專題利用勾股定理解決“最短”問題利用平面展開圖的知識求“最短”1.為籌備元旦晚會，同學們設(shè)計了一個圓筒形燈罩，底色漆成白色，然后纏繞紅色油紙，如圖所示，已知圓筒高108cm，其橫截面周長為36cm，如果在圓筒側(cè)面恰好能纏繞4圈油紙，請你求至少需要多長的油紙?2.如圖，透明的圓柱形玻璃容器(容器厚度忽略不計)的高為16cm，在容器內(nèi)壁離容器底部4cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在容器外壁，位于離容器上底面距離為4cm的點A處，若螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為20cm，則該圓柱底面周長為多少?3.(2025·新昌模擬)如圖，長方體的長為20cm，寬為15cm，高為10cm，點B離點C為6cm，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是()A.529cmB.25cmC.2194cmD.441cm利用“垂線段最短”求“最短”4.如圖，某小區(qū)的兩個噴泉A，B位于小路AC的同側(cè)，兩個噴泉之間的距離AB=250m.現(xiàn)要為噴泉鋪設(shè)供水管道AM，BM，供水點M在小路AC上，到AB的距離MN=120m，到噴泉B的距離BM=150m.(1)求供水點M到噴泉A，B需要鋪設(shè)的管道總長.(2)求噴泉B到小路AC的最短距離.5.如圖等邊AABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動點，E是AB邊上一點，若AE=2，求EM+BM的最小值.利用軸對稱的知識求“最短”6.(2025南京鼓樓區(qū)月考)如圖所示，高速公路的同一側(cè)有A，B兩城鎮(zhèn)，它們到高速公路所在直線MN的距離分別為AC=2km，BD=4km，CD=8km.要在高速公路上C，D之間建一個出口P，使A，B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小，求這個最短距離并畫出相應(yīng)的最短路徑.7.如圖，一個牧童在小河的南200m的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西400m、北350m處，他想把馬牽到小河邊去飲水，然后回到小屋，請你求牧童完成這件事情所走的最短路程，并畫出與之相應(yīng)的最短路徑.8.某島爭端持續(xù)，我海監(jiān)船加大對該島海域的巡航維權(quán)力度．如圖，OA⊥OB，OA＝45nmile，OB＝15nmile，該島位于O點，我國海監(jiān)船在點B處發(fā)現(xiàn)有一不明國籍的漁船，自A點出發(fā)沿著AO方向勻速駛向此島所在地點O，我國海監(jiān)船立即從B處出發(fā)以相同的速度沿某直線去攔截這艘漁船，結(jié)果在點C處截住了漁船．(1)請用直尺和圓規(guī)作出C處的位置；(2)求我國海監(jiān)船行駛的航程BC的長．

【詳解答案】1.解：將纏繞1圈油紙的圓筒側(cè)面展開后得到一個長方形，則長方形的長為圓筒的橫截面周長，長方形的寬為圓筒高度的14，如圖所示.根據(jù)題意，AB=36cm，BC=1084根據(jù)勾股定理，得AC=AB2∴4AC=4×45=180(cm).答：至少需要180cm長的油紙.2.解：如圖：將圓柱展開，EG為上底面圓周長的一半，作A關(guān)于E的對稱點A'，連接A'B交EG于F，則螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為AF+BF的長，即AF+BF=A'B=20cm，延長BG，過A'作A'D⊥BG于D∵AE＝A'E＝DG＝4cm，∴BD＝16cm，Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D2=A'B2-BD2=20∴A'D=12∴則該圓柱底面周長為12π3.D解析：如圖所示，將長方體展開，連接AB根據(jù)題意可知，BD=6+10=16(cm)，AD=20cm，利用勾股定理得：AB=AD2+BD2=2024.解：(1)在Rt△MNB中，MN=120m，BM=150m.根據(jù)勾股定理，得BN=BM2∴AN=AB-BN=250-90=160(m).在Rt△AMN中，AM=AN2∴供水點M到噴泉A，B需要鋪設(shè)的管道總長為200+150=350(m).(2)∵AB=250m，AM=200m，BM=150m，∴AB2=BM2+AM2，∴△ABM是直角三角形，且∠AMB=90°.∴BM⊥AC.∴噴泉B到小路AC的最短距離是150m.5.解：∵△ABC是等邊三角形，且AD是BC邊上的中線∴AD⊥BC，即AD垂直平分BC，AB=6，BD=3，AD=33連接CE，BM+EM=CM+EM=CE根據(jù)兩點之間線段最短，CE即為所求過點C作CF⊥AB于F，如圖4-2所示∵CF=AD=33，AE=2，AF=3，∴EF=1在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE=CF2+即EM+BM的最小值為276.解：如圖所示，作A點關(guān)于直線MN的對稱點A'，再連接A'B，交直線MN于點P，則此時AP+PB最小，為最短路徑.過點B作BE⊥CA交CA的延長線于點E，∵AC=2km，BD=4km，CD=8km.∴BE=CD=8km，AE=4-2=2(km)，AA'=4km，∴A'E=6km，在Rt△A'EB中，A'B=A'E2+BE2=62+7.解：設(shè)直線MN表示小河，作A點關(guān)于直線MN的對稱點A'，AA'與MN相交于點C，連接A'B交MN于點P，則從A點沿線段AP到P點再沿PB到達B點，即為牧童所走的最短路徑，如圖所示.∴牧童所走的最短路程為AP+BP=A'P+BP=A'B.根據(jù)題意，AC=200m，則AA'=2AC=400m，AD=350m，BD=400m.∴A'D=AA'+AD=750m.在Rt△A'DB中，根據(jù)勾股定理，得A'B=A'∴牧童完成這件事情所走的最短路程是850m.8.解：(1)如圖，連接AB，作AB的垂直平分