2026屆廣東省廣州市增城一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．“”是“方程為雙曲線方程”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．如果命題為真命題，為假命題，那么（）A.命題，都是真命題 B.命題，都是假命題C.命題，至少有一個是真命題 D.命題，只有一個是真命題3．在下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A. B.C. D.4．命題“存在，使得”的否定為（）A.存在， B.對任意，C對任意， D.對任意，5．設(shè)集合，集合，當(dāng)有且僅有一個元素時，則r的取值范圍為（）A.或 B.或C.或 D.或6．已知集合，,則（）A. B.C. D.7．已知雙曲線，過點(diǎn)作直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，則能使點(diǎn)P為線段AB中點(diǎn)的直線l的條數(shù)為()A.0 B.1C.2 D.38．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過且垂直于軸的直線與交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，則的離心率為（）A. B.C. D.9．雙曲線的漸近線方程和離心率分別是A. B.C. D.10．已知梯形ABCD中，，，且對角線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作與AB所在直線的平行線l.若AB和CD所在直線的方程分別是與，則直線l與CD所在直線的距離為（）A.1 B.2C.3 D.411．如圖，雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，過作直線與C及其漸近線分別交于Q，P兩點(diǎn)，且Q為的中點(diǎn)．若等腰三角形的底邊的長等于C的半焦距．則C的離心率為（）A. B.C. D.12．設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，且滿足，若，則（）A.2 B.3C.4 D.5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線與橢圓有公共的左、右焦點(diǎn)分別為，，以線段為直徑的圓與雙曲線C及其漸近線在第一象限內(nèi)分別交于M，N兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在另一條漸近線上，則的面積為___________.14．《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學(xué)的古典名題．“今有城墻厚若干尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”題意是：“兩只老鼠從城墻的兩邊相對分別打洞穿墻．大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半……”則小老鼠第三天穿城墻______尺；若城墻厚40尺，則至少在第________天相遇15．在一村莊正西方向處有一臺風(fēng)中心，它正向東北方向移動，移動速度的大小為，距臺風(fēng)中心以內(nèi)的地區(qū)將受到影響，若臺風(fēng)中心的這種移動趨勢不變，則村莊所在地大約有_______小時會受到臺風(fēng)的影響．（參考數(shù)據(jù)：）16．某班名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該班本次測試平均分為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了謳歌中華民族實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程，增進(jìn)學(xué)生對中國共產(chǎn)黨的熱愛，某學(xué)校舉辦了一場黨史競賽活動，共有名學(xué)生參加了此次競賽活動．為了解本次競賽活動的成績，從中抽取了名學(xué)生的得分（得分均為整數(shù)，滿分為分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，所有學(xué)生的得分都不低于分，將這名學(xué)生的得分進(jìn)行分組，第一組，第二組，第三組，第四組（單位：分），得到如下的頻率分布直方圖（1）求圖中的值，估計(jì)此次競賽活動學(xué)生得分的中位數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)此次競賽活動得分的平均值．若對得分不低于平均值的同學(xué)進(jìn)行獎勵，請估計(jì)在參賽的名學(xué)生中有多少名學(xué)生獲獎18．（12分）已知橢圓，離心率為，橢圓上任一點(diǎn)滿足（1）求橢圓的方程；（2）若動直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)總在以為直徑的圓外時，求的取值范圍.19．（12分）已知圓C的圓心C在直線上，且與直線相切于點(diǎn).（1）求圓C的方程；（2）過點(diǎn)的直線與圓C交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為M，直線與直線的交點(diǎn)為N.判斷是否為定值.若是，求出這個定值，若不是，說明理由.20．（12分）已知等差數(shù)列和正項(xiàng)等比數(shù)列滿足（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和21．（12分）如圖，四棱錐中，側(cè)面是邊長為4的正三角形，且與底面垂直，底面是菱形，且，為的中點(diǎn)（1）求證：；（2）求點(diǎn)到平面的距離22．（10分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】先求出方程表示雙曲線時滿足的條件，然后根據(jù)“小推大”原則進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)榉匠虨殡p曲線方程，所以，所以“”是“方程為雙曲線方程”的充要條件.故選：C.2、D【解析】由命題為真命題,可判斷二者至少有一個為真命題，由為假命題，可判斷二者至少有一個為假命題，由此可得答案.【詳解】命題為真命題，說明二者至少有一個為真命題，為假命題,說明二者至少有一個為假命題，綜合上述，可知命題，只有一個是真命題，故選：D3、C【解析】結(jié)合基本不等式的知識對選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，時，為負(fù)數(shù)，A錯誤.對于B選項(xiàng)，，，，但不存在使成立，所以B錯誤.對于C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，C正確.對于D選項(xiàng)，，，，但不存在使成立，所以D錯誤.故選：C4、D【解析】根據(jù)特稱命題否定的方法求解，改變量詞，否定結(jié)論.【詳解】由題意可知命題“存在，使得”的否定為“對任意，”.故選：D.5、B【解析】由已知得集合M表示以點(diǎn)圓心，以2半徑左半圓，與y軸的交點(diǎn)為，集合N表示以點(diǎn)為圓心，以r為半徑的圓，當(dāng)圓C與圓O相外切于點(diǎn)P，有且僅有一個元素時，圓C過點(diǎn)M時，有且有兩個元素，當(dāng)圓C過點(diǎn)N，有且僅有一個元素，由此可求得r的取值范圍.【詳解】解：由得，所以集合M表示以點(diǎn)圓心，以2半徑的左半圓，與y軸的交點(diǎn)為，集合表示以點(diǎn)為圓心，以r為半徑的圓，如下圖所示，當(dāng)圓C與圓O相外切于點(diǎn)P時，有且僅有一個元素時，此時，當(dāng)圓C過點(diǎn)M時，有兩個元素，此時，所以，當(dāng)圓C過點(diǎn)N時，有且僅有一個元素，此時，所以，所以當(dāng)有且僅有一個元素時，則r的取值范圍為或，故選：B.6、A【解析】由已知得，因?yàn)?，所以，故選A7、A【解析】先假設(shè)存在這樣的直線，分斜率存在和斜率不存在設(shè)出直線的方程，當(dāng)斜率k存在時，與雙曲線方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，直線與雙曲線相交于兩個不同點(diǎn)，則，，又根據(jù)是線段的中點(diǎn)，則，由此求出與矛盾，故不存在這樣的直線滿足題意；當(dāng)斜率不存在時，過點(diǎn)的直線不滿足條件，故符合條件的直線不存在.詳解】設(shè)過點(diǎn)的直線方程為或，①當(dāng)斜率存在時有，得(*)當(dāng)直線與雙曲線相交于兩個不同點(diǎn)，則必有：，即又方程(*)的兩個不同的根是兩交點(diǎn)、的橫坐標(biāo)，又為線段的中點(diǎn)，，即，，使但使，因此當(dāng)時，方程①無實(shí)數(shù)解故過點(diǎn)與雙曲線交于兩點(diǎn)、且為線段中點(diǎn)的直線不存在②當(dāng)時，經(jīng)過點(diǎn)的直線不滿足條件.綜上，符合條件的直線不存在故選：A8、B【解析】由題意結(jié)合幾何性質(zhì)可得為等腰三角形，且，所以，求出的長，結(jié)合橢圓的定義可得答案.【詳解】如圖，由題意軸，軸，則又為的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，又，則為等腰三角形，且，所以將代入橢圓方程得，，即所以，則由橢圓的定義可得，即則橢圓的離心率故選：B9、A【解析】先根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得其特征參數(shù)的值，再利用雙曲線漸近線方程公式和離心率定義分別計(jì)算即可.【詳解】雙曲線的，雙曲線的漸近線方程為，離心率為，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的漸近線及離心率，屬于簡單題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解10、B【解析】先求得直線AB和CD之間的距離，再求直線l與CD所在直線的距離即可解決.【詳解】梯形ABCD中，，，且對角線交于點(diǎn)E，則有△與△相似，相似比為，則，點(diǎn)E到CD所在直線的距離為AB和CD所在直線距離的又AB和CD所在直線的距離為，則直線l與CD所在直線的距離為2故選：B11、C【解析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，再根據(jù)雙曲線定義以及勾股定理列方程，解得離心率.【詳解】連接，由為等腰三角形且Q為的中點(diǎn)，得，由知．由雙曲線的定義知，在中，，（負(fù)值舍去）故選：C【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義、雙曲線的離心率，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.12、B【解析】由已知條件可得數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，然后根據(jù)結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求得答案【詳解】在等式中，令，可得，所以數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，因?yàn)椋?，化簡得，，解得或（舍去），故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)，即雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)，即雙曲線的半焦距，再求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)在漸近線上得出的關(guān)系式，從而求得，然后可計(jì)算面積【詳解】由題意橢圓中，即，以線段為直徑的圓的方程為，由，解得（取第一象限交點(diǎn)坐標(biāo)），，雙曲線的不在第一象限的漸近線方程為，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，它在漸近線上，所以，化簡得，又，所以，雙曲線方程為，則得，所以故答案為：14、①.##0.25②.6【解析】由題意知小老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，大老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，即可算出小老鼠第三天穿城墻的厚度，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式，構(gòu)造等式，即可得解.【詳解】由題意知，小老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，前天打洞之和為，∴小老鼠第三天穿城墻的厚度為；大老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，前天打洞之和為，∴兩只老鼠第天打洞穿墻的厚度之和為，且數(shù)列為遞增數(shù)列，而，，又城墻厚40尺，所以這兩只老鼠至少6天相遇.故答案為：；6.15、4【解析】結(jié)合勾股定理求得正確答案.【詳解】如圖，設(shè)村莊為A，開始臺風(fēng)中心的位置為B，臺風(fēng)路徑為直線，因?yàn)辄c(diǎn)A到直線的距離為，∴村莊所在地受到臺風(fēng)影響的時間約為：（小時）.故答案為：本卷包括必考題和選考題兩部分．第17題～第21題為必考題，每個試題考生都必須作答第22題～第23題為選考題，考生根據(jù)要求作答16、【解析】將每個矩形底邊的中點(diǎn)值乘以對應(yīng)矩形的面積，即可得解.【詳解】由頻率分布直方圖可知，該班本次測試平均分為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），中位數(shù)為；（2）得分的平均值為，估計(jì)有260名學(xué)生獲獎.【解析】(1)根據(jù)給定的頻率分布直方圖，利用各小矩形面積和為1計(jì)算得值；再由在中位數(shù)兩側(cè)所對小矩形面積相等即可計(jì)算得解.(2)由頻率分布直方圖求平均數(shù)的方法求出得分平均值即可估計(jì)；再求出不低于平均分的頻率即可估計(jì)獲獎人數(shù).【小問1詳解】由頻率分布直方圖知：，解得，設(shè)此次競賽活動學(xué)生得分的中位數(shù)為，因數(shù)據(jù)落在內(nèi)的頻率為0.4，落在內(nèi)的頻率為0.8，從而可得，由得：，所以，估計(jì)此次競賽活動學(xué)生得分的中位數(shù)為.【小問2詳解】由頻率分布直方圖及(1)知：數(shù)據(jù)落在，，，的頻率分別為，，此次競賽活動學(xué)生得分不低于82的頻率為，則，所以估計(jì)此次競賽活動得分的平均值為，在參賽的名學(xué)生中估計(jì)有260名學(xué)生獲獎.18、（1）（2）或【解析】（1）由已知計(jì)算可得即可得出方程.（2）由已知可得聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算即可得出結(jié)果.【小問1詳解】依題得解得：橢圓的方程為.【小問2詳解】由已知動直線與橢圓相交于、，設(shè)聯(lián)立得：解得：，即：或（*）坐標(biāo)原點(diǎn)總在以為直徑的圓外則：,即將（*）代入此式，解得：，即或或19、（1）（2）【解析】（1）設(shè)過點(diǎn)且與直線垂直的直線為，將代入直線方程，即可求出，再與求交點(diǎn)坐標(biāo)，得到圓心坐標(biāo)，再求出半徑，即可得解；（2）分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)斜率不存在直接求出、的坐標(biāo)，即可求出，當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線為、、，聯(lián)立直線與圓的方程，消元列出韋達(dá)定理，即可表示出的坐標(biāo)，再求出的坐標(biāo)，即可表示出、，即可得解；【小問1詳解】解：設(shè)過點(diǎn)且與直線垂直的直線為，則，解得，即，由，解得，即圓心坐標(biāo)為，所以半徑，所以圓的方程為【小問2詳解】解：當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)過點(diǎn)的直線為，所以，消去得，設(shè)、，則，，所以，所以的中點(diǎn)，由解得，即，所以，，所以；當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，由，解得或，即、，所以，所以又解得，即，所以，所以，綜上可得.20、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)條件列公差與公比方程組，解得結(jié)果，代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可；（2）根據(jù)等比數(shù)列求和公式直接求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，正項(xiàng)等比數(shù)列公比為，因?yàn)椋砸虼?；?）數(shù)列的前n項(xiàng)和【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列通項(xiàng)公式、等比數(shù)列求和公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)取的中點(diǎn)，連接，，，先證明平面，再由平面得，(2)等體積法求解.根據(jù)題目條件，先證明為三棱錐的高，再求出以為頂點(diǎn)，為底面的三棱錐的體積和以為頂點(diǎn)，為底面的三棱錐的體積，根據(jù)，求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】(1)證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，依題意可知，，均為正三角形，∴，又∵，∴平面又平面，∴(2)由(1)可知，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，即為三棱錐的高由題意得，∵為的中點(diǎn)，∴在中，，∴，，∴