年高考（理科）解析幾何試題的考查研究摘要本文以2010年全國(guó)理科高考卷（19份）為研究對(duì)象，對(duì)每份試卷的解析幾何試題進(jìn)行逐題統(tǒng)計(jì)、歸類分析。闡述2010年全國(guó)各地理科高考解析幾何試題的特點(diǎn)、命題趨勢(shì)、數(shù)學(xué)思維能力考查特點(diǎn)。希望中學(xué)教師重新審視解析幾何內(nèi)容的地位和功能，通過命題研究提高課堂教學(xué)效率。關(guān)鍵詞：命題研究、統(tǒng)計(jì)分析、知識(shí)點(diǎn)與能力考查

前言總所周知，圓錐曲線在高中教材中是選修部分，而且難度系數(shù)一般。然而，在全國(guó)各省高考題中，圓錐曲線乃必考知識(shí)點(diǎn)，而且以各種題型出現(xiàn)，占分比重很大，命題者很容易將任何必修知識(shí)點(diǎn)與之結(jié)合一起考，這樣一個(gè)選修、較為容易的知識(shí)點(diǎn)在高考中能占據(jù)重要一席，考生又該去如何破解？引人深思。一、2010高考（理科）解析幾何試題的總體分布統(tǒng)計(jì)本文以2010年全國(guó)理科高考卷（19份）為研究對(duì)象，對(duì)每份試卷（以下簡(jiǎn)稱試卷）的解析幾何試題進(jìn)行逐題統(tǒng)計(jì)、歸類分析。將試卷分為新課標(biāo)地區(qū)試卷（12份）、非課標(biāo)地區(qū)試卷（6份）、綜合改革試點(diǎn)區(qū)（1份）進(jìn)行逐題研究。包括：所在試卷題號(hào)、考查分值、曲線背景、主觀題設(shè)問特點(diǎn)、整卷考查涉及的解析幾何知識(shí)點(diǎn)、與其它知識(shí)交匯點(diǎn)共六部分進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。見表一：表一：2010年高考解析幾何試題的總體分布情況年份省份試卷題號(hào)考查分值曲線背景主觀題設(shè)問特點(diǎn)涉及知識(shí)點(diǎn)與其它知識(shí)交匯點(diǎn)2010新課標(biāo)地區(qū)試卷（12份）課標(biāo)全國(guó)卷（12）（15）（20）21分雙曲線；圓；橢圓求離心率；求軌跡方程標(biāo)準(zhǔn)方程；切線；橢圓定義；弦長(zhǎng)公式；離心率等差數(shù)列山東（16）（21）16分雙曲線；圓；橢圓求標(biāo)準(zhǔn)方程；證明等式；是否存在的開放設(shè)問離心率；直線方程；點(diǎn)到直線距離；標(biāo)準(zhǔn)方程；斜率；弦長(zhǎng)公式廣東（12）（20）19分雙曲線；圓求軌跡方程；求點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)到直線距離；直線方程；斜率；直線垂直江蘇（文理合一）（6）（8）（9）（18）31分拋物線;雙曲線；圓；橢圓求軌跡；求點(diǎn)坐標(biāo)；證明過定點(diǎn)切線；直線方程；點(diǎn)到直線距離等比數(shù)列天津(5)(13)(20)21分雙曲線；圓；橢圓;拋物線求標(biāo)準(zhǔn)方程；求點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線；漸近線；標(biāo)準(zhǔn)方程；點(diǎn)到直線距離；離心率；直線方程向量數(shù)量積浙江（8）（13）（21）24分雙曲線；橢圓;拋物線；圓；求直線方程；求參數(shù)取值范圍準(zhǔn)線；漸近線；雙曲線定義；點(diǎn)到直線距離；直線方程遼寧（7）（9）（20）22分雙曲線；橢圓;拋物線求離心率；求標(biāo)準(zhǔn)方程準(zhǔn)線；漸近線；斜率；離心率；直線方程；標(biāo)準(zhǔn)方程向量共線福建（2）（7）（17）23分雙曲線；橢圓;拋物線；圓求標(biāo)準(zhǔn)方程；求直線方程；是否存在的開放設(shè)問標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓定義；平行線間的距離；直線方程向量數(shù)量積安徽（5）（7）（19）23分雙曲線；橢圓；圓求標(biāo)準(zhǔn)方程；求直線方程；是否存在的開放設(shè)問標(biāo)準(zhǔn)方程；圓參數(shù)方程；點(diǎn)到直線距離；離心率；直線方程北京（5）（13）（19）24分雙曲線；橢圓；圓求軌跡；求點(diǎn)坐標(biāo)；是否存在的開放設(shè)問圓極坐標(biāo)方程；標(biāo)準(zhǔn)方程；漸近線；離心率；點(diǎn)到直線距離；直線方程湖南（3）（14）（19）23分橢圓;拋物線；圓求軌跡方程（局部曲線）；應(yīng)用題圓極坐標(biāo)方程；直線參數(shù)方程；標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓定義；點(diǎn)到直線距離；平行線間的距離；直線方程等比數(shù)列陜西（8）（20）18分橢圓;拋物線；圓求標(biāo)準(zhǔn)方程；求直線方程；是否存在的開放設(shè)問準(zhǔn)線；切線；斜率；標(biāo)準(zhǔn)方程；直線方程向量的模與數(shù)量積非課標(biāo)地區(qū)試卷（6份）大綱全國(guó)（Ⅰ）（9）（11）（16）（21）27分雙曲線；橢圓；圓；拋物線證明三點(diǎn)共線；求圓方程雙曲線定義；切線；離心率；標(biāo)準(zhǔn)方程；斜率；直線方程向量共線與數(shù)量積大綱全國(guó)（Ⅱ）（12）（15）（21）22分雙曲線；橢圓；圓；拋物線求離心率；證明直線與圓相切橢圓、拋物線定義；切線；離心率；標(biāo)準(zhǔn)方程向量共線重慶（8）（10）（14）（20）27分雙曲線；橢圓；拋物線求標(biāo)準(zhǔn)方程、漸近線；求三角形面積；傾斜角；點(diǎn)到直線距離；圓參數(shù)方程；雙曲線定義；準(zhǔn)線；漸近線；離心率；標(biāo)準(zhǔn)方程；直線方程立體幾何湖北（2）（9）（19）22分橢圓；半圓；拋物線求軌跡方程（局部曲線）；參數(shù)取值范圍；是否存在的開放設(shè)問橢圓、圓的圖像；拋物線定義；切線；標(biāo)準(zhǔn)方程向量數(shù)量積江西（8）（15）（21）21分雙曲線；橢圓；圓；拋物線求離心率；求標(biāo)準(zhǔn)方程弦長(zhǎng)公式；雙曲線定義；離心率；標(biāo)準(zhǔn)方程；直線方程；垂心、重心向量數(shù)量積四川（9）（14）（20）21分雙曲線；橢圓；圓求軌跡方程；判斷曲線是否過定點(diǎn)；開放性設(shè)問橢圓定義；弦長(zhǎng)公式；雙曲線定義；標(biāo)準(zhǔn)方程；直線方程向量數(shù)量積綜合改革試點(diǎn)區(qū)（1份）上海（3）（5）（13）（16）（23）35分雙曲線；橢圓；圓；拋物線求點(diǎn)坐標(biāo)；證明中點(diǎn)問題；求參數(shù)取值范圍拋物線定義；點(diǎn)到直線的距離；漸近線；標(biāo)準(zhǔn)方程；直線參數(shù)方程；斜率向量加法統(tǒng)計(jì)顯示，解析幾何試題的題量有2、3、4、5題，其中考查三題的最多，有12份試卷，占總數(shù)的63%，只有上?？疾?題所占比重最大。所占分值由最少的16分（山東）到最多的35分（上海），將所占分值由小到大列出，發(fā)現(xiàn)分值的眾數(shù)是21分，中位數(shù)是22分，約占總分的15%。每份試卷考查題型的結(jié)構(gòu)幾乎都是由一個(gè)主觀題和幾個(gè)客觀題組成。二、2010高考（理科）解析幾何試題的知識(shí)點(diǎn)分類研究《課標(biāo)》關(guān)于本專題的內(nèi)容主要包括：直線與方程、圓和圓錐曲線．主要涵蓋的知識(shí)點(diǎn)有直線的傾斜角、斜率、方程、兩直線平行或垂直、兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、兩條平行線間的距離.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程、直線與圓的位置關(guān)系、兩圓的位置關(guān)系。圓錐曲線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì).直線與圓錐曲線的位置關(guān)系。方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

表二：11個(gè)具體的常見考查內(nèi)容。知識(shí)點(diǎn)圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程切線圓錐曲線定義弦長(zhǎng)公式離心率漸近線準(zhǔn)線直線方程（含斜率、傾斜角）點(diǎn)到直線距離兩直線的位置極坐標(biāo)參數(shù)方程試卷份數(shù)1661141065191145由表二可見，雖然解析幾何部分的平均分值僅占總分的15%，但涉及的知識(shí)點(diǎn)分布廣、覆蓋全面。涉及的知識(shí)點(diǎn)較多的是直線方程、圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義、點(diǎn)到直線的距離以及離心率等概念。和其他知識(shí)點(diǎn)交匯命題的主要集中在向量的共線與數(shù)量積運(yùn)算。每份試卷至少涉及三種以上的曲線，有8份試卷即將近一半的試卷涵蓋四種曲線，因此對(duì)曲線類型的考查覆蓋面廣，不能說哪種類型的曲線重要或次要。客觀題重點(diǎn)考查的內(nèi)容是：直線方程，圓方程，圓錐曲線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用，離心率、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線和漸近線等簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì).計(jì)算量小，突出對(duì)解析幾何概念和幾何性質(zhì)的理解。主觀題重點(diǎn)考查的內(nèi)容是：圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系.?？嫉念}型有求軌跡、最值、定值、對(duì)稱、參數(shù)范圍、幾何證明、實(shí)際應(yīng)用和探究性問題等.主觀題多數(shù)都位于19題以后即后三題，屬于把關(guān)題性質(zhì)，意在區(qū)分優(yōu)秀生和中等生。設(shè)問方式采取循序漸進(jìn)的多問遞進(jìn)，以求或證明確定性的結(jié)論為主，有7份試卷是開放性的設(shè)問，但解決方法仍然是先假設(shè)問題的存在性，再依據(jù)題意推理或推算結(jié)果是否符合邏輯。主觀題的題干、設(shè)問延續(xù)前幾年的方式，形式穩(wěn)定。只有湖南卷是以應(yīng)用題的形式呈現(xiàn)，考查建模能力和解決實(shí)際問題的能力，是該部分主觀題題面、設(shè)問比較新穎的。三、2010高考（理科）解析幾何試題的能力考查研究《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。其中直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想像、抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程，是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)。對(duì)比試卷對(duì)數(shù)學(xué)思維能力的考查，主要體現(xiàn)如下特點(diǎn)：（一）考查方程（組）的思想及運(yùn)算求解能力統(tǒng)計(jì)顯示，有三份試卷（北京、重慶、江西）的主觀題，不需要將直線代入圓錐曲線方程，轉(zhuǎn)化為二次方程的問題求解，但也需要解方程，且字母運(yùn)算多，往往需要整體消元的思想。有一份試卷（安徽）入手寬，即可用傳統(tǒng)的直線、曲線聯(lián)立，從方程的角度解決，也可利用點(diǎn)在曲線上的思想，用整體運(yùn)算、對(duì)稱運(yùn)算的方法求解。有15份即接近八成的試卷，都需要聯(lián)立直線和曲線方程，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為二次方程的運(yùn)算，而且聯(lián)立后得到的新二次方程均含有參數(shù)，其中有8份試卷含一個(gè)參數(shù)；5份試卷含兩個(gè)參數(shù)；各有一份含三個(gè)（課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷）和四個(gè)參數(shù)（上海卷）。顯然含參數(shù)二次方程的運(yùn)算能力是區(qū)分得分率的最重要的能力。幾乎每份試卷的主觀題都涉及直線方程，方程的求解運(yùn)算。主觀題的題干明顯趨向于考查直線與曲線的位置關(guān)系、函數(shù)方程思想的運(yùn)用、分類討論的思想。對(duì)數(shù)形結(jié)合的思想、圓錐曲線的幾何性質(zhì)考查似乎有所淡化。因此將直線方程代入曲線方程，形成新的二次方程是計(jì)算的基本功，對(duì)參數(shù)的運(yùn)算處理和面對(duì)繁瑣運(yùn)算的毅力是考生非常重要的素質(zhì)。在教學(xué)中，切記不能將教案的計(jì)算結(jié)果直接給出，在課堂上舍得花時(shí)間和學(xué)生同甘共苦計(jì)算、闡述每步計(jì)算的算理、區(qū)分不同參數(shù)的地位作用都是解析幾何教學(xué)的重點(diǎn)。（二）考查歸納類比和演繹證明的能力數(shù)學(xué)問題的新穎和陌生往往會(huì)增加難度，但若能聯(lián)想或轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)，能充分運(yùn)用歸納類比的思想，問題難度就自然降低。例如2010上海理科的解析幾何試題是本年度該板塊最難的考題，涉及字母運(yùn)算參數(shù)最多、要求考生計(jì)算和構(gòu)建能力最強(qiáng)，而且是唯一以解析幾何內(nèi)容作為壓軸題。認(rèn)真研究本題，發(fā)現(xiàn)該題的題源來自圓的知識(shí)。其核心問題是圓的任一條弦與圓心和弦中點(diǎn)連線垂直。問題若設(shè)計(jì)為：?jiǎn)栴}1：已知圓S:（a>0），直線L1：y=交圓S于C、D兩點(diǎn)，交直線L2：y=于E點(diǎn)，若，證明：E是CD的中點(diǎn)。問題2：已知橢圓(a>b>0)，直線L1：y=交圓S于C、D兩點(diǎn)，交直線L2：y=于E點(diǎn)，若，證明：E是CD的中點(diǎn)。問題2就是上海理科高考的第二問。給出問題1就能啟發(fā)學(xué)生對(duì)問題2的類比思維。若分別聯(lián)立兩條直線方程與橢圓方程，就會(huì)出現(xiàn)含四個(gè)參數(shù)的二次方程，運(yùn)算復(fù)雜，若能聯(lián)想到是問題1的遷移，就可轉(zhuǎn)化為：若直線與橢圓相交所成的弦，與過原點(diǎn)的直線的斜率之積為定值，則過原點(diǎn)的直線必過弦的中點(diǎn)，從這個(gè)角度思考就可避免直線方程中參數(shù)的困擾，減少字母運(yùn)算。四、2010高考（理科）解析幾何試題的綜合評(píng)述對(duì)比該專題在前三年全國(guó)高考（理科）試卷的特點(diǎn)，2010年體現(xiàn)的顯著特點(diǎn)是繼承和穩(wěn)定。沒有區(qū)分于前三年的特別出彩的亮點(diǎn)。表三：2007~2009全國(guó)高考（理科）試卷共41份的統(tǒng)計(jì)結(jié)果試卷年份直線方程及斜率圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程直線與橢圓位置關(guān)系直線與雙曲線位置關(guān)系直線與拋物線位置關(guān)系圓的方程幾何性質(zhì)曲線與曲線位置關(guān)系曲線的切線向量及坐標(biāo)運(yùn)算弦長(zhǎng)表示及運(yùn)算動(dòng)點(diǎn)軌跡局部曲線開放性設(shè)問最值或參數(shù)范圍含參二元二次方程200725112432181537842008289441249523573200951310445238452361本專題命題趨勢(shì)依然集中在圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系。前三年集中在直線與橢圓的位置關(guān)系上，2010年考查范圍更廣，對(duì)曲線背景呈現(xiàn)出多樣化的特點(diǎn)，和其它知識(shí)的交匯命制依然集中在向量及坐標(biāo)運(yùn)算上。進(jìn)一步深化能力立意，進(jìn)一步加強(qiáng)解析幾何與平面向量、函數(shù)（包括三角函數(shù)）、方程、不等式、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等相關(guān)知識(shí)的鏈接、滲透與融合，注重在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)試題，注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的整體性.多數(shù)試題在強(qiáng)調(diào)考查通性通法、淡化特殊技巧的同時(shí)，增加了思維量和運(yùn)算量（特別是字母運(yùn)算）的考查.

結(jié)論綜觀2010年全國(guó)各地高考解析幾何試卷，基本上繼承和發(fā)揚(yáng)了“題型、內(nèi)容和難度相對(duì)穩(wěn)定，突出考查數(shù)學(xué)主干知識(shí)，注重通性、通法和適度創(chuàng)新”的特點(diǎn)，命題日趨成熟，多數(shù)題目源于教材又高于教材且綜合運(yùn)用方程、不等式、函數(shù)和平面向量等工具，合理調(diào)控綜合難度，寬覆蓋面、高視點(diǎn)、多層次地考查了解析幾何的基本思想和學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，遵循了“有助于高校選拔人才，有助于中學(xué)實(shí)施素質(zhì)教育”的原則.參考文獻(xiàn)[1]儲(chǔ)瑞年.《2003年數(shù)學(xué)高考