專題03解三角形及其應(yīng)用目錄01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識體系。02盤·基礎(chǔ)知識：甄選核心知識逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分?！局芙庾x01】余弦定理【知能解讀02】正弦定理【知能解讀03】三角形的面積公式【知能解讀04】測量距離問題【知能解讀05】測量高度問題【知能解讀06】解三角形的實(shí)際應(yīng)用03破·重點(diǎn)難點(diǎn)：突破重難點(diǎn)，沖刺高分。【重難點(diǎn)突破01】正弦定理邊角互化的應(yīng)用【重難點(diǎn)突破02】三角形面積公式及其應(yīng)用【重難點(diǎn)突破03】余弦定理邊角互化的應(yīng)用【重難點(diǎn)突破04】正、余弦定理判定三角形形狀【重難點(diǎn)突破05】證明三角形中的恒等式或不等式【重難點(diǎn)突破06】求三角形中的邊長或周長的最值或范圍【重難點(diǎn)突破07】正余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用04辨·易混易錯(cuò)：辨析易混易錯(cuò)知識點(diǎn)，夯實(shí)基礎(chǔ)?！疽谆煲族e(cuò)01】正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)忽略大角對大邊【易混易錯(cuò)02】求三角形面積的最值或范圍時(shí)條件轉(zhuǎn)換不清05點(diǎn)·方法技巧：點(diǎn)撥解題方法，練一題通一類【方法技巧01】余弦定理解三角形【方法技巧02】正弦定理求外接圓半徑【方法技巧03】幾何圖形中的計(jì)算【方法技巧04】距離測量【方法技巧05】高度測量01余弦定理文字語言三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍符號語言推論與變形(1)求；【知識點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形02正弦定理文字語言在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等符號語言常見變形1.正弦定理中,各邊與其對角的正弦嚴(yán)格對應(yīng),體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的對稱美2.正弦定理是直角三角形對角關(guān)系的一個(gè)推廣,正弦定理對任意三角形都成立,它的主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化.A． B． C．1 D．2【答案】D【知識點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用【分析】用射影定理即可化簡求值.故選：D03三角形的面積公式三角形面積公式的其他形式2．?dāng)?shù)量積形式的三角形面積公式：3．坐標(biāo)形式的三角形面積公式：(1)求；【知識點(diǎn)】二倍角的余弦公式、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形【分析】(1)根據(jù)余弦的二倍角公式化簡即可；(2)根據(jù)面積公式結(jié)合余弦定理求解即可.(1)求；【知識點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形【分析】（1）利用正弦定理將邊化為角，再通過三角函數(shù)的運(yùn)算求出角；（2）先根據(jù)正弦定理求出的值，再利用余弦定理求出的值，最后根據(jù)三角形面積公式求解.04測量距離問題問題圖形可測元素解法解決求距離(長度)問題的思路1.求距離(長度)時(shí),應(yīng)設(shè)法將已知量與未知量集中在一個(gè)三角形中,用正弦定理或余弦定理求解.2.若實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后,涉及的三角形只有一個(gè),則常需連續(xù)使用正弦定理或余弦定理求解,涉及兩個(gè)或多個(gè)三角形,需按一定順序逐步在幾個(gè)三角形中求解.05測量高度問題問題圖形可測元素解法測量的高度(底部點(diǎn)可到達(dá))測量的高度(底部點(diǎn)不可到達(dá))測量高度問題的解題技法測量高度問題一般涉及方向角、仰角、俯角等,在畫圖時(shí),要注意運(yùn)用空間想象能力.解題時(shí)要盡可能地尋找直角三角形，利用直角三角形中的特殊關(guān)系解決問題,避免復(fù)雜的運(yùn)算A．268米 B．265米 C．266米 D．267米【答案】C【知識點(diǎn)】高度測量問題【詳解】故選：C.06解三角形的實(shí)際應(yīng)用名稱意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線eq\a\vs4\al(上)方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線eq\a\vs4\al(下)方的叫做俯角方位角從某點(diǎn)的指eq\a\vs4\al(北)方向線起按順時(shí)針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角，方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的eq\a\vs4\al(銳)角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：（1）方位角和方向角本質(zhì)上是一樣的，方向角是方位角的一種表達(dá)形式，是同一問題中對角的不同描述．（2）將三角形的解還原為實(shí)際問題時(shí)，要注意實(shí)際問題中的單位、近似值要求，同時(shí)還要注意所求的結(jié)果是否符合實(shí)際情況．01正弦定理邊角互化的應(yīng)用正弦定理邊角互化的應(yīng)用解題技巧3．練題型，勤總結(jié)：做邊角互化專項(xiàng)題，從基礎(chǔ)求角、邊，到綜合（銳角三角形取值、角平分線），錯(cuò)題歸類找原因（定理用錯(cuò)、公式不熟），歸納＂何時(shí)化、咋處理＂，快速吃透技巧。(1)求；【答案】(1)【分析】（1）利用正弦定理邊化角，利用兩角和的正弦公式和三角形內(nèi)角和公式求解；（2）利用面積方法和三角形的面積公式計(jì)算.(1)求角的大小；02三角形面積公式及其應(yīng)用A．6 B．8 C．24 D．48【答案】C【分析】先根據(jù)余弦定理求出邊的長度，再利用三角形面積公式求出三角形面積即可.故選：C.(1)求；(2)2設(shè)邊上的高，(1)求c的值；【答案】(1)6(2)答案見解析【分析】（1）由平方關(guān)系、正弦定理即可求解；03余弦定理邊角互化的應(yīng)用(1)求B；【答案】(1)(1)求；【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和的正弦公式結(jié)合正弦定理、余弦定理，即可證明結(jié)論.（2）根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式可得角的最大值，即可求出三角形面積.【答案】(1)證明見解析

04正、余弦定理判定三角形形狀A(yù)．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．不確定的【答案】A故選：A【答案】(1)證明見解析；(1)求；(2)證明見解析05證明三角形中的恒等式或不等式【答案】1故答案為：1(2)證明見解析.(1)求；【答案】(1)；(2)證明見解析.06求三角形中的邊長或周長的最值或范圍求三角形邊長或周長的最值／范圍，先借正、余弦定理邊角互化，將條件轉(zhuǎn)化為邊或角的關(guān)系。若求面積，結(jié)合已知邊與角公式計(jì)算；求邊的比值范圍，利用定理化角為邊（或反之），結(jié)合角的范圍（如鈍角、銳角限制），用三角恒等變換、函數(shù)單調(diào)性（如正弦函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的取值）推導(dǎo)，確定邊長、周長的最值或范圍。(2)若角為鈍角，求的取值范圍．【答案】(1)(1)求；【答案】(1)【分析】（1）利用給定條件結(jié)合余弦定理求解角度即可.（2）利用正弦定理邊化角，再結(jié)合三角形周長公式將目標(biāo)式用三角函數(shù)表示，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解取值范圍即可.(1)求角；【分析】（1）運(yùn)用正弦定理邊角互化，結(jié)合三角恒等計(jì)算；（2）運(yùn)用正弦定理，結(jié)合三角函數(shù)計(jì)算值域即可.07正余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用正、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用需融合正、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)。先利用正、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，把邊化為角或角化為邊，簡化條件。再結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性、值域等性質(zhì)，處理外接圓半徑、周長、面積的取值范圍問題。比如求范圍時(shí)，將邊用角表示，依據(jù)銳角三角形等角的限制，確定角的區(qū)間，進(jìn)而推導(dǎo)所求量的范圍，實(shí)現(xiàn)定理與函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用?！敬鸢浮?1)(1)求角的大小；【答案】(1)(1)求角的大??；【答案】(1)01正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)忽略大角對大邊正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)【答案】C【分析】對于AD：根據(jù)三角形的性質(zhì)直接判斷即可；對于BC：利用正弦定理的結(jié)論直接判斷即可.故選：C.【答案】D【分析】根據(jù)正弦定理逐一判斷各選項(xiàng)即可.故選：D【答案】(1)2由題意得，該方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，02求三角形面積的最值或范圍時(shí)條件轉(zhuǎn)換不清解題技巧(1)求；(2)【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理結(jié)合兩角和差的正弦公式化簡即可得解；

(1)求A；(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，結(jié)合余弦定理即可求解，方法1余弦定理解三角形解題技巧總結(jié)：【答案】A故選：A(1)證明：為中點(diǎn)；【答案】(1)證明見解析(2)故為中點(diǎn).（2）如圖：(1)求A的值；(2)求c的值；【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理化邊為角再化簡可求；（2）由余弦定理，結(jié)合（1）結(jié)論與已知代入可得關(guān)于的方程，求解可得，進(jìn)而求得；方法2正弦定理求外接圓半徑正弦定理求外接圓半徑及相關(guān)幾何計(jì)算解題技巧總結(jié)這類問題涉及三角形外接圓半徑及圓錐等幾何形體與外接球結(jié)合的計(jì)算，核心依托正弦定理、幾何圖形性質(zhì)（如圓錐軸截面、三角形邊角關(guān)系），技巧如下：2．條件整合與轉(zhuǎn)化：－遇幾何形體（如例題2圓錐與外接球），先分析軸截面、外接球的幾何特征（如圓錐軸截面為正三角形時(shí)，母線、底面半徑、高的關(guān)系），再結(jié)合外接球半徑公式（或幾何關(guān)系）列方程?！敬鸢浮緼故選：A.【典例2】（2025·江蘇宿遷·二模）已知圓錐的軸截面為正三角形，外接球的半徑為，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析可知，外接球半徑即為軸截面等邊三角形的外接圓半徑，利用正弦定理求出圓錐的底面半徑為，進(jìn)而求出圓錐的高，再利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，由于圓錐軸截面為等邊三角形，則外接球半徑即為軸截面等邊三角形的外接圓半徑，故選：A.【答案】BCD【分析】對于A：利用余弦定理邊角轉(zhuǎn)化即可；對于B：利用正弦定理求三角形外接圓半徑，即可得結(jié)果；對于CD：根據(jù)選項(xiàng)A中結(jié)論，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.故選：BCD.(1)求；【答案】(1)(2)9方法3幾何圖形中的計(jì)算核心要點(diǎn)：1．定理靈活切換：根據(jù)已知條件結(jié)構(gòu)（邊、角數(shù)量及關(guān)系），靈活選正弦、余弦定理，優(yōu)先將＂角＂轉(zhuǎn)化為＂邊＂（或反之），簡化計(jì)算?！敬鸢浮緿故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解三角形的余弦定理，二次函數(shù)的最值，三角形的面積公式，關(guān)鍵在于表示的長，求得何時(shí)取得最小值，屬于中檔題.(2)(1)求；

方法4距離測量距離測量問題解題技巧距離測量問題常依托三角形（一般三角形、直角三角形），運(yùn)用正弦定理、余弦定理求解，核心思路是：1．定三角形與已知量：識別觀測點(diǎn)、目標(biāo)點(diǎn)構(gòu)成的三角形，梳理已知角（如仰角、方位角、內(nèi)角）和邊（觀測點(diǎn)間距等）。2．選定理列方程：3．分步推導(dǎo)：若直接關(guān)聯(lián)目標(biāo)邊的三角形條件不足，先在其他三角形（如拆分的小三角形）中求過渡邊／角，再代入目標(biāo)三角形計(jì)算?！敬鸢浮緾故選：C

【答案】C故選：C.【典例3】（2425高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖所示，已知船在燈塔北偏東的方向，且，間的距離為2km，船在燈塔北偏西的方向，且，兩船間的距離為3km，則，間的距離為km.【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)應(yīng)用余弦定理計(jì)算求解即可.方法5高度測量高度測量問題解題方法總結(jié)1．核心原理：利用三角函數(shù)（仰角、俯角）結(jié)合幾何圖形（直角三角形、矩形等），將高度與水平距離關(guān)聯(lián)，通過觀測點(diǎn)位置關(guān)系列方程求解。2．通用步驟：構(gòu)建直角三角形：利用建筑高度與水平面