17.4直角三角形全等的判定學習目標1.探索并掌握直角三角形全等的判定定理的證明和簡單的應用.（重點）2.會利用基本作圖完成：已知一直角邊和斜邊作直角三角形.（重點）3.初步養(yǎng)成綜合運用知識解決問題的能力，進一步提高推理能力.（難點）知識回顧想一想，填一填：圖形條件是否能判定三角形全等三邊相等（SSS）兩邊和它們夾角相等（SAS）兩角和它們的夾邊相等（ASA）兩角和一角的對邊相等（AAS）ABCA'B'C'√√√√新知探究問題：如果兩邊對應相等的兩個直角三角形，那么其第三邊一定相等嗎？由勾股定理可知，兩邊對應相等的兩個直角三角形，其第三邊一定相等斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等嗎？新知探究已知：如圖，在△ABC和△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.求證：△ABC≌△A'B'C'.證明:∵在△ABC和△A'B'C'中，∠C=90°，∠C'=90°，∴BC2=AB2-AC2，B'C'2=A'B'2-A'C'2.(勾股定理)∵AB=A'B'，AC=A'C'，∴BC=B'C'∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).ABCA'B'C'你能得出什么結論?新知歸納直角三角形全等的判定定理:斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等.符號語言：條件1條件2前提ABCA′B′

C′┓┓在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）{AB=A′B′AC=A′C′(或BC=B′C′)\\\\\\簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”僅適合直角三角形在使用“HL”時，同學們應注意什么?“HL”是僅適用于直角三角形的特殊方法.注意對應相等.新知探究ABCA′B′C′新知探究你能夠用哪幾種方法說明兩個直角三角形全等？判斷直角三角形全等條件三邊對應相等SSS一銳角和它的鄰邊對應相等

ASA兩銳角和一條直角邊對應相等

AAS兩直角邊對應相等SAS斜邊和一條直角邊對應相等

HL我們應根據具體問題的實際情況選擇判斷兩個直角三角形全等的方法.練一練判斷滿足下列條件的兩個直角三角形是否全等，不全等的畫“×”，全等的注明理由：（1）兩個銳角和一條直角邊對應相等；（）（2）一個銳角和這個角的鄰邊對應相等；（）（3）一個銳角和斜邊對應相等；

（）（4）兩直角邊對應相等；（）（5）一條直角邊和斜邊對應相等．（）HL×SASAASAAS例1

已知一直角邊和斜邊，用尺規(guī)作直角三角形.

已知：如圖，線段a，c.

求作：△ABC，使∠C=90°，BC=a，AB=c.典型例題ac作法：（1）作線段CB=a，（2）過點C，作MC⊥CB，（3）以B為圓心，c為半徑畫弧，交CM于點A，（4）連接AB.CMBA畫法一：典型例題acac作法：1.畫∠MCN=90°，3.以B為圓心，c為半徑畫弧，交射線CN于點A.4.連接AB.△ABC就是所要畫的直角三角形.MCNaBcA2.在射線CM上取CB=a，畫法二：典型例題例2已知：如圖17.4-4，點P在∠AOB的內部，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為C，D，且PC=PD.求證：點P在∠AOB的平分線上.ABCDOP分析：點P在∠AOB的平分線上OP平分∠AOB∠COP=∠DOPRt△OPC≌Rt△OPD典型例題證明:如圖，作射線OP.∵PC⊥OA，PD⊥OB，∴∠PCO=∠PDO=90°.在Rt△OPC和Rt△OPD中，PC=PD(已知)，OP=OP(公共邊)，:∴.Rt△OPC≌Rt△OPD(HL).:∠POA=∠POB.∴OP是∠AOB的平分線，

即點P在∠AOB的平分線上.ABCDOP典型例題新知歸納角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上符號語言PAOBCED12∵PD=PE，PD⊥OA

，PE⊥OB，∴∠1=∠2.即點P在∠AOB的平分線OC上.推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個.角平分線性質定理的逆定理：1.如圖，∠C=∠D=90°，添加一個條件，可使用“HL”判定Rt△ABC與Rt△ABD全等，以下給出的條件適合的是(

)A.AC=AD

B.AB=ABC.∠ABC=∠ABD

D.∠BAC=∠BADA練一練2.如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，那么下列各條件中，不能使Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的是(

)A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°BACB'A'C'B練一練1.如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，CE⊥AB于點

E

，AD、CE交于點H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，則

CH的長為(

)A.1B.2C.3D.4ACBDEAH課堂練習2.如圖，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于點E，DE=DC，若AC=6，則AD+DE等于(

)A.7B.6

C.5D.4B課堂練習3.如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為點D，E，BE與CD相交于點O，且OB=OC，有下列結論：①∠1=∠2;②△ADO≌△AEO;③△BOD≌△COE;④圖中有四組三角形全等.其中正確的個數有______個.4課堂練習4.如圖，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE⊥AB，BD=CE.求證：△EBC≌△DCB.ABCED證明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，

∴∠BEC=∠BDC=90°.在Rt△EBC

和Rt△DCB

中，CE=BD，

BC=CB

.

∴Rt△EBC≌Rt△DCB(HL).課堂練習5.如圖，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一條線段PQ＝AB，P、Q兩點分別在線段AC上和過A點且垂直于AC的射線AQ上運動，問P點運動到AC上什么位置時△ABC才能和△APQ全等？本題要分情況討論：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此時AP＝BC＝5cm，可據此求出P點的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此時AP＝AC，P、C重合.課堂練習解：(1)當P運動到AP＝BC時，∵∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC與Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝BC，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；課堂練習解：

(2)當P運動到與C點重合時，AP＝AC.在Rt△ABC與Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝AC，∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm，