專題01平面向量及其應(yīng)用題型1平面向量的線性運(yùn)算1平面向量的運(yùn)算符合平行四邊形法則和三角形法則；2平面向量的線性運(yùn)算，用基底表示任一向量，方法有：首位相接法、構(gòu)造平行四邊形等，同時(shí)注意方法的綜合運(yùn)用；3在運(yùn)算過程中，靈活運(yùn)用一些小結(jié)論，比如三角形的中線；4掌握平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示，利用建系的方法也可以?！咀⒁狻吭谄叫邢蛄康木€性運(yùn)算的應(yīng)用中，用到基本定理，要注意基底的選擇。1（2024·河北·模擬預(yù)測）在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)F，則AF=（

A．34AB+14AD B．12（2025·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）如圖所示，在矩形ABCD中，E為邊BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊CD上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)，G為EF的中點(diǎn)，記AG=λAB+μAD，則A．1712 B．1312 C．7123（2025·甘肅甘南·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，BM=2MC,N為線段AM上一點(diǎn)，且AN=(1-λ)ABA．34 B．25 C．56題型2平面向量的共線定理1兩個(gè)向量共線共線定理非零向量a與向量b共線?有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b當(dāng)λ>0時(shí),λa的方向與a當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a當(dāng)λ=0時(shí)，λa2設(shè)a=(x11（2023·北京海淀·二模）已知a、b是平面內(nèi)兩個(gè)非零向量，那么“a∥b”是“存在λ≠0，使得|A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2（2324高一下·廣東江門·階段練習(xí)）設(shè)a,b是非零向量，則aa=bA．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件3（2025·山東·模擬預(yù)測）已知平面向量a=-2,3，b=1,2，AB=a-3b，BC=λa+A．-23 B．-13 C．4（2025·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知0<θ<π，向量a=sinθ,2cos2θ2，題型3平面向量的垂直問題1若a⊥b，則2若

a(x13在平面幾何中的垂直問題，可用平面向量處理。1（2025·甘肅白銀·三模）已知角α是銳角，若a=5sinα+2,1，b=sinα,-3A．2425 B．247 C．12252（2025·浙江·二模）已知向量a=2,1，b=2,-1，則m=λa+b，A．存在唯一的實(shí)數(shù)對λ,μ，使得m//n B．存在唯一的實(shí)數(shù)對λ,μC．存在唯一的實(shí)數(shù)對λ,μ，使得m=n D．存在唯一的實(shí)數(shù)對λ,μ3（2025·河北邯鄲·模擬預(yù)測）已知向量a=2,1，b=1,-2，若A．μ-λ=0 B．μ+λ=0 C．λμ+5=0 D．λμ-5=04（2425高三上·遼寧鞍山·期末）已知向量a=m+2,1,b=1,-3，若A．2 B．1 C．-1 D．-35（2025·江西新余·模擬預(yù)測）已知非零向量a,b滿足2a→=A．cosa→,b→=32166（2025·浙江·二模）已知函數(shù)fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分圖象如圖所示，y=fx的圖象與y軸交于點(diǎn)C，A．4 B．25 C．10 D．題型4求平面向量的投影1向量b在向量a上的投影：|b|cosθ，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于2向量b在向量a上的投影公式：a?3求投影或其坐標(biāo)，多結(jié)合圖形去思考?！咀⒁狻孔⒁馔队昂屯队跋蛄康膮^(qū)別，投影是個(gè)數(shù)，投影向量是個(gè)向量。1（2025·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知a+b=a-b，則A．b B．-b C．a(chǎn) D．2（2025·湖南·模擬預(yù)測）在平行四邊形PQRS中，若PQPQ+PSPS=3PRA．12PQ B．PS C．323（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知向量a=3,m，b=2,-3，若a⊥b，則A．5,-1 B．3,2 C．52,-15（2025·遼寧大連·模擬預(yù)測）已知向量a，b滿足|a|=1，b=(1,2)，|a-b|=A．110,15 B．15,6（2025·海南·模擬預(yù)測）已知平面向量a，b滿足|a|=3,|b|≤2，且|3a題型5求平面向量的數(shù)量積1如果兩個(gè)非零向量

a,b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量a|b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)2設(shè)a=(x3求平面向量的數(shù)量積，主要有定義法(利用a?b=a|【注意】求數(shù)量積時(shí)，要注意的解題方法的選擇。1（2025·廣東佛山·三模）如圖，已知矩形ABCD的邊長滿足AB=2AD=4，以A為圓心的圓與BD相切于P，則AP?AC＝A．325 B．C．8 D．42（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測）在△ABC中，BD=2DC，AB+AD=AB-A．2 B．22 C．3 D．3（2025高三·全國·專題練習(xí)）在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，P為平面ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，則PA?PC-A．2 B．0 C．-2 D．44（2025·浙江·三模）已知A，B，C是函數(shù)fx=2-log3x圖象上的三點(diǎn)，A在x軸上，且BC//x軸，若A．0 B．－1 C．－107 D．82題型6平面向量的夾角問題1由數(shù)量積的定義可知cos<a2設(shè)a=(x13求夾角要清楚求的是哪兩個(gè)向量的夾角。1（2023·四川內(nèi)江·一模）設(shè)x∈R，向量a=(x,1)，b=(1,-2)，且a⊥bA．210 B．22 C．5102（2025·江西南昌·模擬預(yù)測）已知平面向量a，b滿足a=b=3，且a在b上的投影向量為-32b，則向量A．π3 B．2π3 C．33（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知非零向量a,b滿足a-b⊥A．33 B．22 C．134（2025·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）在△AOB中，記OA=a、OB=b，向量a、b滿足a=3，b=2，A．352 B．353 C．1555（2025·河南·三模）在△ABC中，向量AB=x,1，BC=-3,2-x，若∠ABC為銳角，則實(shí)數(shù)A．12,3∪C．12,+∞題型7平面向量的最值問題1平面向量的最值是多樣的，最常見的是求數(shù)量積的最值，方法有（1）定義法(利用a?b=（2）基底法（定義法不好使時(shí)，而題中有兩個(gè)向量的模和夾角已知或易求，它們又較容易表示其他向量，此時(shí)利用基底法好使），把數(shù)量積掌握為某個(gè)變量的式子，再用函數(shù)的方法求最值；（3）建系法（當(dāng)題中有垂直的相關(guān)信息，比如等腰三角形、零下、正方形等，建系把數(shù)量積問題用坐標(biāo)表示易求），把數(shù)量積掌握為某個(gè)變量的式子，再用函數(shù)的方法求最值；（4）極化恒等式①平行四邊形模式：在平行四邊形ABCD中，AB?即向量的數(shù)量積等于對應(yīng)平行四邊形的對角線的平方差的14②三角形模式：AB?2利用平面向量的等和線，可以處理類似求AO=λAB3其他的一些最值問題，主要思路也是幾何法或代數(shù)法。幾何法強(qiáng)調(diào)對圖形的觀察，能夠辨識出幾何模型；代數(shù)法，主要是如何引入?yún)?shù)表示所求，再利用函數(shù)方法求解，引入哪個(gè)變量是難點(diǎn)。【注意】采取代數(shù)法求解最值，要注意引入的變量的取值范圍。1（2025·河南·一模）如圖梯形ABCD，AB∥CD且AB=5，AD=2DC=4，E在線段BC上，AC?BD=0A．1513 B．9513 C．15 D2（2025·安徽滁州·二模）已知A,B,C三點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，且AB=3，則BC?A．-12,32 B．-33（2025·廣東東莞·模擬預(yù)測）邊長為1的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，MN是內(nèi)切圓的一條弦，點(diǎn)P為正方形四條邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長度最大時(shí)，則PM?PN的最大值是（A．-14 B．0 C．144（2025·北京豐臺·一模）在平行四邊形ABCD中，E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，O為△ABD外接圓的圓心，2DO=DA+DB，且DOA．3 B．4 C．6 D．85（2025·甘肅·一模）已知梯形ABCD中，AB//CD,AB=2BC=2CD=2AD=4，點(diǎn)M為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，若∠AMB=α，則cosα的范圍是（

A．0,17 B．-17,1 C6（2024·河北保定·二模）如圖，圓O1和圓O2外切于點(diǎn)P，A，B分別為圓O1和圓O2上的動(dòng)點(diǎn)，已知圓O1和圓O2的半徑都為1，且A．2 B．4 C．22 D．7（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知非零向量a,b,c滿足a-2c?A．1 B．2 C．3 D．48（2025·河北廊坊·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=30°，點(diǎn)P在以BC為直徑的半圓（△ABC外）內(nèi)及邊界上運(yùn)動(dòng)，若AP=λAB+μ9（2025·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，A，B是單位圓（圓心為O）上兩動(dòng)點(diǎn)，C是劣弧AB（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)．記OC=λOA+μOB（(1)若O到弦AB的距離是12，求λ+μ(2)若3OA-OB≤52，向量2OA題型8平面向量在幾何的應(yīng)用1由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來，因此平面幾何中的許多問題都可用向量運(yùn)算的方法加以解決.2用向量方法解決平面幾何問題的“三部曲”(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.Eg點(diǎn)A、(1)證明直線平行或共線：AB//CD?(2)證明直線垂直：AB⊥CD?(3)求線段比值：ABCD=(4)證明線段相等：1（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足PA+PB+PC=0，則A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心2（2025高三·全國·專題練習(xí)）O為△ABC平面內(nèi)一定點(diǎn)，該平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P滿足M={P|OP=OA+λ(|AB|sinA．重心 B．垂心 C．外心 D．內(nèi)心3（2024·四川內(nèi)江·三模）已知點(diǎn)A、B、C在圓x2+y2=1上運(yùn)動(dòng)，且AB⊥BC，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,2)A．3 B．5 C．7 D．94（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知在△ABC中，BC=6,G,O分別為△ABC的重心和外心，且OG?BC=6，則△ABCA．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．上述三種情況都有可能5（2025·廣東廣州·二模）在平面四邊形ABCD中，AC=AD=4,∠CAD=60°,∠ABC=90°，若△ABD的面積是△BCD的面積的2倍，則BD的長度為.題型9平面向量在物理的應(yīng)用1速度、力是向量，都可以轉(zhuǎn)化為向量問題；2力的合成與分解符合平行四邊形法則.1（2023·浙江溫州·二模）物理學(xué)中，如果一個(gè)物體受到力的作用，并在力的方向上發(fā)生了一段位移，我們就說這個(gè)力對物體做了功，功的計(jì)算公式：W=F?S（其中W是功，F(xiàn)是力，S是位移）一物體在力F1=2,4和F2A．25 B．5 C．-5 D．-252（2025·寧夏·一模）如圖所示，質(zhì)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB，BC，CD運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)D，已知AB//CD,AB=4,BC=2,CD=3，AB?BC=-2，則質(zhì)點(diǎn)PA．9 B．215 C．213 D3（多選）（2025·安徽黃山·二模）如圖，一條河兩岸平行，河的寬度d=500?m，一艘船從河岸邊的A地出發(fā)，向河對岸航行，已知船的速度v1的大小為v1=10?km/h，水流速度v2的大小為v2A．當(dāng)船的航行時(shí)間最短時(shí)，θ=π2BC．當(dāng)θ=π6時(shí)，船的航行時(shí)間為6分鐘D．當(dāng)θ=4（2025·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，無彈性細(xì)繩OA，OB一端分別固定在A，B處，在同樣的細(xì)繩OC的下端吊一重物，要保持此狀態(tài)，對細(xì)繩的耐力性要求最高的是(三條繩本身質(zhì)量忽略不計(jì)，橫線上填OA或OB或OC)．題型10平面向量的新定義處理新定義問題，理解新定義的內(nèi)容是重點(diǎn)，多結(jié)合簡單的特例感性了解，再試圖尋找其中的共性，把理解升華到理性分析，力求明白其中的本質(zhì)。1（2025·吉林·模擬預(yù)測）設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，定義余弦距離e(A,B)=1-cosOA,OBA．2 B．1 C．1-22 D2（2025·福建漳州·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，向量OA=a=x1,y1,OB=b=x2,y2，若A．|λ+μ| B．|λμ| C．|λ|+|μ| D．|λμ|3（2024·河北