湖南理科高考試卷及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.若集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x|0<x<6,x\inN\}\)，則\(A\cupB=(\)\)A.\(\{1,2\}\)B.\(\{1,2,3,4,5\}\)C.\(\{0,1,2,3,4,5\}\)D.\(\varnothing\)2.已知\(i\)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)\(z=\frac{1+i}{1-i}\)，則\(\vertz\vert=(\)\)A.\(0\)B.\(1\)C.\(\sqrt{2}\)D.\(2\)3.已知向量\(\vec{a}=(1,m)\)，\(\vec=(3,-2)\)，且\((\vec{a}+\vec)\perp\vec\)，則\(m=(\)\)A.-8B.-6C.6D.84.函數(shù)\(f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2\)在\(x=1\)處有極值\(10\)，則\(a+b=(\)\)A.\(0\)B.\(0\)或\(-7\)C.\(-7\)D.\(7\)5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入\(n=10\)，則輸出的\(S=(\)\)A.\(\frac{11}{12}\)B.\(\frac{24}{25}\)C.\(\frac{49}{50}\)D.\(\frac{99}{100}\)6.已知雙曲線\(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的一條漸近線方程為\(y=\frac{\sqrt{5}}{2}x\)，且與橢圓\(\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1\)有公共焦點，則\(C\)的方程為\((\)\)A.\(\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{10}=1\)B.\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1\)C.\(\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1\)D.\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1\)7.已知\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5}\)，\(\alpha\in(0,\pi)\)，則\(\tan\alpha=(\)\)A.\(-\frac{4}{3}\)B.\(-\frac{3}{4}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(\frac{4}{3}\)8.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為\((\)\)A.\(16+8\pi\)B.\(8+8\pi\)C.\(16+16\pi\)D.\(8+16\pi\)9.設(shè)\(a=\log_36\)，\(b=\log_510\)，\(c=\log_714\)，則\((\)\)A.\(c>b>a\)B.\(b>c>a\)C.\(a>c>b\)D.\(a>b>c\)10.已知\(f(x)\)是定義在\(R\)上的偶函數(shù)，且滿足\(f(x+4)=f(x)\)，當(dāng)\(x\in[0,2]\)時，\(f(x)=2^x\)，則\(f(-2021)+f(2022)=(\)\)A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(3\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在區(qū)間\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增的是（）A.\(y=x^{\frac{1}{2}}\)B.\(y=2^x\)C.\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)D.\(y=\frac{1}{x}\)2.已知\(a,b\inR\)，且\(ab\neq0\)，則下列結(jié)論恒成立的是（）A.\(a+b\geqslant2\sqrt{ab}\)B.\(\frac{a}+\frac{a}\geqslant2\)C.\(\vert\frac{a}+\frac{a}\vert\geqslant2\)D.\(a^2+b^2\geqslant2ab\)3.已知直線\(l\)過點\((1,0)\)且垂直于\(x\)軸，若\(l\)被拋物線\(y^2=4ax\)截得的線段長為\(4\)，則拋物線的焦點坐標為（）A.\((1,0)\)B.\((2,0)\)C.\((0,1)\)D.\((0,2)\)4.下列說法正確的是（）A.命題“\(\forallx\inR,x^2+1>0\)”的否定是“\(\existsx\inR,x^2+1\leqslant0\)”B.若\(a,b\inR\)，則“\(a^2+b^2\neq0\)”是“\(a,b\)不全為\(0\)”的充要條件C.“\(x>1\)”是“\(x>2\)”的必要不充分條件D.若“\(p\landq\)”為假命題，則\(p,q\)均為假命題5.已知函數(shù)\(f(x)=\sin(2x+\varphi)(0<\varphi<\frac{\pi}{2})\)的圖象經(jīng)過點\((0,\frac{\sqrt{3}}{2})\)，則下列結(jié)論正確的是（）A.\(f(x)\)的最小正周期為\(\pi\)B.\(f(x)\)在\([0,\frac{\pi}{3}]\)上單調(diào)遞增C.\(f(x)\)的圖象關(guān)于點\((\frac{5\pi}{12},0)\)對稱D.\(f(x)\)的圖象關(guān)于直線\(x=\frac{\pi}{6}\)對稱6.已知\(a,b\)為非零向量，下列命題中正確的是（）A.若\(\verta+b\vert=\verta-b\vert\)，則\(a\perpb\)B.若\(a\cdotb=\verta\vert\vertb\vert\)，則\(a\)與\(b\)同向C.若\(\verta\vert=\vertb\vert\)，且\(\verta+b\vert=\verta-b\vert\)，則\(a\perpb\)D.若\(a\cdotb=\verta\vert\vertb\vert\)，則\(\verta+b\vert=\verta\vert+\vertb\vert\)7.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，則（）A.\(f(x)\)有兩個極值點B.\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)上單調(diào)遞增C.\(f(x)\)在\(x=1\)處取得極大值D.\(f(x)\)在\(x=2\)處取得極小值8.已知橢圓\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的左、右焦點分別為\(F_1,F_2\)，點\(P\)在橢圓\(C\)上，且\(\angleF_1PF_2=60^{\circ}\)，若\(\triangleF_1PF_2\)的面積為\(\sqrt{3}\)，則下列結(jié)論正確的是（）A.\(b=1\)B.橢圓的離心率\(e=\frac{1}{2}\)C.\(\vertPF_1\vert\cdot\vertPF_2\vert=4\)D.\(\vertPF_1\vert+\vertPF_2\vert=4\)9.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等差數(shù)列，\(S_n\)是其前\(n\)項和，若\(a_1+a_3+a_5=15\)，\(S_4=16\)，則（）A.\(a_3=5\)B.\(a_2=4\)C.\(d=1\)D.\(S_7=49\)10.已知函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象關(guān)于點\((a,b)\)對稱，則有\(zhòng)(f(x)+f(2a-x)=2b\)。已知函數(shù)\(f(x)=\frac{2x+1}{x-1}\)，其圖象關(guān)于點\((1,2)\)對稱，則（）A.\(f(2)+f(0)=4\)B.\(f(\frac{1}{2})+f(\frac{3}{2})=4\)C.\(f(-x)+f(2+x)=4\)D.\(f(-2)+f(4)=4\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(a>b\)，則\(ac^2>bc^2\)。（）2.函數(shù)\(y=\sinx\)的圖象的一個對稱中心是\((\pi,0)\)。（）3.直線\(y=x+1\)與圓\(x^2+y^2=1\)相切。（）4.若\(a,b\)為實數(shù)，則\((a+bi)^2=a^2-b^2+2abi\)。（）5.若\(\{a_n\}\)是等比數(shù)列，\(a_1=1\)，\(a_2=2\)，則\(a_3=4\)。（）6.函數(shù)\(y=\log_2x\)在\((0,+\infty)\)上是增函數(shù)。（）7.若向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(2,4)\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec\)共線。（）8.雙曲線\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)的漸近線方程是\(y=\pm\frac{4}{3}x\)。（）9.若\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，則\(f(0)=0\)。（）10.拋物線\(y^2=4x\)的準線方程是\(x=-1\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式及前\(n\)項和\(S_n\)。答案：設(shè)等差數(shù)列公差為\(d\)，\(a_3=a_1+2d\)，即\(5=1+2d\)，解得\(d=2\)。通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。前\(n\)項和\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=n^2\)。2.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)，求\(f(x)\)的單調(diào)區(qū)間和極值。答案：對\(f(x)\)求導(dǎo)得\(f^\prime(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)\)。令\(f^\prime(x)>0\)，得\(x<-1\)或\(x>1\)，單調(diào)遞增區(qū)間為\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)；令\(f^\prime(x)<0\)，得\(-1<x<1\)，單調(diào)遞減區(qū)間為\((-1,1)\)。極大值\(f(-1)=2\)，極小值\(f(1)=-2\)。3.已知\(\triangleABC\)中，\(a=\sqrt{3}\)，\(b=1\)，\(A=60^{\circ}\)，求角\(B\)。答案：由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}\)，可得\(\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{1\times\sin60^{\circ}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\)。因為\(a>b\)，\(A=60^{\circ}\)，所以\(B=30^{\circ}\)。4.求過點\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)平行的直線方程。答案：直線\(2x-y+1=0\)斜率為\(2\)，所求直線與之平行，斜率也為\(2\)。由點斜式\(y-y_0=k(x-x_0)\)（\((x_0,y_0)=(1,2)\)，\(k=2\)），得\(y-2=2(x-1)\)，即\(2x-y=0\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論在高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)與方程思想的重要性及應(yīng)用場景。答案：函數(shù)與方程思想很重要。它能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型求解。在求函數(shù)零點、解不等式、數(shù)列通項與求和等場景常用。比如求函數(shù)零點可轉(zhuǎn)化為方程求解；數(shù)列中通過方程求通項公式參數(shù)等，幫助學(xué)生更好理解和解決數(shù)學(xué)問題。2.探討立體幾何中證明線面垂直的方法及常見思路。答案：證明線面垂直方法有：定義法；判定定理（證明直線垂直平面內(nèi)兩條相交直線）；面面垂直性質(zhì)（若面面垂直，在一個面內(nèi)垂直交線的直線垂直另一個面）。常見思路是先分析條件，找平面內(nèi)相交直線或利用面面垂直關(guān)系，通過轉(zhuǎn)化來完成證明。3.分析在解析幾何中，如何利用韋達定理簡化計算。答案：在解析幾何中，聯(lián)立直線與曲線方程后得到一元二次方程。韋達定理可得出兩根之和與兩根之積。求弦長時用弦長公式結(jié)合韋達定理；求中點坐標可根據(jù)中點