情景引入

楊輝是我國(guó)南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家。在他所著的《詳解九章算法》一書中，畫了一張表示二項(xiàng)式展開(kāi)后的系數(shù)構(gòu)成的三角圖形，稱做“開(kāi)方做法本源”，現(xiàn)在簡(jiǎn)稱為“楊輝三角”，它是世界的一大重要研究成果。我們則來(lái)對(duì)“楊輝三角”的規(guī)律進(jìn)行探討和研究。閱讀與思考——楊輝三角1.建立“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)之間的直覺(jué)，并探索其中的規(guī)律，讓學(xué)生感受我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就和數(shù)學(xué)美，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感.2.通過(guò)研究(a+b)n

的展開(kāi)式的規(guī)律，探索楊輝三角與其他數(shù)學(xué)對(duì)象之間的聯(lián)系，培養(yǎng)觀察能力和歸納推理能力.學(xué)習(xí)目標(biāo)新知探究楊輝三角我們首先從一個(gè)二次多項(xiàng)式(a+b)2的展開(kāi)式來(lái)探討.(a+b)2與楊輝三角(a+b)2＝a2+2ab+b2，此代數(shù)式的系數(shù)為：121(a+b)3=到此我們似乎發(fā)現(xiàn)了一些規(guī)律，發(fā)現(xiàn)以下呈三角形的數(shù)列：a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

代數(shù)式的系數(shù)為：14641

此代數(shù)式的系數(shù)為：1331新知探究(a+b)2與楊輝三角新知探究(1)(1+1=2)(1+2+1=4)(1+3+3+1=8)(1+4+6+4+1=16)(1+5+10+10+5+1=32)(1+6+15+20+15+6+1=64)楊輝三角的冪的關(guān)系首先我們把楊輝三角的每一行分別相加，如下：相加得到的數(shù)是1，2，4，8，16，32，64，…剛好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次冪，即楊輝三角第n行中n個(gè)數(shù)之和等于2n-1.新知探究楊輝三角中斜行和水平行之間的關(guān)系①②③④⑤⑥把斜行①中第7行之前的數(shù)字相加得1+1+1+1+1+1+1=6②：1+2+3+4+5=15③：1+3+6+10=20④：1+4+10=15⑤：1+5=6⑥1將上面得到的數(shù)字與第7行中的數(shù)字對(duì)比你有什么發(fā)現(xiàn)？新知?dú)w納

由上面可得：楊輝三角中n行中的第i個(gè)數(shù)是i-1中前n-1個(gè)數(shù)之和，即第n行的數(shù)分別為1、(1)中第n行之前的數(shù)字之和、(2)中第n行之前的數(shù)字之和、(3)中第n行之前的數(shù)字之和、(4)中第n行之前的數(shù)字之和、…、(n-2)中第n行之前的數(shù)字之和、1。楊輝三角中斜行和水平行之間的關(guān)系新知探究(a+b)1=(a+b)2=(a+b)3=(a+b)4=(a+b)5=(a+b)6=1a+1b1a2+2ab+1b21a3+3a2b+3ab2+1b31a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b41a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b51a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b6楊輝三角字母指數(shù)的關(guān)系1各項(xiàng)次數(shù)都等于n，且按照a或b的降冪排列.你能試著寫出第8行嗎？歸納總結(jié)1、每個(gè)數(shù)等于它上方兩數(shù)之和.2、每行數(shù)字左右對(duì)稱，由1開(kāi)始逐漸變大.3、第n行的數(shù)字有n項(xiàng)。4、第n行數(shù)字和為2(n-1)。5、(a+b)n的展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)依次對(duì)應(yīng)楊輝三角的第(n+1)行中的每一項(xiàng)；各項(xiàng)次數(shù)和等于n且按某一字母的降冪排列。典例分析例1

(2018·孝感)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)了如圖所示的三角形，我們稱之為“楊輝三角”．從圖中取一列數(shù)：1，3，6，10，…記a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…那么a4＋a11－2a10＋10的值是_________．－241針對(duì)練習(xí)1.我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”(如圖)就是一例.這個(gè)三角形的構(gòu)造法則為兩腰上的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)均為其上方(左右)兩數(shù)之和事實(shí)上，這個(gè)三角形給出了(a+b)n(n為正整數(shù))的展開(kāi)式中各項(xiàng)(按a的次數(shù)由大到小的順序排列)的系數(shù)規(guī)律.例如:在三角形中，第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)(a+b)2＝a2+2ab+b2展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù);第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3,1恰好對(duì)應(yīng)(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù).針對(duì)練習(xí)(1)根據(jù)上面的規(guī)律，(a+b)4展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)中最大的數(shù)為

.(2)直接寫出25+5×24×(-3)+10×23×(-3)2+10×22×(-3)3+5×2×(ー3)4+(-3)5=

；(3)直接寫出25-5×24+10×23-10×22+5×2-1=

；16-11針對(duì)練習(xí)(4)若(2xー1)2018＝a1x2018+a2x2017+a3x2016+…+a2017

x2+a2018

x+a2019，求a1+a2+a3+…+a2017+a2018的值.1當(dāng)x=0時(shí)，a2019=1，當(dāng)x=1時(shí)，a1+a2+a3+…+a2017+a2018+a2019=1，∴a1+a2+a3+…+a2017+a2018=02.我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新和發(fā)展都位居世界前列，如南宋數(shù)學(xué)家楊輝(約13世紀(jì))所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用下圖所示的三角形解釋二項(xiàng)式(a+b)n的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)，此三角形稱為“楊輝三角”根據(jù)“楊輝三角”,計(jì)算(a+b)20的展開(kāi)式中第三項(xiàng)的系數(shù)為()A.2017B.20