一、相似三角形：從定義到性質(zhì)的系統(tǒng)回顧演講人CONTENTS相似三角形：從定義到性質(zhì)的系統(tǒng)回顧位似圖形：特殊相似的“位置約束”相似三角形與位似圖形的關(guān)系：從一般到特殊的升華應(yīng)用實(shí)踐：相似與位似的協(xié)同解題總結(jié)與升華：從知識(shí)到思維的跨越目錄2025九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)相似三角形與位似圖形關(guān)系課件各位同學(xué)、老師們：今天，我們將共同探索相似三角形與位似圖形之間的深層聯(lián)系。作為初中幾何的核心內(nèi)容之一，相似三角形是研究圖形形狀關(guān)系的基礎(chǔ)，而位似圖形則是相似的特殊形式，二者的關(guān)聯(lián)既是知識(shí)體系的自然延伸，也是解決實(shí)際問題的重要工具。接下來，我將結(jié)合多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，從基礎(chǔ)回顧、概念解析、關(guān)系探究到應(yīng)用實(shí)踐，逐步揭開它們的“親密關(guān)系”。01相似三角形：從定義到性質(zhì)的系統(tǒng)回顧相似三角形：從定義到性質(zhì)的系統(tǒng)回顧要理解位似圖形與相似三角形的關(guān)系，首先需要夯實(shí)相似三角形的知識(shí)基礎(chǔ)。在之前的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)接觸過相似三角形的核心內(nèi)容，現(xiàn)在讓我們通過“定義—判定—性質(zhì)”的邏輯鏈條，進(jìn)行一次系統(tǒng)的溫故。1相似三角形的定義與符號(hào)表示相似三角形的本質(zhì)是“形狀相同，大小不一定相同”的三角形。數(shù)學(xué)上，我們定義：如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)三角形相似，記作“△ABC∽△A’B’C’”，其中“∽”是相似符號(hào)，讀作“相似于”。這里需要強(qiáng)調(diào)兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：對(duì)應(yīng)性：角的對(duì)應(yīng)和邊的對(duì)應(yīng)必須嚴(yán)格匹配，例如△ABC與△A’B’C’相似時(shí)，∠A對(duì)應(yīng)∠A’，∠B對(duì)應(yīng)∠B’，邊AB對(duì)應(yīng)邊A’B’；比例性：對(duì)應(yīng)邊的比值（即相似比）是一個(gè)固定常數(shù)k（k>0），當(dāng)k=1時(shí)，相似三角形退化為全等三角形（全等是相似的特殊情況）。2相似三角形的判定定理0504020301判定兩個(gè)三角形相似，是解決幾何問題的關(guān)鍵能力。我們通過實(shí)驗(yàn)、推理總結(jié)出以下4類判定方法：AA（角角）判定：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似。這是最常用的判定方法，因?yàn)橹恍枳C明兩組對(duì)應(yīng)角相等，即可繞過邊的計(jì)算；SAS（邊角邊）判定：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似。這里“夾角”是關(guān)鍵，若角不是兩邊的夾角，則無法判定相似；SSS（邊邊邊）判定：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似。當(dāng)已知三邊長(zhǎng)度時(shí)，通過計(jì)算比例即可驗(yàn)證；HL（斜邊直角邊）判定：在直角三角形中，斜邊和一條直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似。這是直角三角形特有的判定方法。2相似三角形的判定定理以課堂練習(xí)為例，曾有一道題目：“在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=50，AB=3，AC=4，DE=6，DF=8，判斷兩三角形是否相似?！蓖ㄟ^計(jì)算AB/DE=3/6=1/2，AC/DF=4/8=1/2，且夾角∠A=∠D，符合SAS判定，因此兩三角形相似。這道題直觀體現(xiàn)了判定定理的應(yīng)用邏輯。3相似三角形的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)是其應(yīng)用的核心，主要包括：角的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，即∠A=∠A’，∠B=∠B’，∠C=∠C’；邊的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊成比例，即AB/A’B’=BC/B’C’=CA/C’A’=k（相似比）；周長(zhǎng)與面積性質(zhì)：周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方；線段性質(zhì)：對(duì)應(yīng)高、中線、角平分線的比等于相似比。例如，若兩個(gè)相似三角形的相似比為2:3，那么它們的周長(zhǎng)比是2:3，面積比是4:9，對(duì)應(yīng)高的比也是2:3。這些性質(zhì)在解決實(shí)際測(cè)量問題（如利用影子測(cè)樹高）時(shí)尤為重要。02位似圖形：特殊相似的“位置約束”位似圖形：特殊相似的“位置約束”在相似圖形的基礎(chǔ)上，我們進(jìn)一步研究一類特殊的相似——位似圖形。它不僅滿足相似的基本條件，還存在“位置上的特殊關(guān)聯(lián)”，這使得位似圖形在坐標(biāo)系變換、地圖縮放等場(chǎng)景中應(yīng)用廣泛。1位似圖形的定義與要素位似圖形的定義是：如果兩個(gè)圖形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行（或在同一直線上），那么這兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)交點(diǎn)叫做位似中心，相似比又稱為位似比。理解這一定義需要抓住三個(gè)核心要素：位似中心：所有對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線的公共交點(diǎn)，是位似圖形的“樞紐”；對(duì)應(yīng)邊平行（或共線）：這是位似圖形區(qū)別于一般相似圖形的關(guān)鍵特征；位似比：與相似比一致，決定了圖形放大或縮小的程度。例如，用投影儀將幻燈片投影到屏幕上，幻燈片與屏幕上的圖像就是位似圖形，光源（投影儀鏡頭）就是位似中心，圖像的放大倍數(shù)即為位似比。2位似圖形的分類與性質(zhì)根據(jù)位似中心的位置，位似圖形可分為兩類：外位似：位似中心在兩個(gè)圖形的同側(cè)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在位似中心的同一側(cè)，此時(shí)位似比為正；內(nèi)位似：位似中心在兩個(gè)圖形之間，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在位似中心的兩側(cè)，此時(shí)位似比為負(fù)（表示方向相反）。位似圖形的性質(zhì)是相似性質(zhì)的“加強(qiáng)版”，除了具備相似圖形的所有性質(zhì)外，還具有：共線性：任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心共線；平行性：對(duì)應(yīng)邊平行（或共線），因此對(duì)應(yīng)邊所在直線的夾角為0；坐標(biāo)變換規(guī)律：在平面直角坐標(biāo)系中，若位似中心在原點(diǎn)，位似比為k，則原圖形上點(diǎn)(x,y)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(kx,ky)（外位似）或(-kx,-ky)（內(nèi)位似）。2位似圖形的分類與性質(zhì)以坐標(biāo)系中的位似變換為例：若△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,1)、B(2,3)、C(4,2)，位似中心在原點(diǎn)，位似比為2，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)A’(2,2)、B’(4,6)、C’(8,4)，連接AA’、BB’、CC’，三條直線必交于原點(diǎn)，且AB與A’B’的斜率均為(3-1)/(2-1)=2，說明對(duì)應(yīng)邊平行。3位似圖形的作圖與驗(yàn)證作位似圖形是重要的操作技能，步驟如下：確定位似中心O；連接原圖形各頂點(diǎn)與O，延長(zhǎng)（或反向延長(zhǎng)）至對(duì)應(yīng)點(diǎn)，使OO’/OO=位似比k；連接各對(duì)應(yīng)點(diǎn)，得到位似圖形。驗(yàn)證兩個(gè)圖形是否位似，需同時(shí)滿足：它們是相似圖形；對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線交于同一點(diǎn)（位似中心）；對(duì)應(yīng)邊平行（或共線）。例如，判斷兩個(gè)矩形是否位似時(shí)，若它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線交于一點(diǎn)，且對(duì)應(yīng)邊平行，則可確定為位似圖形；若僅相似但連線不共點(diǎn)，則不是位似圖形。03相似三角形與位似圖形的關(guān)系：從一般到特殊的升華相似三角形與位似圖形的關(guān)系：從一般到特殊的升華相似三角形與位似圖形的關(guān)系，本質(zhì)是“一般與特殊”的關(guān)系——位似圖形是相似圖形的特殊形式，而相似三角形作為相似圖形的典型代表，與位似圖形的關(guān)聯(lián)尤為緊密。3.1聯(lián)系：位似圖形是特殊的相似圖形位似圖形首先是相似圖形，因此必然滿足相似圖形的所有性質(zhì)：角的對(duì)應(yīng)相等：位似三角形的對(duì)應(yīng)角與原三角形相等；邊的比例關(guān)系：位似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，比例系數(shù)即位似比（相似比）；周長(zhǎng)與面積關(guān)系：位似三角形的周長(zhǎng)比等于位似比，面積比等于位似比的平方。例如，若△ABC與△A’B’C’位似，位似比為3:1，則它們的相似比也是3:1，∠A=∠A’，AB/A’B’=3/1，周長(zhǎng)比為3:1，面積比為9:1。2區(qū)別：位似圖形的“額外約束”與一般相似圖形相比，位似圖形增加了兩個(gè)關(guān)鍵約束：對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)共線：所有對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線必須交于同一點(diǎn)（位似中心），而一般相似圖形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線可能不共點(diǎn)；對(duì)應(yīng)邊平行（或共線）：位似圖形的對(duì)應(yīng)邊所在直線要么平行，要么重合，而一般相似圖形的對(duì)應(yīng)邊可能相交（只要夾角等于對(duì)應(yīng)角即可）。以兩個(gè)相似但不位似的三角形為例：△ABC與△A’B’C’滿足AA相似（∠A=∠A’，∠B=∠B’），但對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線AA’、BB’、CC’不相交于同一點(diǎn)，此時(shí)它們是相似三角形，但不是位似三角形。3轉(zhuǎn)化：從相似到位似的條件要使兩個(gè)相似三角形成為位似三角形，需要滿足以下條件之一：存在位似中心：存在一點(diǎn)O，使得OA’/OA=OB’/OB=OC’/OC=k（位似比），且點(diǎn)O、A、A’共線，O、B、B’共線，O、C、C’共線；對(duì)應(yīng)邊平行：若兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊平行（或共線），則它們必為位似三角形，位似中心為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線的交點(diǎn)。例如，在坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)為A(0,0)、B(2,0)、C(0,2)，△A’B’C’的頂點(diǎn)為A’(1,1)、B’(3,1)、C’(1,3)。通過計(jì)算可知，AB的斜率為0，A’B’的斜率也為0（平行）；AC的斜率為無窮大（垂直x軸），A’C’的斜率也為無窮大（平行），因此兩三角形相似且對(duì)應(yīng)邊平行，必為位似三角形。進(jìn)一步驗(yàn)證，AA’的直線方程為y=x，BB’的直線方程為y=1（x從2到3），3轉(zhuǎn)化：從相似到位似的條件顯然不共點(diǎn)？這里可能存在錯(cuò)誤，需要重新計(jì)算。實(shí)際上，正確的例子應(yīng)為：△ABC(0,0),(2,0),(0,2)與△A’B’C’(0,0),(4,0),(0,4)，此時(shí)對(duì)應(yīng)邊AB與A’B’共線（都在x軸上），AC與A’C’共線（都在y軸上），對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線AA’（原點(diǎn)到原點(diǎn)）、BB’（(2,0)到(4,0)）、CC’（(0,2)到(0,4)）均過原點(diǎn)，因此位似中心為原點(diǎn)，位似比為2。04應(yīng)用實(shí)踐：相似與位似的協(xié)同解題應(yīng)用實(shí)踐：相似與位似的協(xié)同解題掌握相似三角形與位似圖形的關(guān)系，最終要落實(shí)到解決實(shí)際問題中。以下通過三類典型問題，展示二者的協(xié)同作用。1坐標(biāo)系中的位似變換問題例題1：在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,2)、B(3,4)、C(5,1)，以原點(diǎn)O為位似中心，位似比為2，作△ABC的位似圖形△A’B’C’，并求A’、B’、C’的坐標(biāo)。分析：根據(jù)位似圖形的坐標(biāo)變換規(guī)律，外位似時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為原坐標(biāo)乘以位似比。因此：A’(1×2,2×2)=(2,4)，B’(3×2,4×2)=(6,8)，C’(5×2,1×2)=(10,2)。驗(yàn)證：連接OA、OA’，OB、OB’，OC、OC’，三條直線均過原點(diǎn)，且AB的斜率為(4-2)/(3-1)=1，A’B’的斜率為(8-4)/(6-2)=1，說明對(duì)應(yīng)邊平行，符合位似圖形的定義。2測(cè)量問題中的相似與位似結(jié)合例題2：小明想測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，他在旗桿旁豎立一根1.5米高的標(biāo)桿，當(dāng)標(biāo)桿的影子長(zhǎng)為2米時(shí)，旗桿的影子長(zhǎng)為16米。同時(shí)，他發(fā)現(xiàn)標(biāo)桿頂端、旗桿頂端與太陽光線在同一直線上（即位似中心為太陽）。求旗桿的高度。分析：標(biāo)桿與旗桿可視為位似圖形（太陽為位似中心，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線共線，對(duì)應(yīng)邊平行），因此它們的高度比等于影子長(zhǎng)度比（位似比）。設(shè)旗桿高度為h，則：h/1.5=16/2→h=12米。這里，位似的“共線性”特征簡(jiǎn)化了問題——無需證明相似，直接利用位似比等于對(duì)應(yīng)線段比即可求解。3幾何證明中的關(guān)系應(yīng)用例題3：已知△ABC∽△A’B’C’，且對(duì)應(yīng)邊AB∥A’B’，BC∥B’C’，求證：△ABC與△A’B’C’是位似三角形。證明：由AB∥A’B’，得∠OAB=∠OA’B’（同位角相等），同理∠OBA=∠OB’A’（同位角相等），因此△OAB∽△OA’B’（AA判定），得OA/OA’=OB/OB’=AB/A’B’=k；同理，由BC∥B’C’，可得△OBC∽△OB’C’，得OB/OB’=OC/OC’=BC/B’C’=k；因此OA/OA’=OB/OB’=OC/OC’=k，且點(diǎn)O為AA’、BB’、CC’的交點(diǎn)，故△ABC與△A’B’C’是位似三角形，位似中心為O，位似比為k。3幾何證明中的關(guān)系應(yīng)用此證明過程充分體現(xiàn)了“對(duì)應(yīng)邊平行→對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)共線→位似中心存在”的邏輯鏈條，是相似與位似關(guān)系的典型應(yīng)用。05總結(jié)與升華：從知識(shí)到思維的跨越總結(jié)與升華：從知識(shí)到思維的跨越回顧本節(jié)課的核心內(nèi)容，我們可以用“一個(gè)本質(zhì)，兩個(gè)維度，三個(gè)應(yīng)用”來概括：一個(gè)本質(zhì)：位似圖形是特殊的相似圖形，其特殊性在于“對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)共線”和“對(duì)應(yīng)邊平行”；兩個(gè)維度：相似三角形是位似圖