2026屆山西省大學附屬中學數(shù)學高二上期末聯(lián)考模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線與拋物線C：相交于A，B兩點，O為坐標原點，，的斜率分別為，，則（）A. B.C. D.2．已知橢圓：，左、右焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點，若的最大值為5，則的值是A.1 B.C. D.3．已知拋物線的焦點為F，過F作斜率為2的直線l與拋物線交于A，B兩點，若弦的中點到拋物線準線的距離為3，則拋物線的方程為（）A. B.C. D.4．一物體做直線運動，其位移(單位:)與時間(單位:)的關系是，則該物體在時的瞬時速度是A. B.C. D.5．若雙曲線經(jīng)過點，且它的兩條漸近線方程是，則雙曲線的方程是（）A. B.C. D.6．設拋物線C:的焦點為，準線為．是拋物線C上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線（）A.經(jīng)過點 B.經(jīng)過點C.平行于直線 D.垂直于直線7．的展開式中的系數(shù)為，則（）A. B.C. D.8．設a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，若，，依次成公差不為0的等差數(shù)列，則（）A.a，b，c依次成等差數(shù)列 B.，，依次成等差數(shù)列C.，，依次成等比數(shù)列 D.，，依次成等比數(shù)列9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的的值為3，則輸出的的值為（）A.3 B.6C.9 D.1210．某校去年有1100名同學參加高考，從中隨機抽取50名同學總成績進行分析，在這個調(diào)查中，下列敘述錯誤的是A.總體是：1100名同學的總成績 B.個體是：每一名同學C.樣本是：50名同學的總成績 D.樣本容量是：5011．在等差數(shù)列中，，則（）A.9 B.6C.3 D.112．橢圓（）的右頂點是拋物線的焦點，且短軸長為2，則該橢圓方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，在直二面角D－AB－E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中，則點D到平面ACE的距離為________14．已知A，B為x，y正半軸上的動點，且，O為坐標原點，現(xiàn)以為邊長在第一象限做正方形，則的最大值為___________.15．已知函數(shù)是函數(shù)的導函數(shù),,對任意實數(shù)都有,則不等式的解集為___________.16．在學習《曲線與方程》的課堂上，老師給出兩個曲線方程；，老師問同學們：你想到了什么？能得到哪些結(jié)論？下面是四位同學的回答：甲：曲線關于對稱；乙：曲線關于原點對稱；丙：曲線與坐標軸在第一象限圍成的圖形面積；?。呵€與坐標軸在第一象限圍成的圖形面積；四位同學回答正確的有______（選填“甲、乙、丙、丁”）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知直三棱柱中，，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點，D為棱上的一點.（1）證明：；（2）當平面DEF與平面所成的銳二面角的余弦值為時，求點B到平面DFE距離.18．（12分）某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過短期培訓（稱為A類工人），另外750名工人參加過長期培訓（稱為B類工人）.現(xiàn)用分層抽樣方法（按A類，B類分二層）從該工廠的工人中共抽查100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力（生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)）（1）A類工人中和B類工人各抽查多少工人？（2）從A類工人中抽查結(jié)果和從B類工人中的抽查結(jié)果分別如下表1和表2：表1：生產(chǎn)能力分組人數(shù)48x53表2：生產(chǎn)能力分組人數(shù)6y3618①先確定x，y，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖.就生產(chǎn)能力而言，A類工人中個體間的差異程度與B類工人中個體間的差異程度哪個更?。浚ú挥糜嬎?，可通過觀察直方圖直接回答結(jié)論）②分別估計A類工人和B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，并估計該工廠工人和生產(chǎn)能力的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）圖1A類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖圖2B類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖19．（12分）在等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.20．（12分）已知圓C：，直線l：.（1）當a為何值時，直線l與圓C相切；（2）當直線l與圓C相交于A，B兩點，且|AB|=時，求直線l的方程.21．（12分）已知二次曲線的方程：（1）分別求出方程表示橢圓和雙曲線的條件；（2）若雙曲線與直線有公共點且實軸最長，求雙曲線方程；（3）為正整數(shù)，且，是否存在兩條曲線，其交點P與點滿足，若存在，求的值；若不存在，說明理由22．（10分）已知函數(shù)，當時，有極大值3（1）求的值；（2）求函數(shù)的極小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】設，，由消得：，又，由韋達定理代入計算即可得答案.【詳解】設，，由消得：，所以，故.故選：C【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關系，直線的斜率公式，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查了學生的運算求解能力.2、D【解析】由題意可知橢圓是焦點在x軸上的橢圓，利用橢圓定義得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由過橢圓焦點的弦中通徑的長最短，可知當AB垂直于x軸時|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可【詳解】由0＜b＜2可知，焦點在x軸上，∵過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，則|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|當AB垂直x軸時|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此時|AB|＝b2，則5＝8﹣b2，解得b，故選D【點睛】本題考查直線與圓錐曲線的關系，考查了橢圓的定義，考查橢圓的通徑公式，考查計算能力，屬于中檔題3、B【解析】設出直線，并與拋物線聯(lián)立，得到，再根據(jù)拋物線的定義建立等式即可求解.【詳解】因為直線l的方程為，即，由消去y，得，設，則，又因為弦的中點到拋物線的準線的距離為3，所以，而，所以，故，解得，所以拋物線的方程為故選：B.4、A【解析】先對求導，然后將代入導數(shù)式，可得出該物體在時的瞬時速度【詳解】對求導，得，，因此，該物體在時的瞬時速度為，故選A【點睛】本題考查瞬時速度的概念，考查導數(shù)與瞬時變化率之間的關系，考查計算能力，屬于基礎題5、A【解析】根據(jù)雙曲線漸近線方程設出方程，再由其過的點即可求解.【詳解】漸近線方程是，設雙曲線方程為，又因為雙曲線經(jīng)過點，所以有，所以雙曲線方程為，化為標準方程為.故選：A6、A【解析】依據(jù)題意作出焦點在軸上的開口向右的拋物線，根據(jù)垂直平分線的定義和拋物線的定義可知，線段的垂直平分線經(jīng)過點，即可求解.【詳解】如圖所示：因為線段的垂直平分線上的點到的距離相等，又點在拋物線上，根據(jù)定義可知，，所以線段的垂直平分線經(jīng)過點.故選：A.7、B【解析】根據(jù)二項式展開式的通項，先求得x的指數(shù)為1時r的值，再求得a的值.【詳解】由題意得：二項式展開式的通項為：，令，則，故選：B8、B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得，利用正弦定理、余弦定理推導出，從而，，依次成等差數(shù)列.【詳解】解：∵a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，，，依次成公差不為0的等差數(shù)列，∴，根據(jù)正弦定理可得，∴，∴，∴，∴，，依次成等差數(shù)列.故選：B.【點睛】本題考查三個數(shù)成等差數(shù)列或等比數(shù)列的判斷，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)、正弦定理、余弦定理等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，屬于中檔題.9、A【解析】模擬執(zhí)行程序框圖，根據(jù)輸入數(shù)據(jù)，即可求得輸出數(shù)據(jù).【詳解】當時，不滿足，故，即輸出的的值為.故選：.10、B【解析】采用逐一驗證法，根據(jù)總體，個體，樣本的概念，可得結(jié)果.【詳解】據(jù)題意：總體是1100名同學的總成績，故A正確個體是每名同學的總成績，故B錯樣本是50名同學的總成績，故C正確樣本容量是：50，故D正確故選：B【點睛】本題考查總體，個體，樣本的概念，屬基礎題.11、A【解析】直接由等差中項得到結(jié)果.詳解】由得.故選：A.12、A【解析】求得拋物線的焦點從而求得，再結(jié)合題意求得，即可寫出橢圓方程.【詳解】因為拋物線的焦點坐標為，故可得；又短軸長為2，故可得，即；故橢圓方程為：.故選：.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】建立合適空間直角坐標系，分別表示出點的坐標，然后求解出平面的一個法向量，利用公式求解出點到平面的距離.【詳解】以AB的中點O為坐標原點，分別以OE，OB所在的直線為x軸、y軸，過垂直于平面的方向為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系，則，，設平面ACE的法向量，則，即，令，∴故點D到平面ACE的距離.故答案：.14、32【解析】建立平面直角坐標系，設出角度和邊長，表達出點坐標，進而表達出，利用三角函數(shù)換元，求出最大值.【詳解】如圖，過點D作DE⊥x軸于點E，過點C作CF⊥y軸于點F，設，（），則由三角形全等可知，設，，則，則，，則，令，，則，當時，取得最大值，最大值為32故答案為：3215、【解析】令則，∴在R上是減函數(shù)又等價于∴故不等式的解集是答案：點睛：本題考查用構造函數(shù)的方法解不等式，即通過構造合適的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求得不等式的解集，解題時要注意常見的函數(shù)類型，如在本題中由于涉及到，故可從以下兩種情況入手解決：（1）對于，可構造函數(shù)；（2）對于，可構造函數(shù)16、甲、乙、丙、丁【解析】結(jié)合對稱性判斷甲、乙的正確性；通過對比和與坐標軸在第一象限圍成的圖形面積來判斷丙丁的正確性.【詳解】對于甲：交換方程中和的位置得，所以曲線關于對稱，甲回答正確.對于乙：和兩個點都滿足方程，所以曲線關于原點對稱，乙回答正確.對于丙：直線與坐標軸在第一象限圍成的圖形面積為，，，在第一象限，直線與曲線都滿足，，，所以在第一象限，直線的圖象在曲線的圖象上方，所以，丙回答正確.對于?。簣A與坐標軸在第一象限圍成的圖形面積為，在第一象限，曲線與曲線都滿足，，，，所以在第一象限，曲線的圖象在曲線的圖象下方，所以，丁回答正確.故答案為：甲、乙、丙、丁三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得.（2）利用平面DEF與平面所成的銳二面角的余弦值列方程，求得，結(jié)合向量法求得到平面的距離.【小問1詳解】以B為坐標原點，為x軸正方向建立如圖所示的建立空間直角坐標系.設，可得，，，.，.因為，所以.【小問2詳解】，設為平面DEF的法向量，則，即，可取.因為平面的法向量為，所以.由題設，可得，所以.點B到DFE平面距離.18、（1）25,75（2）①5,15，直方圖見解析，B類②123，133.8，131.1【解析】（1）先計算抽樣比為，進而可得各層抽取人數(shù)（2）①類、類工人人數(shù)之比為，按此比例確定兩類工人需抽取的人數(shù)，再算出和即可．畫出頻率分布直方圖，從直方圖可以判斷：類工人中個體間的差異程度更小②取每個小矩形的橫坐標的中點乘以對應矩形的面積相加即得平均數(shù).【詳解】（1）由已知可得：抽樣比，故類工人中應抽取：人，類工人中應抽取：人，（2）①由題意知，得，，得滿足條件的頻率分布直方圖如下所示：從直方圖可以判斷：類工人中個體間的差異程度更?、冢惞と松a(chǎn)能力的平均數(shù)，類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)以及全工廠工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)的估計值分別為123，133.8和131.1【點睛】本題考查等可能事件、相互獨立事件的概率、頻率分布直方圖的理解以及利用頻率分布直方圖求平均數(shù)等知識、考查運算能力19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得數(shù)列的通項公式.（2）令，分和去掉絕對值，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求得.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，∵，，所以，所以，則.【小問2詳解】令，解得，當時，，，當時，.20、（1）；（2）或.【解析】（1）由題設可得圓心為，半徑，根據(jù)直線與圓的相切關系，結(jié)合點線距離公式列方程求參數(shù)a的值即可.（2）根據(jù)圓中弦長、半徑與弦心距的幾何關系列方程求參數(shù)a，即可得直線方程.【小問1詳解】由圓：，可得，其圓心為，半徑，若直線與圓相切，則圓心到直線距離，即，可得：.【小問2詳解】由（1）知：圓心到直線的距離，因為，即，解得：，所以，整理得：，解得：或，則直線為或.21、（1）時，方程表示橢圓，時，方程表示雙曲線；（2）；（3）存在，且或或.【解析】（1）當且僅當分母都為正，且不相等時，方程表示橢圓；當且僅當分母異號時，方程表示雙曲線（2）將直線與曲線聯(lián)立化簡得：，利用雙曲線與直線有公共點，可確定的范圍，從而可求雙曲線的實軸，進而可得雙曲線方程；（3）由（1）知，，是橢圓，，，，是雙曲線，結(jié)合圖象的幾何性質(zhì)，任意兩橢圓之間無公共點，任意兩雙曲線之間無公共點，從而可求【詳解】（1）當且僅當時，方程表示橢圓；當且僅當時，方程表示雙曲線（2）化簡得：△或所以雙曲線的實軸為，當時，雙曲線實軸最長為此時雙曲線方程為（3）由（1）知，，是橢圓，，，，是雙曲線，結(jié)合圖象的幾何性質(zhì)任意兩橢圓之間無公共點，任意兩雙曲線之間無公共點設，，，2，，，6，7，由橢圓與雙曲線定義及；所以所以這樣的，存在，且或或【點睛