緒論劉金琨對(duì)有些對(duì)象，如化學(xué)反應(yīng)過程等，由于其復(fù)雜性，很難用理論分析的方法推導(dǎo)出數(shù)學(xué)模型，有時(shí)只知道數(shù)學(xué)模型的一般形式及部分參數(shù)，有時(shí)甚至連數(shù)學(xué)模型的一般形式都不知道。因此，提出了怎樣確定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及參數(shù)的問題，這就是所謂的系統(tǒng)辨識(shí)問題。對(duì)于許多領(lǐng)域，由于系統(tǒng)比較復(fù)雜，不能用理論分析的方法獲得數(shù)學(xué)模型。凡是需要通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定數(shù)學(xué)模型和估計(jì)參數(shù)的場合都要利用辨識(shí)技術(shù)，辨識(shí)技術(shù)已經(jīng)推廣到工程和非工程的許多領(lǐng)域，如化學(xué)化工過程、核反應(yīng)堆、電力系統(tǒng)、航空航天飛行器、生物醫(yī)學(xué)系統(tǒng)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、環(huán)境系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)等。為了實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)控制，要不斷估計(jì)其模型參數(shù)，自適應(yīng)控制系統(tǒng)是辨識(shí)與控制相結(jié)合的一個(gè)范例，也是辨識(shí)在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用。系統(tǒng)辨識(shí)是控制論的一個(gè)分支，系統(tǒng)辨識(shí)、狀態(tài)估計(jì)和控制理論是現(xiàn)代控制理論的三大支柱。這三大支柱是互相滲透的，系統(tǒng)辨識(shí)和狀態(tài)估計(jì)離不開控制理論的支持，控制理論的應(yīng)用不能脫離對(duì)象的數(shù)學(xué)模型和狀態(tài)估計(jì)技術(shù)。系統(tǒng)辨識(shí)是根據(jù)系統(tǒng)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)來確定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。因此，系統(tǒng)辨識(shí)為已經(jīng)存在的系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型提供了有效的方案。建立數(shù)學(xué)模型的基本方法01系統(tǒng)辨識(shí)的定義02系統(tǒng)辨識(shí)的研究目的03數(shù)學(xué)模型的分類04目錄CONTENTS幾種常見的數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)表示0501建立數(shù)學(xué)模型的基本方法所謂模型就是把關(guān)于實(shí)際過程的本質(zhì)部分的信息簡寫成有用的描述形式。用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和形式來反映實(shí)際過程行為特性的模型就是數(shù)學(xué)模型。一般來說，建立數(shù)學(xué)模型有兩種基本的方法。一、建立數(shù)學(xué)模型的基本方法這種方法主要是通過分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，運(yùn)用已知的定律、定理和原理，例如力學(xué)原理、生物學(xué)定律、牛頓定理、能量平衡方程、傳熱傳質(zhì)原理等，利用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行推導(dǎo)，建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。這種方法也稱為機(jī)理分析法。理論分析法一、建立數(shù)學(xué)模型的基本方法

例1.1圖1-1VTOL空間飛行器坐標(biāo)示意圖

，

一、建立數(shù)學(xué)模型的基本方法

雖然VTOL飛行器的數(shù)學(xué)模型可以根據(jù)力學(xué)原理較準(zhǔn)確地推導(dǎo)出來，但要想獲得精確地模型參數(shù)，就要進(jìn)行辨識(shí)。系統(tǒng)簡化為

由例1-1可知，理論分析方法只能用于較簡單系統(tǒng)的建模，并且對(duì)系統(tǒng)的機(jī)理要有較清楚的了解。對(duì)于比較復(fù)雜的實(shí)際系統(tǒng)，這種建模方法有很大的局限性。這是因?yàn)樵诮r(shí)必須對(duì)實(shí)際的系統(tǒng)提出合理的簡化假設(shè)，然而這些假設(shè)未必符合實(shí)際情況。另外，有時(shí)實(shí)際系統(tǒng)的機(jī)理也并非完全可知的。一、建立數(shù)學(xué)模型的基本方法測試法系統(tǒng)的輸入輸出一般總是可以測量的。由于系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性必然表現(xiàn)于這些輸入輸出數(shù)據(jù)中，故可以利用輸入輸出數(shù)據(jù)所提供的信息來建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。這種建模方法就是系統(tǒng)辨識(shí)。與理論分析方法相比，測試法的優(yōu)點(diǎn)是不需要深入了解系統(tǒng)的機(jī)理，不足之處是必須設(shè)計(jì)一個(gè)合理的試驗(yàn)以獲取所需要的大量信息，而設(shè)計(jì)合理的試驗(yàn)是很困難的。在實(shí)際研究中，往往將理論分析方法和測試法相結(jié)合，機(jī)理已知部分（名義模型）采用理論分析方法，機(jī)理未知部分采用測試方法。一、建立數(shù)學(xué)模型的基本方法一、建立數(shù)學(xué)模型的基本方法

例1.2假設(shè)模型結(jié)構(gòu)為

如果測量沒有誤差，只需要兩個(gè)不同溫度下的電阻值，便可以解出??和??。但是由于每次測量中總存在隨機(jī)誤差，即或

顯然，將每次量測誤差相加，可構(gòu)成總誤差一、建立數(shù)學(xué)模型的基本方法如何使測量的總誤差最小，選擇不同的評(píng)判準(zhǔn)則會(huì)獲得不同的方法，當(dāng)采用每一次測量誤差的平方和為最小時(shí)，即

由于上式中的平方運(yùn)算又稱為“二乘”，而且又是按照J(rèn)最小來估計(jì)a和b，稱這種估計(jì)方法為最小二乘估計(jì)算法，簡稱最小二乘法。一、建立數(shù)學(xué)模型的基本方法利用最小二乘法辨識(shí)模型參數(shù)，若使得J最小，利用求極值的方法得

一、建立數(shù)學(xué)模型的基本方法

解方程組，可得

一、建立數(shù)學(xué)模型的基本方法02系統(tǒng)辨識(shí)的定義控制理論對(duì)系統(tǒng)辨識(shí)有多種定義。其通俗含義是根據(jù)被控對(duì)象或被辨識(shí)系統(tǒng)的輸入、輸出觀測信息來估計(jì)它的數(shù)學(xué)模型。目前比較典型的幾個(gè)定義為：（1）L.A.Zadeh定義（1962年）：辨識(shí)就是在輸入和輸出數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，從一組給定的模型類中，確定一個(gè)與所測系統(tǒng)等價(jià)的模型；（2）P.Eykhoff定義（1974年）：辨識(shí)問題可以歸結(jié)為用一個(gè)模型來表示客觀系統(tǒng)（或?qū)⒁獦?gòu)造的系統(tǒng)）本質(zhì)特征的一種演算，并用這個(gè)模型把客觀系統(tǒng)表示成有用的形式；（3）L.Ljung定義（1978年）：辨識(shí)有三個(gè)要素，即數(shù)據(jù)、模型類和準(zhǔn)則。其中數(shù)據(jù)是辨識(shí)的基礎(chǔ)，準(zhǔn)則是辨識(shí)的依據(jù)，模型類是辨識(shí)的范圍。辨識(shí)就是按照一個(gè)準(zhǔn)則在一組模型類中選擇一個(gè)對(duì)數(shù)據(jù)擬合得最好的模型。03系統(tǒng)辨識(shí)的研究目的在提出和解決一個(gè)辨識(shí)問題時(shí)，明確最終模型的使用目的是至關(guān)重要的。它對(duì)模型類（模型結(jié)構(gòu)）、輸入信號(hào)和等價(jià)準(zhǔn)則的選擇都有很大的影響。通過辨識(shí)建立數(shù)學(xué)模型通常有六個(gè)目的。（1）系統(tǒng)仿真為了研究不同輸入情況下系統(tǒng)的輸出情況，最直接的方法是對(duì)系統(tǒng)本身進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，但實(shí)際上是很難實(shí)現(xiàn)的。例如，利用實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的費(fèi)用太大；實(shí)驗(yàn)過程中系統(tǒng)可能會(huì)不穩(wěn)定，從而導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)過程帶有一定的危險(xiǎn)性；系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)可能會(huì)很大，以致實(shí)驗(yàn)周期太長。為此，需要建立數(shù)學(xué)模型，利用模型仿真系統(tǒng)的特性或行為，從而間接地對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究。（2）系統(tǒng)預(yù)測無論在自然科學(xué)領(lǐng)域還是在社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域，往往需要研究系統(tǒng)未來發(fā)展的規(guī)律和變化趨勢，才能預(yù)先做出決策和采取措施?？茖W(xué)的定量預(yù)測大多需要采用模型預(yù)測方法，即首先建立所預(yù)測系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)模型對(duì)系統(tǒng)中的某些變量的未來狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測。三、系統(tǒng)辨識(shí)的研究目的（3）系統(tǒng)設(shè)計(jì)和控制在工程設(shè)計(jì)中，必須掌握系統(tǒng)中所包括的所有部件的特性或者子系統(tǒng)的特性，一項(xiàng)完善的設(shè)計(jì)，必須使系統(tǒng)各部件的特性與系統(tǒng)的總體設(shè)計(jì)要求（如產(chǎn)量指標(biāo)、誤差、穩(wěn)定性、安全性和可靠性等）相適應(yīng)。為此，需要建立數(shù)學(xué)模型，在設(shè)計(jì)中分析、考察系統(tǒng)各部分的特性以及各部分之間的相互作用和它們對(duì)總體系統(tǒng)特性的影響。（4）系統(tǒng)分析根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)建立起系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型之后，可以將所研究的系統(tǒng)的主要特征及其主要變化規(guī)律表達(dá)出來，將所要研究的系統(tǒng)中主要變量之間的關(guān)系比較集中地揭示出來，從而為分析該系統(tǒng)提供線索和依據(jù)。三、系統(tǒng)辨識(shí)的研究目的（5）故障診斷許多復(fù)雜的系統(tǒng)，如導(dǎo)彈、飛機(jī)、核反應(yīng)堆、大型化工和動(dòng)力裝置以及大型傳動(dòng)機(jī)械等，需要經(jīng)常監(jiān)視和檢測可能出現(xiàn)的故障，以便及時(shí)排除故障。這就要求必須不斷地收集系統(tǒng)運(yùn)行過程中的信息，通過建立數(shù)學(xué)模型，推斷過程動(dòng)態(tài)特性的變化情況。然后，根據(jù)動(dòng)態(tài)特性的變化情況判斷故障是否已經(jīng)發(fā)生、何時(shí)發(fā)生、故障大小以及故障的位置等。（6）驗(yàn)證機(jī)理模型根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)建立起系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型之后，將非常有利于理解所獲得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，從而可以探索和分析不同的輸入條件對(duì)該系統(tǒng)輸出變量的影響，以檢驗(yàn)所提出的理論，更全面地理解系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為。三、系統(tǒng)辨識(shí)的研究目的04數(shù)學(xué)模型的分類四、數(shù)學(xué)模型的分類數(shù)學(xué)模型的分類方法有很多，常見的是按連續(xù)與離散、定常與時(shí)變、線性與非線性分類。（1）按提供的實(shí)驗(yàn)信息分為：黑箱、灰箱和白箱如果系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、組成和運(yùn)動(dòng)規(guī)律是已知的，適合用機(jī)理分析法進(jìn)行建模，則系統(tǒng)稱為“白箱”。如果對(duì)系統(tǒng)的客觀規(guī)律不清楚，只能根據(jù)試驗(yàn)中測量系統(tǒng)的響應(yīng)數(shù)據(jù)，應(yīng)用辨識(shí)方法建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，則稱系統(tǒng)為“黑箱”。如果已知系統(tǒng)的某些基本規(guī)律，但又有些機(jī)理還不清楚，則稱系統(tǒng)為“灰箱”。四、數(shù)學(xué)模型的分類（2）按概率角度分為：確定性模型和隨機(jī)性模型確定性模型所描述的系統(tǒng)，當(dāng)狀態(tài)確定后，其輸出響應(yīng)是唯一確定的。而隨機(jī)性模型所描述的系統(tǒng)，當(dāng)狀態(tài)確定后，其輸出響應(yīng)是不確定的。（3）按模型與時(shí)間的關(guān)系分為：靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型靜態(tài)模型用于描述系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時(shí)（各狀態(tài)變量的各階導(dǎo)數(shù)為零）的各狀態(tài)變量之間的關(guān)系，一般不是時(shí)間的函數(shù)。動(dòng)態(tài)模型用于描述系統(tǒng)處于過渡過程時(shí)的各狀態(tài)變量之間的關(guān)系，一般為時(shí)間的函數(shù)。四、數(shù)學(xué)模型的分類（4）按時(shí)間刻度分為：連續(xù)模型和離散模型用來描述連續(xù)系統(tǒng)的模型有微分方程、傳遞函數(shù)等，用來描述離散系統(tǒng)的模型有差分方程、狀態(tài)方程等。（5）按參數(shù)與時(shí)間的關(guān)系分為：定常模型和時(shí)變模型定常系統(tǒng)的模型參數(shù)不隨時(shí)間的變化而改變，而時(shí)變系統(tǒng)的模型參數(shù)隨時(shí)間的變化而改變。（6）按參數(shù)與輸入輸出關(guān)系分為：線性模型和非線性模型線性模型用來描述線性系統(tǒng)，其顯著特點(diǎn)是滿足疊加原理和均勻性，而非線性模型用來描述非線性系統(tǒng)，一般不滿足疊加原理。四、數(shù)學(xué)模型的分類（7）按模型的表達(dá)形式分為：參數(shù)模型和非參數(shù)模型非參數(shù)模型是指從一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)過程中，直接或間接地所獲得的響應(yīng)，是確定性的模型，例如階躍響應(yīng)、脈沖響應(yīng)、頻率響應(yīng)都屬于反映該系統(tǒng)特性的非參數(shù)模型。采用推理的方法所建立的模型則為參數(shù)模型，它可以由非參數(shù)模型轉(zhuǎn)化而來，例如狀態(tài)方程和差分方程。（8）按參數(shù)的性質(zhì)分為：分布參數(shù)模型和集中參數(shù)模型當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)參數(shù)僅是時(shí)間的函數(shù)時(shí)，描述系統(tǒng)特性的狀態(tài)方程組為常微分方程組，系統(tǒng)稱為集中參數(shù)系統(tǒng)。當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)參數(shù)是時(shí)間和空間的函數(shù)時(shí)，描述系統(tǒng)特性的狀態(tài)方程組為偏微分方程組，則系統(tǒng)稱為分布參數(shù)系統(tǒng)。四、數(shù)學(xué)模型的分類（9）按輸入輸出個(gè)數(shù)分為：單輸入單輸出（SISO）模型和多輸入多輸出（MIMO）模型。（10）按模型的使用形式分為：離線模型和在線模型對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行試驗(yàn)，獲取全部數(shù)據(jù)后，運(yùn)用辨識(shí)算法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行集中處理，以得到模型參數(shù)的估計(jì)值，這種方法稱為離線辨識(shí)。而在線辨識(shí)需要知道模型的結(jié)構(gòu)和階次，當(dāng)獲得新的輸入輸出數(shù)據(jù)之后，采用遞推辨識(shí)法對(duì)原來的參數(shù)估計(jì)值進(jìn)行修正，得到新的參數(shù)估計(jì)值。05幾種常見的數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)表示在控制理論中，數(shù)學(xué)模型有多種形式。時(shí)域中常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程、差分方程和狀態(tài)方程；復(fù)數(shù)域中有傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖；頻域中有頻率特性等。這里僅介紹系統(tǒng)辨識(shí)中常用的數(shù)學(xué)模型：離散脈沖響應(yīng)函數(shù)、線性差分方程和狀態(tài)空間模型。

五、幾種常見的數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)表示1、脈沖響應(yīng)函數(shù)

對(duì)于穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，有

上式稱為移動(dòng)平均（MovingAverage）模型，簡稱