第頁高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷A（基礎(chǔ)篇）一．單選題1．過點(diǎn)1,2且與直線2x+y?3=0平行的直線的方程為（

）A．2x?y=0B．2x?y?4=0C．2x+y?4=0D．2x+y?5=0【解題思路】設(shè)出所求的直線方程，再利用待定系數(shù)法求解即得.【解答過程】依題意，設(shè)所求直線方程為2x+y?m=0(m≠3)，因此2×1+2?m=0，解得m=4，所以過點(diǎn)1,2且與直線2x+y?3=0平行的直線的方程為2x+y?4=0.故選：C.2．三棱柱ABC?DEF中，G為棱AD的中點(diǎn)，若BA=a，BC=b，BD=A．?a+b?cB．?1【解題思路】利用空間向量的線性運(yùn)算法則與空間向量基本定理，求解即可.【解答過程】CG故選：D.3．設(shè)a>b>0，若雙曲線C1：x2a2?y2b2A．22B．12C．32【解題思路】由雙曲線的離心率得a,b關(guān)系，再根據(jù)橢圓中a,b,c關(guān)系變形得出橢圓離心率．【解答過程】由題意a2+b2a4．直線l過圓C:x+32+y2=4的圓心，并且與直線A．x+y?2=0B．x?y+2=0C．x+y?3=0D．x?y+3=0【解題思路】求圓心坐標(biāo)，由垂直可得斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式可得.【解答過程】由(x+3)2+y2=4可知圓心為?3,0，又因?yàn)橹本€l與直線x+y+2=0垂直，所以直線l的斜率為k=1，由點(diǎn)斜式得直線l:y?0=x+3，化簡得直線5．已知等比數(shù)列an的公比為?12，前n項(xiàng)和為Sn.若S2m=31，A．3B．4C．5D．7【解題思路】由等比數(shù)列前n項(xiàng)和列出S2m與Sm，兩式相比即可解出答案；或根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)得Sm，S2m?Sm【解答過程】法一：因?yàn)榈缺葦?shù)列an的公比為?12，則S所以S2mSm法二：根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)得Sm，S2m?Sm所以S2m?SmSm6．雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F122,0，點(diǎn)AA．2B．3C．2D．1【解題思路】根據(jù)題意，利用雙曲線的定義把△APF1的周長用△APF的周長來表示，可求△APF【解答過程】如下圖所示：

設(shè)該雙曲線的左焦點(diǎn)為點(diǎn)F，由雙曲線的定義可得PF1=PF+2a，AF=AF1=(2AP當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，△APF1的周長取得最小值，即6+2a=8，解得二、多選題7．下列直線中，與圓x2+yA．x+y=2B．3x+y?4=0C．x+y=22【解題思路】根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系對選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.【解答過程】圓x2+y2=4對于選項(xiàng)A，圓心到直線的距離d=?2對于選項(xiàng)B，圓心到直線的距離d=?4對于選項(xiàng)C，圓心到直線的距離d=?2對于選項(xiàng)D，圓心到直線的距離d=88．已知橢圓Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0的左,右焦點(diǎn)分別為F1,FA．橢圓Γ的離心率的取值范圍是2B．當(dāng)橢圓Γ的離心率為32時(shí)，QFC．存在點(diǎn)Q使∠D．1QF【解題思路】根據(jù)點(diǎn)P1,1在橢圓Γ外,求出b的取值范圍,即可求出離心率的取值范圍,從而判斷A;根據(jù)離心率求出c,則QF1∈a?c,a+c,即可判斷B;設(shè)上頂點(diǎn)A【解答過程】由題意得a=3,又點(diǎn)P1,1在橢圓Γ外,則13所以橢圓Γ的離心率e=ca=3?b當(dāng)e=32時(shí),c=32,所以QF設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為A0,b,F1?c,0,F2c,0,由于A因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓Γ上,所以QF1=33+所以1QF1三、填空題9．已知an為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，若S4=4S2【解題思路】利用等差數(shù)列基本量，列方程組，即可求解.【解答過程】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，由已知得4a1+4×32d=4×故答案為：2n?1.10．如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1中，E?F分別為BC,CD中點(diǎn)，【解題思路】利用坐標(biāo)法，根據(jù)點(diǎn)到平面的距離向量求法即得.【解答過程】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B1所以C1B1=2,0,0則m?C1E=x?2z=0m?EF=?x?y=0，令z=1故答案為：43四．解答題11.已知空間三點(diǎn)A(?1,0,2),B(0,1,2),C(?3,0,4)，設(shè)AB=(1)求a與b的夾角θ的余弦值；(2)若向量ka+b與a【解題思路】(1)先求出向量a,(2)利用向量垂直的充要條件列出方程，解方程求出k的值.【解答過程】（1）因?yàn)閍=AB=OB?OA=(1,1,0)，b=AC=(?2,0,2)，所以空間向量的夾角公式，可得（2）由（1）可知a=(1,1,0)，b因?yàn)橄蛄縦a+b與a所以ka2?kb2+(1?k12．已知an是等差數(shù)列，bn是公比大于0的等比數(shù)列，bn的前n項(xiàng)和為Sn，且a3+a(1)求an和b(2)求數(shù)列an?bn的前【解題思路】（1）由bn是公比大于0的等比數(shù)列及b1=1，b3=b2+2求出公比，由等差數(shù)列下標(biāo)和定理結(jié)合（2）利用分組求和，結(jié)合等差等比前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可．【解答過程】（1）設(shè)an的公差為d，bn的公比為∵b3=b2+2，b1=1∵q>0，∴q=2，∴bn∵a3+a∵a∴d=1，∴an=a4+（2）由（1）得，T=1+2+3+???+n?∴Tn13．已知圓C的半徑為2，圓心在射線y=x(x≥0)上，直線3x+4y+3=0與圓C相切．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求直線l：2x?y+1=0與圓C相交的弦長．【解題思路】（1）根據(jù)直線與圓相切，應(yīng)用點(diǎn)線距離公式求圓心坐標(biāo)，寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）根據(jù)相交弦、弦心距、半徑之間的幾何關(guān)系求弦長即可.【解答過程】（1）由題意可設(shè)：圓心為Ca,a由圓C與3x+4y+3=0相切，有|7a+3|5=2，即可得a=1或所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?1)2（2）由（1）可知：C(1,1)，r=2，則C到直線l:2x?y+1=0的距離為d=2所以直線l與圓C相交的弦長為2r14．四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=CD=1，AB=BC=2，PC=3，AB//

(1)求證：BC⊥平面PAB；(2)求二面角A?PD?C的余弦值．【解題思路】（1）由線面垂直的性質(zhì)得到PA⊥BC、PA⊥AC，從而得到AB⊥BC，即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【解答過程】（1）連接AC，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BC,AC?平面ABCD，所以PA⊥BC、PA⊥AC，又PA=1，AB=BC=2，PC=3，所以AC=32?12=22，所以AB2所以BC⊥平面PAB.（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A2,0,0，C0,2,0，D1,2,0所以AP=0,0,1，DP=設(shè)平面APD的法向量為n=x,y,z，則AP?n=z=0設(shè)平面PDC的法向量為m=a,b,c，則DC?m=?a=0設(shè)二面角A?PD?C為θ，由圖可得二面角為鈍二面角，所以cosθ=?n?mn15.已知橢圓M：x2a2+y2b2=1a>b>0，點(diǎn)F1?1,0、C?2,0分別是橢圓M

(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若A0,3，求(3)是否存在直線l，使得點(diǎn)B在以線段AC為直徑的圓上，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．【解題思路】（1）根據(jù)題意可得c=1,b=3，進(jìn)而可求a（2）可根據(jù)直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組解出交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，求三角形面積．△AOB的面積可分割成兩個(gè)小三角形，其底皆為OF（3）存在性問題，一般從計(jì)算出發(fā)，即垂直關(guān)系結(jié)合橢圓方程交點(diǎn)求出B點(diǎn)坐標(biāo)：xB=?2或【解答過程】（1）由左焦點(diǎn)F1(?1,0)、左頂點(diǎn)C(?2,0)可知：c=1,a=2，則所以橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）因?yàn)锳(0,3)，F(xiàn)1?1,0，則過A,F1的直線解方程組3x?y+3=0x2所以△AOB的面積S△AOB（3）若點(diǎn)B在以線段AC為直徑的圓上，等價(jià)于AB⊥BC，即BF設(shè)B(x0,因?yàn)镃(?2,0),F1(?1,0)令BF1?BC=?1?x0?2?又因?yàn)?2<x0<2，則不存在點(diǎn)B所以不存在直線l，點(diǎn)B在以線段AC為直徑的圓上.高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷B（基礎(chǔ)卷）單選題：1．直線恒過定點(diǎn)（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】由時(shí)，可得到定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】當(dāng)，即時(shí)，，直線恒過定點(diǎn).故選：B.2．已知兩點(diǎn)到直線的距離相等，則（

）A．2 B． C．2或 D．2或【答案】D【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閮牲c(diǎn)到直線的距離相等，所以有，或，故選：D3．如圖，在正四棱柱中，是底面的中心，分別是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．//B．C．//平面D．平面【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明，逐項(xiàng)分析、判斷作答.【詳解】在正四棱柱中，以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，是底面的中心，分別是的中點(diǎn)，則，，，對于A，顯然與不共線，即與不平行，A不正確；對于B，因，則，即，B正確；對于C，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，因此與不垂直，即不平行于平面，C不正確；對于D，由選項(xiàng)C知，與不共線，即不垂直于平面，D不正確.故選：B4．已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為，則的最大值為（

）A．3 B．5 C． D．13【答案】B【分析】由，結(jié)合圖形即得.【詳解】因?yàn)闄E圓，所以，，則橢圓的右焦點(diǎn)為，由橢圓的定義得：，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)處，取等號，所以的最大值為5，故選：B.5．已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且橢圓截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長為6，那么該橢圓的離心率為A．2 B． C． D．【答案】D【分析】先求出拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線，再根據(jù)橢圓的通徑公式求出a、c，算出離心率.【詳解】易知拋物線的焦點(diǎn)（2，0），準(zhǔn)線x=-2，即橢圓的c=2，因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線恰好過橢圓的焦點(diǎn)，即相交的線段為橢圓的通徑；即通徑為，又因?yàn)閏=2，解得a=4所以離心率故選D.6．已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】本題通過利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．【詳解】由題，，則，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立）．故選：C．多選題：7.已知方程表示曲線，則（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線一定是橢圓B．當(dāng)或時(shí)，曲線一定是雙曲線C．若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則D．若曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則【答案】BD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，一一判斷即可.【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，曲線是圓，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，故B正確；對于C，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，故C錯(cuò)誤；對于D，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，解得，故D正確．故選BD．8．已知拋物線，其焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，PQ是過焦點(diǎn)F的一條弦，點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為2B．焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程C．的最小值是3D．以弦PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切【答案】ACD【分析】對A：由拋物線方程及焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為即可求解；對B：由拋物線方程即可求解；對C：利用拋物線的定義，將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，從而即可求解；對D：利用拋物線的定義，及圓心到直線的距離等于圓的半徑則直線與圓相切，從而即可求解.【詳解】解：對B：由拋物線，可得，準(zhǔn)線

，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對A：由拋物線，可得，即，所以焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為，故選項(xiàng)A正確；對C：過點(diǎn)P作，垂足為，由拋物線的定義可得，所以（為點(diǎn)到準(zhǔn)線l的距離），當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)等號成立，所以的最小值是3，故選項(xiàng)C正確；對D：過點(diǎn)P、Q分別作，，垂足分別為、，設(shè)弦PQ的中點(diǎn)為M，則弦PQ為直徑的圓的圓心為M，過點(diǎn)M作，垂足為，則為直角梯形的中位線，，又根據(jù)拋物線的定義有，，所以，所以以弦PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD.三、填空題：9．已知圓和圓，垂直平分兩圓的公共弦的直線的一般式方程為___________.【答案】【分析】若要垂直平分兩圓的公共弦，則該直線必過兩圓圓心，求得兩圓圓心即可得解.【詳解】圓和圓的圓心分別為：和，垂直平分兩圓的公共弦的直線必過兩圓圓心，所以直線方程為，整理可得：.故答案為：.10．已知圓與圓外切，此時(shí)直線被圓所截的弦長_________．【答案】【分析】將圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)兩圓外切，可得圓心距離為半徑之和，可得，接著計(jì)算到直線的距離，最后根據(jù)圓的弦長公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，，即且由兩圓向外切可知，解得所以到直線的距離為，設(shè)圓的半徑為則直線被圓所截的弦長為故答案為：四、解答題：11.已知橢圓，左右焦點(diǎn)分別為，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．(1)求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率；(2)求的面積．【答案】(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)為；離心率為；(2)【分析】（1）由橢圓的定義及性質(zhì)可以得出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率，（2）先計(jì)算點(diǎn)到的距離，再利用公式求出線段的長，最后用面積公式計(jì)算解決問題.【詳解】（1）橢圓知，該橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)焦距為，由，所以，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為離心率為：（2）由直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)則消去得，，所以又到的距離為所以的面積為：12．已知定點(diǎn)，動點(diǎn)到點(diǎn)F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1．(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程；(2)過的直線，分別與點(diǎn)P的軌跡相交于點(diǎn)M，N（均異于點(diǎn)Q），記直線，的斜率分別為，，若，求證：直線MN的斜率為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）利用兩點(diǎn)距離公式可得，整理即可得軌跡方程.（2）根據(jù)題設(shè)令、，為，為，聯(lián)立拋物線方程求的坐標(biāo)，再應(yīng)用兩點(diǎn)式求即可證結(jié)論.【詳解】(1)由題設(shè)，，則，又，∴，故動點(diǎn)P的軌跡方程為.(2)由題設(shè)，令為，為，聯(lián)立拋物線，可得：，若，，∴，則，同理可得，則，∴，為定值.13．過圓外一點(diǎn)P（4，2）向圓引切線．(1)求過點(diǎn)P的圓的切線方程；(2)若過點(diǎn)P的直線截圓所得的弦長為，求該直線的方程；(3)若過P點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，求過切點(diǎn)、的直線方程．【答案】(1)x＝4或；(2)y＝2或；(3)【分析】（1）分不存在和存在兩種情況討論，利用圓心到直線距離等于半徑，求解即可；（2）由弦長可得，圓心到直線距離等于，結(jié)合圓心到直線距離公式，可得解；（3）由題意四點(diǎn)共圓，且PO為直徑，寫出圓的方程，過切點(diǎn)、的直線即為圓與圓的交線，求解即可.【詳解】（1）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)P（4，2）的直線為x＝4，圓心到直線距離等于半徑，故x＝4為切線；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即．由，即解得：，此時(shí)切線方程為．∴過點(diǎn)P的圓的切線方程為x＝4或；（2）由（1）知，所求切線斜率存在，設(shè)直線方程為．∵r＝4，且弦長為，∴圓心到直線的距離，即解得k＝0或．∴所求直線方程為y＝2或；（3）由題意，故四點(diǎn)共圓，且PO為直徑∵P（4，2），∴以PO為直徑的圓圓心為，半徑，故圓的方程為，由于也在圓上，故過切點(diǎn)、的直線為圓與圓的公共弦兩圓方程作差可得過、的直線方程為．14．如圖，在四棱錐中，底面是邊長