16.2線段的垂直平分線第1課時(shí)線段垂直平分線的性質(zhì)定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)進(jìn)行線段垂直平分線的性質(zhì)定理的證明.（重點(diǎn)）3.會(huì)做最短路徑的問題.（難點(diǎn)）2.理解并能靈活運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)解題.（難點(diǎn)）新課導(dǎo)入1.什么叫做線段的垂直平分線？2.線段是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸是什么？垂直且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，簡稱中垂線.線段是軸對稱圖形，對稱軸是它的垂直平分線或者說中垂線.新知探究如圖

，已知線段AB和它的垂直平分線l，O為垂足.在直線l上任取一點(diǎn)P，連接PA，PB.線段PA和線段PB有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請?zhí)岢瞿愕牟孪氩⒄f明理由.ABPOl·PA=PB猜想：

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線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

你能證明它嗎?∵線段AB是軸對稱圖形，中垂線是其對稱軸，∴當(dāng)AB沿對稱軸對折后，點(diǎn)A，B重合.用對稱的知識說明：BAOPl即PA與PB重合.∴PA=PB.新知探究用全等的知識進(jìn)行推理：BAOPl證明：∵l⊥AB（已知），∴∠AOP＝∠BOP＝90°（垂直定義）.在△AOP與△BOP中，∵AO＝BO（已知），∠AOP＝∠BOP（已證），

PO＝PO（公共邊），∴△AOP≌△BOP（SAS），∴PA＝PB（全等三角形對應(yīng)邊相等）.新知探究線段垂直平分線的性質(zhì)定理線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等.ABlP點(diǎn)A、點(diǎn)BPA、PBBAOPl新知探究幾何語言：∵l垂直平分AB，∴PA=PB.用途：推出相等的線段.BAOPl新知探究典型例題例1如圖，古詩描述了一位將軍在觀望烽火之后，從山腳A處出發(fā)，到河邊飲馬，再回到宿營地B處的活動(dòng)過程.那么怎樣選擇飲馬地點(diǎn)，才能使路程最短?1.將河岸抽象為直線l，問題便轉(zhuǎn)化為在直線l上選取一點(diǎn)P，使得線段PA與PB的和最短.分析:2.我們知道兩點(diǎn)之間線段最短，那么想辦法把將不同線的三點(diǎn)轉(zhuǎn)化為同線的三點(diǎn)。利用軸對稱變換將同側(cè)問題轉(zhuǎn)化為異側(cè)問題.新知探究解:如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A'，連接A'B，交直線l于點(diǎn)P，則AP+BP最短.理由如下：∵點(diǎn)A，A'關(guān)于直線l對稱，∴直線l為線段AA'的垂直平分線.∴AP=A'P(線段垂直平分線的性質(zhì)定理).∴AP+BP=A'P+BP=A'B(等量代換).如圖，在直線l上任取一點(diǎn)P'，連接

AP'，BP'，A'P'，則A'P'+BP'≥A'B(兩點(diǎn)之間線段最短)，

即AP'+BP'=A'P'+BP'>A'B=AP+BP.∴AP+BP

最短.新知探究求線段（和）最短問題的實(shí)質(zhì)（1）若A、B兩點(diǎn)在直線兩側(cè)，直接連接A、B兩點(diǎn)，直線段最短；（2）若A、B兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，作其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，化同側(cè)為兩側(cè)，化折線段為一條直線段；（3）最后利用“兩點(diǎn)之間線段最短”加以解決.做一做1.已知：如圖，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，CD上AB于點(diǎn)D，BE⊥AC

于點(diǎn)E.求證：AC=AB.證明：連接BC，如圖所示.∵D為AB的中點(diǎn)，∴AD=BD.又∵CD⊥AB，∴CD垂直平分AB，∴AC=BC.∵E為AC的中點(diǎn)，∴AE=EC.又∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC.∴AB=BC，∴AC=AB.2.如圖，A，B是兩個(gè)蓄水池，都在河流a的同側(cè)，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個(gè)抽水站，將河水送到A，B兩地，問該站建在河邊的什么地方，可使所修的渠道最短？2.連接A'B，交a于點(diǎn)P.作法：1.做點(diǎn)A關(guān)于a的對稱點(diǎn)A'.點(diǎn)P即為抽水站的位置.ABaA'P做一做1.如圖，四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足為E，下列結(jié)論不一定成立的是（）A.AB=ADB.AC平分∠BCDC.AB=BDD.△BEC≌△DECBADCEC課堂練習(xí)2.如圖，AD⊥BC于點(diǎn)D，D為BC的中點(diǎn)，連接AB，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)O，連接OC，若∠AOC=120°，則∠ABC=_____.BADCO60°課堂練習(xí)3.如圖，在△ABC中，AB=AC,D是AB的中點(diǎn)，且DE⊥AB,已知△BCD的周長為12，且AC-BC=2，求AC,BC的長.ABCDE解：∵D是AB的中點(diǎn)，DE⊥AB.∴DE為AB的中垂線.∴AE=BE.∵△BCE的周長為12.∴BC+CE+BE