∠OFE=α°+2y，∵EP平分∠OEF，FG平分∠DFE，∴∠PEF=1∴∠OFP=∠DFG=1∴∠EFP=∠OFE+∠OFP=180°?1∴∠P=180°?∠EFP?∠PEF=180°?180°+1（3）解：∵OP平分∠AOD，EP平分∠OEF，∴∠AOP=1∵∠AOD=∠OEF+∠OFE，∠AOP=∠P+∠AEP，∴12∴∠P=1∵EQ平分∠OEG，∴∠OEQ=1又∵∠EOQ=∠AOP=∠P+∠AEP=1∴∠Q=180°?∠OEQ?∠EOQ=90°?1∴∠PEQ=180°?∠P?∠Q=90°；當∠PEQ=2∠P時，則∠P=45°，∴∠OFE=90°；當∠Q=2∠P時，則2∠P=90°?∠P，∴∠P=30°，∴∠OFE=60°；綜上所述，∠OFE的度數為60°或90°．6．(1)①70°，110°，(2)20【分析】（1）①利用角平分線的性質易得∠DBM=90°，則可求得∠BDC=70°，同理得∠MEC=70°，得∠EBC+∠ECB=70°，由角平分線性質得∠ABC+∠ACB=140°，由三角形內角和即可求得∠BAC；②過點M分別作射線BA、線段AC、射線BC的垂線，垂足分別為G、H、N，由角平分線的性質定理得MG=MN，MH=MN，從而得MG=MH，點M在∠CAG的平分線上，則∠CAM=1（2）過點M分別作射線BA、線段AC的垂線，垂足分別為G、H，由角平分線的性質定理得MG=MN，MH=MN，從而MG=MH=MN，設MN=a，利用四邊形ABCM的面積等于S△ABC+S【詳解】（1）解：①∵BE、BD分別平分∠ABC及其補角，∴∠DBM=∠CBM+∠CBD=1∵∠BMC=20°，∴∠BDC=90°?∠BMC=70°，同理∠MCE=90°，∴∠MEC=90°?∠MBC=70°，∴∠EBC+∠ECB=∠MEC=70°，∠BEC=180°?∠MEC=110°，∵BE、CE分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABC=2∠EBC，∴∠ABC+∠ACB=2(∠EBC+∠ECB)=140°，∴∠BAC=180°?(∠ABC+∠ACB)=40°；故答案為：70°，②過點M分別作射線BA、線段AC、射線BC的垂線，垂足分別為G、H、N，如圖1，∵BE平分∠ABC，∴MG=MN，∵CD平分∠ACB的外角，且點M在直線CD上，∴CM平分∠ACN，∴MH=MN，∴MG=MH，∴點M為∠CAG的平分線，∴∠CAM=由①知，∠BAC=40°，∴∠CAM=1（2）解：如圖2，過點M分別作射線BA、線段AC的垂線，垂足分別為G、H，∵BM平分∠ABC，∴MG=MN，∵CM平分∠ACN，∴MH=MN，即MG=MH=MN，設MN=a，則MG=MH=MN=a，∵四邊形ABCM的面積等于S△ABC∴12即15×8+17a=15a+8a，解得：a=20，即MN=20cm【點睛】本題考查了角平分線的性質定理與判定定理，角平分線的定義，三角形內角和定理等知識，構造垂線以便利用角平分線的性質定理是解題的關鍵．7．（1）1.5<AE<6.5；（2）見解析；（3）【分析】（1）如圖①：將△ACD繞著點D逆時針旋轉180°得到△EBD可得△BDE?△CDA（2）如圖②：△FDC繞著點D旋轉180°得到△NDB可得△BND?△CFD，得出BN=CF（3）將△DCF繞著點C按逆時針方向旋轉100°得到△BCH可得△HBC≌△FDC，得出CH=CF，∠HCB【詳解】解：（1）如圖①：將△ACD繞著點D逆時針旋轉180∴△BDE?△CDA∴BE=AC=5，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=在△ABE中，由三角形的三邊關系得：AB∴8﹣5＜AE＜8+5，即∴1.5＜AD故答案為1.5＜AD（2）證明：如圖②：△FDC繞著點D旋轉180°得到∴△BND?△CFD∴BN=CF，∵DE∴EN=在△BNE中，由三角形的三邊關系得：BE∴BE+（3）BE+如圖③，將△DCF繞著點C按逆時針方向旋轉∴△DCF≌△BCH，∴CH＝∴∠∵∠ABC∴∠HBC∴點A、B、H三點共線∵∠FCH=100°∴∠ECH∴∠FCE在△HCE和△CF=∴△HCE≌△FCE∴EH＝∵BE∴BE+【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查對全等三角形的性質和判定、三角形的三邊關系定理、旋轉的性質等知識點，通過旋轉得到構造全等三角形是解答本題的關鍵.8．(1)45°(2)見詳解(3)2【分析】（1）根據三角形的內角和定理即可求解；（2）如圖所示，延長GF交AC于點K，證明△CFG≌△CFKASA，FG=FK,∠CGF=∠CKF，再證明△ADF≌△AKFAAS，（3）延長MF，過點D作DP⊥MF于點P，作DQ∥FH，由AAS判定△DPF≌△FMG，△DPQ≌△FME，結合全等三角形的性質及三角形的面積得FN+EG=2，設FN=x，則EG=2?x，可得FQ=2?x，NQ=FQ?FN=2?x?x=2?2x，作FS⊥AC交于S，結合角平分線的性質及AAS可判定△FEM≌△FHS，△DNQ≌△HNF（AAS），由全等三角形的性質得NQ=NF，即可求解．【詳解】（1）解：∵∠B=90°，∴∠BAC+∠BCA=180°?∠B=90°，∵AE、CD分別是∠BAC和∠BCA的平分線，∴∠FAC=1∴∠FAC+∠FCA=1∴∠AFD=∠FAC+∠FCA=45°；（2）解：如圖所示，延長GF交AC于點K，∵CD是角平分線，∴∠GCF=∠KCF，∵GF⊥CD，∴∠CFG=∠CFK=90°，且CF=CF，∴△CFG≌△CFKASA∴FG=FK,∠CGF=∠CKF，∵∠ABC=90°=∠CFG，∴∠BCD+∠BDC=90°,∠GCF+∠CGF=90°，∴∠BDC=∠CGF，∴∠BDC=∠CKF，∴∠ADF=∠AKF，∵AE平分∠BAC，∴∠DAF=∠KAF，且AF=AF，∴△ADF≌△AKFAAS∴DF=FK，∴DF=GF；（3）解：如圖所示，延長MF，過點D作DP⊥MF于點P，作DQ∥FH，∵∠DPF=∠DFG=∠FMG=90°，∴∠DFP+∠GFM=∠GFM+∠FGM=90°，∴∠DFP=∠FGM，且FD=FG，∴△DPF≌△FMGAAS∴DP=FM=5，PF=MG，∵DQ∥FH，∴∠Q=∠QFH，∵FH⊥AE，∴∠AFH=∠EFH=∠B=90°，∵∠QFH+∠MFE=∠MFE+∠FEM=90°，∴∠Q=∠FEM，且∠DPQ=∠FME=90°,DP=FM，∴△DPQ≌△FMEAASDQ=FE，∴PQ=ME，∴PF+PQ=MG+ME，∴FQ=EG，∵FM=5,△DFN與△GFE面積之和為5，∴1∴1∴FN+EG=2，設FN=x，則EG=2?x，∴FQ=2?x，∴NQ=FQ?FN=2?x?x=2?2x，如圖，作FS⊥AC交于S，∵CD是角平分線，FM⊥BC∴FM=FS，∠FME=∠FSH=90°，∴∠FHS+∠CAE=∠FEM+∠BAE=90°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴∠FEM=∠FHS，∴△FEM≌△FHS（AAS），∴FE=FH，∴DQ=FH，∵∠Q=∠QFH，∠DNQ=∠HNF，∴△DNQ≌△HNF（AAS），∴NQ=NF，∴2?2x=x，解得x=2∴FN=2故答案為：23【點睛】本題考查了三角形的內角和，全等三角形的判定及性質，角平分線的性質定理等，能根據題意添加恰當的輔助線，構建全等三角形是解題的關鍵．9．(1)證明見解析(2)0.9(3)0,5，0,4，0,10，0,【分析】（1）因為AD⊥DE于D，∠ACB=90°，所以∠DAC=∠BCE，因為AC=BC，即可通過AAS證明△ADC≌△CEB作答．（2）因為∠ACB=90°，BE⊥CE，得∠CBE=∠ACD，因為AC=BC，即可通過AAS證明△ADC≌△CEB，再運用全等三角形的性質，即可作答．（3）分類討論，如圖，當∠CBA=90°，AB=BC，過點B作BE⊥y軸于點E，過點A作AD⊥EB的延長線于點D，如圖，通過AAS證明△ADB≌△BEC，再設點B的坐標為a，a，C0，b，根據AD=EB，CE=BD【詳解】（1）證明：∵AD⊥DE于D，∠ACB=90°，∴∠D=90°即∠DAC=∠BCE，∵BE⊥DE∴∠E=∠D=90°∵AC=BC∴△ADC≌△CEBAAS（2）解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，∴∠BCE+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°∴∠CBE=∠ACD，∵AD⊥CE，∴∠ADC=∠E=90°∵AC=BC∴△ADC≌△CEB則AD=CE=3.2∵DE=2.3∴CD=CE?DE=即BE=0.9cm（3）解：如圖，當∠CBA=90°，AB=BC，過點B作BE⊥y軸于點E，過點A作AD⊥EB的延長線于點D，如圖：∴∠CBE+∠ABD=90°，∴∠CBE=∠BAD，∵過點B作BE⊥y軸，∴∠CEB=90°∵AB=BC，∴△ADB≌△BECAAS∴AD=EB，∵點B在第一、第三象限的角平分線l上．點C在y軸上，∴設點B的坐標為a，a，∵AD=EB，CE=BD，∴2?a=a，b?a=5?a，解得a=1，b=5故點C的坐標為0，當∠ABC=90°，AB=BC，過點B作BE⊥y軸于點E，過點A作射線AF∥x軸，且過點B作DB⊥AF于D，如圖：∴∠EBD=90°，∵∠ABC=90°∴∠CBE=∠ABD，∵過點B作BE⊥y軸，過點B作DB⊥AD，∴∠CEB=∠ADB=90°，∵AB=BC，∴△ADB≌△CEBAAS∴AD=CE，∵點B在第一、第三象限的角平分線l上．點C在y軸上，∴設點B的坐標為a，a，∵AD=CE，BD=EB，∴a?5=b?a，a?2=a此時方程無解，當∠BAC=90°，AC=BA，過點A作直線l∥x軸，與y軸交于點D，過點B作BE⊥l于點E，如圖：∵∠BAC=90°，∠ADC=∠AEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°=∠DAC+∠BAE，即∠DCA=∠BAE，∵AC=AB，∴△ADC≌△BEAAAS∴AD=EB，∵點B在第一、第三象限的角平分線l上．點C在y軸上，∴設點B的坐標為a，a，∵AD=EB，CD=AE，∴5=a?2，b?2=a?5，解得a=7，故點C的坐標為0，當∠BAC=90°，AC=BA，過點A作直線l∥y軸，過點B作BE⊥l于點E，過點C作CD⊥l于點D，如圖：∵∠BAC=90°，∠ADC=∠AEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°=∠DAC+∠BAE，即∠DCA=∠BAE，∵AC=AB，∴△ADC≌△BEAAAS∴AD=EB，∵點B在第一、第三象限的角平分線l上．點C在y軸上，∴設點B的坐標為a，a，∵AD=EB，CD=AE，∴b?2=?a+5，5=2?a，解得a=?3，故點C的坐標為0，當∠ACB=90°時，AC=BC，過點C作直線l∥x軸，過點B作BE⊥l于點E，過點A作AD⊥l于點D，如圖：∵∠ACB=90°，∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°=∠DAC+∠BCE，即∠DCA=∠BCE，∵AC=CB，∴△ADC≌△CEBAAS∴AD=EB，∵點B在第一、第三象限的角平分線l上．點C在y軸上，∴設點B的坐標為a，a，∵AD=CE，CD=BE，∴b?2=?a，5=b?a，解得a=?3故點C的坐標為0，綜上，C點的坐標為0，5，0，4，【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，平角的定義，直角三角形的兩個銳角互余，“一線三直角”的模型，綜合性較強，難度較大，靈活使用分類討論思想以及正確掌握作輔助線是解題的關鍵．10．【問題情境】ASA；【類比解答】25°；【拓展延伸】（1）BE=12【分析】問題情境：根據角平分線的定義得到∠AOC=∠BOC，根據垂直的性質得到∠ACO=∠BCO=90°，再利用ASA證明△AOC≌△BOC即可；類比解答：延長AE交BC于點F，由問題情境可知：△FCE≌△ACE，得到∠EFC=∠EAC=63°，再利用三角形外角的性質即可求解；拓展延伸：（1）延長BE與CA交于點F，利用ASA證明△ABF≌△ACD，得到BF=CD，由問題情境可知：△BCE≌△FCE，則有BE=FE=12BF，即可得出結論；（2）過點D作DG∥AC，交BE的延長線于點G，交AB于點H，同理（1）中的方法可證△HBG≌△HDF，得到BG=FD【詳解】解：問題情境：∵OP平分∠MON，∴∠AOC=∠BOC，∵AC⊥OP，∴∠ACO=∠BCO=90°，在△AOC和△BOC中，∠AOC=∠BOC∴△AOC≌△BOCASA∴AO=BO，AC=BC．故答案為：ASA；類比解答：延長AE交BC于點F，由問題情境可知：△FCE≌△ACE，∴∠EFC=∠EAC=63°，∵∠EFC=∠B+∠DAE∴∠DAE=∠EFC?∠B=63°?38°=25°；故答案為：25°；拓展延伸：（1）BE=1如圖，延長BE與CA交于點F，∵BE⊥CD，∴∠BED=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BED=∠BAC，∠BAF=90°，又∵∠BDE=∠ADC，∴∠EBD=∠ACD，即∠ABF=∠ACD，又∵∠BAF=∠CAD=90°，AB=AC，∴△ABF≌△ACDASA∴BF=CD，由問題情境可知：△BCE≌△FCE，∴BE=FE=1∴BE=1（2）如圖，過點D作DG∥AC，交BE的延長線于點G，交AB于點∵DG∥∴∠GDB=∠C，∠BHD=∠BAC=90°，∵∠EDB=1∴∠EDB=1∴∠EDB=∠EDG，同理（1）中的方法可得△HBG≌△HDF，∴BG=FD，由問題情境可知：△BDE≌△GDE，∴BE=GE=1∴BE=1故答案為：BE=1【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、三角形外角的性質、角平分線的定義以及平行線的性質，利用角平分線構造全等三角形是解題的關鍵．11．(1)見解析(2)見解析(3)9【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質和角平分線的定義，證明三角形全等是解題的關鍵．（1）根據角的轉換證明∠AOC=∠BOD，再利用SAS證明△AOC≌△BOD即可得證；（2）根據△AOC≌△BOD可得AC=DB，∠ACO=∠BDO，再利用SAS證明△CEO≌△DFO，則OE=OF，再根據等腰三角形的判定和性質即可得證；（3）延長DA，過點C作CH⊥AD交AD延長線于點H，過點A作AM⊥AC交CD于點M，過點M作NM⊥AD于點N，證明△CHA≌△ANM可得CH=AN，再根據角的轉換和等腰三角形的判斷和性質可得AM=MD，再根據三線合一可得AN=ND=12AD=3【詳解】（1）證明：∵∠AOB=∠COD，∴∠AOB?∠AOD=∠COD?∠AOD，∴∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，OA=OB∠AOC=∠BOD∴△AOC≌△BODSAS∴AC=BD；（2）證明：∵△AOC≌△BOD，∴AC=DB，∠ACO=∠BDO，∵E，F分別為AC，BD的中點，∴CE=12AC∴CE=DF，在△CEO和△DFO中，CE=DF∠ACO=∠BDO∴△CEO≌△DFOSAS∴OE=OF，又∵點G是線段EF的中點，∴∠EOG=∠GOF，∴OG平分∠EOF；（3）解：如圖，延長DA，過點C作CH⊥AD交AD延長線于點H，過點A作AM⊥AC交CD于點M，過點M作NM⊥AD于點N，∴∠CHA=∠ANM=90°，∠CAM=90°，∵∠ACD=45°，∴∠CMA=∠ACD=45°，∠CAH+∠MAN=90°，∴AC=AM，又∵∠ACH+∠CAH=90°，∴∠ACH=∠MAN，在△CHA和△ANM中，∠ACH=∠MAN∠CHA=∠ANM∴△CHA≌△ANMAAS∴CH=AN，∵OA=OB，OC=OD，∴∠OAB=∠B，∠OCD=∠ODC，∵∠AOB=∠COD，∴∠OAB=∠B=∠OCD=∠ODC，∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC=∠B，∴∠OAB=∠B=∠OCD=∠ODC=∠OAC，∴∠CPO=∠CAP+∠ACP=∠PDO+∠POD，∴∠POD=∠ACP=45°∵OB⊥OC，∴∠COD=90°，∴∠COA=∠BOD=22.5°，∵∠CPA=∠COP+∠PCO=∠PDA+∠PAD，∠OCP=∠PAD，∴∠PDA=∠COP=22.5°，∵∠CMA=∠MAD+∠MDA=45°，∴∠MAD=∠MDA=22.5°，∴AM=MD，∵NM⊥AD，∴AN=ND=1∴CH=AN=3，∴S12．【方法初探】見解析；【方法應用】見解析；【實際應用】CD=AB+AC【分析】此題是三角形的綜合題，主要考查全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，解題的關鍵是添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．根據截長補短法，構造全等三角形，再利用全等三角形的性質解決問題即可．【詳解】解：【方法初探】證明過程如下，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADE．在△ADB和△ADE中，DB=DE∴△ADB≌△ADE(SAS∴AB=AE，∠B=∠AED．∵CD=DB+AB，∴CD=DE+AE=DE+CE，∴AE=CE，∴∠EAC=∠C．∵∠AED=∠EAC+∠C=2∠C，∴∠B=∠AED=2∠C，即∠B=2∠C．【方法應用】證明：如圖，在BD上取一點F，使得AF=AD，又∵∠ADB=60°，∴△AFD是等邊三角形，∴AF=AD=DF，∠FAD=60°．∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴∠BAC?∠FAE=∠FAD?∠FAE，即∠BAF=∠CAD．在△BAF和△CAD中，AB=AC∴△BAF≌△CAD(SAS∴BF=CD，∴BD=BF+FD=CD+AD，即BD=AD+CD．【實際應用】解：CD=AB+AC，理由：如圖，在BA的延長線上取一點G，AG=AC，連接DG，∵AD為∠BAC的補角的角平分線，即AD平分∠CAG，∴∠GAD=∠CAD．在△GAD和△CAD中，AG=AC∴△GAD≌△CAD(SAS∴GD=CD，∠AGD=∠ACD．∵∠AGD=180°?∠B?∠GDB，∠ACD=180°?∠ACB，∴180°?∠B?∠GDB=180°?∠ACB，∴∠B+∠GDB=∠ACB．∵∠ACB=2∠B，∴∠B+∠GDB=2∠B，∴∠GDB=∠B，∴GD=GB=AB+AG=AB+AC．又∵GD=CD，∴CD=AB+AC．13．(1)①見解析；②2(2)4【分析】（1）①根據等邊三角形的性質證明△PAC≌△MBCSAS②過點P作PT⊥AC于點T，證明△PCT≌△MCHAAS得CT=CH=3，進而得出AT=AC?CT=5，AP=2AT=10，再利用線段的和差即可求出BP（2）如圖，過點Q作QD⊥AB于D，作射線CM，過點B作BE⊥CM于E，證明△CQM≌△DPQSAS得∠QCM=∠PDQ=90°，從而得出∠BCM=∠QCM?∠ACB=30°，則點M在與BC成30°【詳解】（1）①證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠ACB=60°，∵△MPQ是等邊三角形，點Q與點C重合，∴△MPC是等邊三角形，∴PC=MC，∠PCM=60°，∴∠ACB=∠PCM，∴∠ACB+∠PCB=∠PCM+∠PCB，∴∠PCA=∠MCB，在△PAC和△MBC中，AC=BC∠PCA=∠MCB∴△PAC≌△MBCSAS∴AP=BM；②解：如圖，過點P作PT⊥AC于點T，∴∠PTC=∠PTA=90°，∵MH⊥CB，CH=3，∴∠PTC=90°=∠MHC，由①知：PC=MC，∠PCA=∠MCB，即∠PCT=∠MCH，在△PCT和△MCH中，∠PTC=∠MHC∠PCT=∠MCH∴△PCT≌△MCHAAS∴CT=CH=3，∵△ABC是邊長為8的等邊三角形，∴∠A=60°，AC=AB=8，∴∠APT=90°?∠A=90°?60°=30°，AT=AC?CT=8?3=5，∴AP=2AT=2×5=10，∴BP=AP?AB=10?8=2；（2）解：如圖，過點Q作QD⊥AB于D，作射線CM，過點B作BE⊥CM于E，∴∠ADQ=90°，∠BEC=90°，∵△ABC是邊長為8的等邊三角形，∴∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC=8，∴∠AQD=90°?∠A=30°，∠DPQ+∠AQP=180°?∠A=120°，∴AQ=2AD，∵AQ=2BP，∴AD=BP，∴DP=AB?AD?BP=AB?2BP=AC?AQ=CQ，∵△MPQ是等邊三角形，∴∠PQM=60°，QM=PQ，∴∠CQM+∠AQP=180°?∠PQM=120°，∴∠CQM=∠DPQ，在△CQM和△DPQ中，CQ=DP∠CQM=∠DPQ∴△CQM≌△DPQSAS∴∠QCM=∠PDQ=90°，∴∠BCM=∠QCM?∠ACB=90°?60°=30°，∴點M在與BC成30°夾角的定直線上運動，∴當點M在E處時，BM最小，∵∠BEC=90°，∠BCM=30°，BC=8，∴BE=1∴BM的最小值為4．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質、含30°角的直角三角形的性質、直角三角形兩銳角互余、垂線段最短等知識，通過作輔助線構造全等三角形、確定點M的運動路徑是解題的關鍵．本題屬于幾何綜合題，需要較強的幾何推理和輔助線構造能力，適合有能力解決幾何難題的學生．14．(1)見解析(2)CE=2AG，證明見解析(3)AE=1【分析】（1）連接EF，設∠A=α，則∠EDF=180°?2α，則∠EDA=2α，由DE=DF得到∠DEF=∠DFE，∠DEF=∠DFE=α，故∠A=∠EFD=α，由互余關系得到∠C=∠EFC=90°?α，故EC=EF，即可得到EA=EC；（2）過點D作DM⊥AB交AC于點M，連接FM，則△AGD，△ADM,△DGM均為等腰直角三角形，那么AG=GD=GM,AD=DM，證明△ADE≌△MDFSAS，則AE=MF,∠A=∠4=45°，可得△CMF也為等腰直角三角形，則CM=MF=AE（3）在AC上取點N，連接DN，使得DN=DA，連接FN，設∠A=α，證明△DEA≌△DFNSAS，則∠DNF=∠A=α，AE=FN，取KC的中點P，連接FP，由∠ABC=90°,FK∥AB得到∠KFC=∠B=90°,∠CKF=∠A=α，則PF=PK=12KC，導角得到FP=FN，則【詳解】（1）證明：連接EF，設∠A=α∵2∠A+∠EDF=180°∴∠EDF=180°?2α，∴∠EDA=180°?∠EDF=2α，∵DE=DF∴∠DEF=∠DFE，∵∠EDA=∠DEF+∠DFE，∴∠DEF=∠DFE=α，∴∠A=∠EFD=α，∴EA=EF，∵∠ABC=90°，∴∠C=∠EFC=90°?α，∴EC=EF，∴EA=EC，∴點E是線段AC中點；（2）解：CE=2AG，理由如下：證明，補全如圖，過點D作DM⊥AB交AC于點M，連接FM，∵∠ABC=90°,∠A=45°，DG⊥AC，∴∠3=45°=∠C，∴△AGD，△ADM,△DGM均為等腰直角三角形，∴AG=GD=GM,AD=DM，∵2∠A+∠EDF=180°，∠A=45°∴∠EDF=90°=∠ADM，∴∠1=∠2，∵DE=DF，∴△ADE≌△MDFSAS∴AE=MF,∠A=∠4=45°，∴∠FMA=∠3+∠4=90°，∵∠C=45°∴△CMF也為等腰直角三角形，∴CM=MF，∴CM=MF=AE∵CE=CM+ME=CM+MG+EG，CM=AE,MG=AG，∴CE=AE+EG+AG=2AG；（3）解：AE=1證明：在AC上取點N，連接DN，使得DN=DA，連接FN設∠A=α∵DN=DA，∴∠DNA=∠A=α∴∠ADN=180°?∠A?∠DNA=180°?2α，∵2∠A+∠EDF=180°∴∠EDF=180°?2α，∴∠EDF=∠ADN，∴∠1=∠2，∵DE=DF，∴△DEA≌△DFNSAS∴∠DNF=∠A=α，AE=FN∴∠FNA=2α，取KC的中點P，連接FP，∵∠ABC=90°,FK∥AB，∴∠KFC=∠B=90°,∠CKF=∠A=α，∴PF=PK=1∴∠PKF=∠PFK=α，∴∠FPN=∠PKF+∠PFK=2α，∴∠FPN=∠FNA，∴FP=FN，∴AE=FP，∴AE=1【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，三角形的內角和定理，外角定理，直角三角形的性質，難度較大，正確條件輔助線是解題的關鍵．15．(1)30(2)見解析(3)∠BGD=90°或∠BGD=45°+12α或【分析】（1）先求出∠AED=180°?∠CED=105°，再利用翻折即可得出答案；（2）根據角平分線的定義得出∠FDG=∠BDG，設∠FDG=∠BDG=β，則∠ADF=180°?2β，根據翻折得出∠ADE=∠FDE=90°?β，再求出∠EMD=180°?∠EDF+∠DEC（3）分情況：①當ED∥BC，②當DF∥BC，③當EF∥BC，④當DF∥BC時，DF在AB的下方，⑤當EF∥BC時，【詳解】（1）解：∵∠CED=75°，∴∠AED=180°?∠CED=105°，∵翻折，∴∠AED=∠DEF=105°，∴∠CEF=∠FED?∠CED=105°?75°=30°；（2）解：∵∠BDF的平分線交線段BC于點G，∴∠FDG=∠BDG，∵∠CED=∠BDG，設∠FDG=∠BDG=β，∴∠ADF=180°?∠BDF=180°?2β，∵翻折，∴∠ADE=∠FDE=1∴∠EDF+∠DEC=90°?β+β=90°，∴∠EMD=180°?∠EDF+∠DEC∵∠C=90°，∴∠EMD=∠C，∴BC∥DF；（3）解：①當ED∥BC，如圖①所示：

∴∠1=∠C=90°，∵∠A=α，∴∠2=180°?∠2?∠A=90°?α，∵翻折，∴∠3=∠2=90°?α，∴∠FDB=180°?∠2?∠3=2α，∵∠BDF的平分線交線段BC于點G，∴∠4=1∵∠B=90°?α，∴∠BGD=180°?∠B?∠4=90°；②當DF∥BC，如圖②所示：

∴∠1=∠C=90°，∴∠ADF=180°?∠1?∠A=90°?α，∴∠FDB=180°?∠ADF=90°+α，∵∠BDF的平分線交線段BC于點G，∴∠2=1∵∠B=90°?α，∴∠BGD=180°?∠B?∠2=45°+1③當EF∥

∴∠1=∠C=90°，∵翻折，∠F=∠A=α，∴∠2=∠1+∠F=90°+α，∴∠FDB=∠A+∠2=90°+2α，∵∠BDF的平分線交線段BC于點G，∴∠GDB=1∵∠B=90°?α，∴∠BGD=180°?∠B?∠GDB=45°；④當DF∥BC時，DF在AB的下方，如圖④所示：

∴∠FDB=∠A=90°?α，∵∠BDF的平分線交線段BC于點G，∴∠GDB=1∴∠BGD=∠1?∠GDB=45°?1⑤當EF∥BC時，F在

∴∠1=∠2=90°?α，∵翻折，∠F=∠A=α，∴∠FDB=∠1?∠F=90°?2α，∵∠BDF的平分線交線段BC于點G，∴∠GDB=1∴∠BGD=∠2?∠GDB=45°；綜上所述，∠BGD=90°或∠BGD=45°+12α或∠BGD=45°【點睛】本題主要考查平行線的判定和性質，翻折，三角形內角和定理，角的平分線的定義，注意分情況討論是解（3）題的關鍵．16．(1)①見解析；②AD=DE+BE；③6；(2)28或16【分析】（1）①由∠ACB=90°且AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E可知，∠CBE=∠ACD即可證；②證明△ADC≌△CBE(AAS)，得出③證明△ADC≌△CBE(AAS)，得出BE=CD，（2）分兩種情況：①當∠CAD=90°時；如圖；過A點作AE⊥BC交BC于點E，過點D作EA的延長線的垂線交于點F；②當∠ACD=90°時；如圖；過A點作AN⊥BC交BC于點E，過點D作BC的延長線的垂線交于點M；【詳解】（1）解：①∵∠ACB=90°且AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E∴∠BCE+∠DCA=90°，∠BEC=∠ADC=90°∴∠BCE+∠CBE=90°，∴∠CBE=∠ACD，在△ADC與△CEB中；∠BEC=∠ADC∠CBE=∠ACD∴△ADC≌△CBE(②AD=DE+BE∵∠ACB=90°且AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E∴∠BCE+∠DCA=90°，∠BEC=∠ADC=90°∴∠BCE+∠CBE=90°，∴∠CBE=∠ACD，在△ADC與△CEB中；∠BEC=∠ADC∠CBE=∠ACD∴△ADC≌△CBE(∴BE=CD，∵CE=CD+DE∴AD=DE+BE③DE=6∵∠ACB=90°且AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E∴∠BCE+∠DCA=90°，∠BEC=∠ADC=90°∴∠BCE+∠CBE=90°，∴∠CBE=∠ACD，在△ADC與△CEB中；∠BEC=∠ADC∠CBE=∠ACD∴△ADC≌△CBE(∴BE=CD，∴CD=CE+DE∴DE=CD?CE=BE?AD=11?5=6∴DE=6（2）①當∠CAD=90°時；如圖；過A點作AE⊥BC交BC于點E，過點D作EA的延長線的垂線交于點F；∵S△ABC=12∴AE=12÷1∵AB=AC，BC=8∴BE=EC=1∵以AC為直角邊向右側作一個等腰直角三角形ACD∴AD=AC，∠CAD=90°∴由（1）可得△AEC≌△DFA(∴AF=EC=4；∴EF=3+4=7∴S②當∠ACD=90°時；如圖；過A點作AN⊥BC交BC于點E，過點D作BC的延長線的垂線交于點M；∵S△ABC=12∴AN=12÷1∵AB=AC，BC=8∴BN=NC=1∵以AC為直角邊向右側作一個等腰直角三角形ACD∴CD=AC，∠ACD=90°∴由（1）可得△ANC≌△DMC(∴DM=NC=4；∴S△BCD【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，三角形的面積等相關問題，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當的輔助線是解此題的關鍵．17．(1)60°(2)見詳解(3)4【分析】（1）由等邊三角形的性質得出∠B=∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，證明△CBD≌△ACESAS，由全等三角形的性質得出∠BCD=∠CAE，根據角和關系得出∠BCD+∠ACF=60°，等量代換可得出∠CAE+∠ACF=60°，再根據三角形外角的定義和性質得出∠AFD=∠CAE+∠ACD（2）延長AE到H，使FH=AF，先證明△AFM≌△HFBSAS，由全等三角形的性質得出∠FAM=∠H，再證明△ANC≌△BHAAAS，由全等三角形的性質得出CN=AH=2AF，通過三角形外角的定義和性質以及三角形內角和定理得出∠AFG=180°?∠CAE?∠AGF=60°+α=∠AGF，根據等角對等邊得出AF=AG，即可得出（3）過點N作NH⊥AB交AB于點H，過點A作AH1⊥BC交BC于點H1，過點C作CH2⊥AB交AB于點H2，設NH=h，AH1=h1和CH2=h2，根據等邊三角形得AH1=CH2，即h【詳解】（1）解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠B=∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，在△CBD和△ACE中，BD=CE∠B=∠ACE∴△CBD≌△ACE∴∠BCD=∠CAE，又∵∠BCD+∠ACF=60°，∴∠CAE+∠ACF=60°，∴∠AFD=∠CAE+∠ACD=60°；（2）證明：延長AE到H，使FH=AF，連接BH，如圖，又∵MF=BF，∠BFH=∠MFA，∴△AFM≌△HFBSAS∴∠FAM=∠H，又∵∠NAM=∠FAM+∠NAF=120°，∠AFD=60°，∴∠NAF+∠ANC=120°，∴∠FAM=∠ANC，∴∠H=∠ANC，∵∠ACF=2∠CBG，∴設∠CBG=α，則∠ACN=2α，∴∠BCD=60°?2α，由（1）知∠BCD=∠CAE，∴∠CAE=∠BCD=60°?2α，∴∠BAH=∠BAC?∠CAE=60°?又∵AB=AC，∴△ANC≌△BHAAAS∴CN=AH=2AF，∵∠CBG=α，∠BCD=60°?2α，∴∠CFG=∠CBG+∠BCD=60°?α，∴∠AGF=∠CFG+∠ACN=60°+α，∵∠CAE=∠BCD=60°?2α，∴∠AFG=180°?∠CAE?∠AGF=60°+α=∠AGF，∴AF=AG，∴CN=AH=2AF=2AG（3）解：過點N作NH⊥AB交AB于點H，過點A作AH1⊥BC交BC于點H1，過點C作CH設NH=h，AH1=∵△ABC為等邊三角形，∴AH1=C由△AFM≌△HFB，∴S△ABM∵△ABM的面積為2，∴S△ABM∵△ANC≌△BHA，∴S△ANC∵∠CBG=α，∴∠ABG=60°?α，∵∠AFD=60°，∠AFG=60°+α，∴∠BFD=∠CFG=180°?∠DFA?∠AFG=60°?α，∴∠ABG=∠BFD，則DF=DB，由（2）AF=AG，∵AF+GC=DF+1，∴AG+GC=DF+1，即AC=DF+1，∵AC=AB，∴AB=DB+1=AD+DB，∴AD=1，∵S△ANC∴h+h∴h+h則點A到BC的距離與點N到AB的距離之和4．【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質、三角形外角性質等知識點，解題的關鍵是熟悉倍長中線和半角求解的常見做法．18．(1)AE=BD；60°(2)FH∥(3)成立．證明見解析(4)見解析【分析】本題考查了等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，角平分線的判定定理．（1）根據等邊三角形的性質得到AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，證明△ACE≌△BCD，即可得到AE=BD,∠EAC=∠DBC，進而根據三角形內角和計算即可；（2）同（1）可證△ACE≌△BCD，得到∠CAE=∠CBD，進而證明△CAH≌△CBF，根據等邊三角形的判定和性質求出∠CHF=60°，得到∠DCE=∠CHF，即可證明FH∥（3）如圖，設BD與AC交于點O．根據等邊三角形的性質得到AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，進而得到∠BCD=∠ACE，證明△BCD≌△ACE，得到BD=AE,∠CBD=∠CAE，進而計算即可；（4）連接CP，過點C作CM⊥BD,CN⊥AE，垂足分別為M，N，由（3）得△BCD≌△ACE，進而得到BD=AE,S△BCD=S△ACE【詳解】（1）證明：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，∵∠ACD=60°,∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE．在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE=BD,∠EAC=∠DBC，∴∠APB=180°?∠BAP?∠ABP=180°?∠BAC?∠CAE?∠ABP=180°?∠BAC?∠BCD?∠ABP=180°?∠BAC?∠ABC=180°?60°?60°=60°，故答案為：AE=BD；60°；（2）同（1）可證△ACE≌△BCD，∴∠CAE=∠CBD．在△CAH和△CBF中，∠CAH=∠CBFAC=BC∴△CAH≌△CBF(ASA)，∴CH=CF．∵∠FCH=60°，∴△CFH為等邊三角形，∴∠CHF=60°，∴∠DCE=∠CHF，∴FH∥（3）成立．證明：如圖，設B