一、溫故知新：從位置關(guān)系到判別式的邏輯鋪墊演講人溫故知新：從位置關(guān)系到判別式的邏輯鋪墊01典型例題：判別式應(yīng)用的四類常見題型02原理推導(dǎo)：二次函數(shù)與直線相切的充要條件03總結(jié)與提升：判別式應(yīng)用的核心邏輯與學(xué)習(xí)建議04目錄2025九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)二次函數(shù)圖像與直線相切的判別式應(yīng)用課件各位同學(xué)，今天我們將共同探索二次函數(shù)圖像與直線相切的判別式應(yīng)用。這是九年級(jí)下冊(cè)“二次函數(shù)”章節(jié)的核心內(nèi)容之一，也是后續(xù)學(xué)習(xí)解析幾何的重要基礎(chǔ)。作為陪伴大家三年的數(shù)學(xué)老師，我深知這部分知識(shí)需要從“理解原理—掌握方法—靈活應(yīng)用”逐步推進(jìn)，因此今天的課程我將結(jié)合多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，通過“溫故知新—原理推導(dǎo)—典型例題—拓展應(yīng)用”四大模塊，帶大家系統(tǒng)掌握這一知識(shí)點(diǎn)。01溫故知新：從位置關(guān)系到判別式的邏輯鋪墊1二次函數(shù)與直線的三種位置關(guān)系回顧在學(xué)習(xí)一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像時(shí)，我們已經(jīng)接觸過兩者的位置關(guān)系?；貞浺幌?，當(dāng)一條直線與拋物線（二次函數(shù)圖像）相遇時(shí)，可能出現(xiàn)幾種情況？通過畫圖觀察，我們發(fā)現(xiàn)有三種典型情形：（1）相交：直線與拋物線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)（如y=x2與y=x+2，聯(lián)立后方程x2-x-2=0有兩個(gè)不等實(shí)根）；（2）相切：直線與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)（如y=x2與y=2x-1，聯(lián)立后方程x2-2x+1=0有兩個(gè)相等實(shí)根）；（3）相離：直線與拋物線沒有公共點(diǎn)（如y=x2與y=-x-3，聯(lián)立后方程x2+x1二次函數(shù)與直線的三種位置關(guān)系回顧+3=0無實(shí)根）。這三種位置關(guān)系的本質(zhì)是什么？其實(shí)是聯(lián)立方程后得到的一元二次方程根的個(gè)數(shù)問題——這正是判別式（Δ=b2-4ac）的核心作用：Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根（相交）；Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等實(shí)根（相切）；Δ<0時(shí)，方程無實(shí)根（相離）。1.2判別式的“前世今生”：從一元二次方程到函數(shù)圖像的橋梁判別式是我們?cè)诎四昙?jí)學(xué)習(xí)一元二次方程時(shí)接觸的概念，當(dāng)時(shí)它的作用是判斷方程根的情況。而當(dāng)我們將二次函數(shù)與一次函數(shù)聯(lián)立，本質(zhì)上是在求解兩個(gè)函數(shù)值相等時(shí)的自變量x的值，即解方程ax2+bx+c=kx+m（其中a≠0，k為直線斜率）。整理后得到標(biāo)準(zhǔn)一元二次方程形式：ax2+(b?k)x+(c?m)=0。此時(shí)，判別式Δ=(b?k)2?4a(c?m)的符號(hào)直接決定了方程根的個(gè)數(shù)，進(jìn)而對(duì)應(yīng)圖像的位置關(guān)系。1二次函數(shù)與直線的三種位置關(guān)系回顧這里需要特別強(qiáng)調(diào)：判別式的應(yīng)用前提是聯(lián)立后的方程必須是一元二次方程，即二次項(xiàng)系數(shù)a≠0（因?yàn)槎魏瘮?shù)的定義要求a≠0）。若a=0，原函數(shù)退化為一次函數(shù)，此時(shí)直線與“拋物線”的位置關(guān)系實(shí)為兩條直線的位置關(guān)系（平行或重合），但這種情況不在我們今天的討論范圍內(nèi)。02原理推導(dǎo)：二次函數(shù)與直線相切的充要條件1相切條件的數(shù)學(xué)表達(dá)既然相切對(duì)應(yīng)聯(lián)立方程有且僅有一個(gè)實(shí)根，那么根據(jù)判別式的性質(zhì)，相切的充要條件就是Δ=0。我們可以用數(shù)學(xué)語言嚴(yán)格表述這一過程：已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），直線y=kx+m（k、m為常數(shù)）。聯(lián)立方程：ax2+bx+c=kx+m?ax2+(b?k)x+(c?m)=0。判別式：Δ=(b?k)2?4a(c?m)。相切條件：Δ=0?(b?k)2=4a(c?m)。這一公式是解決所有“二次函數(shù)與直線相切”問題的核心工具。需要注意的是，公式中的參數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系：k是直線的斜率，m是直線的截距，a、b、c是二次函數(shù)的系數(shù)。在具體問題中，這些參數(shù)可能以“已知”或“未知”的形式出現(xiàn)，需要我們根據(jù)題目要求靈活代入。2從幾何直觀到代數(shù)證明的思維跨越為了幫助大家更深刻理解這一條件，我們可以結(jié)合幾何圖形進(jìn)行驗(yàn)證。以最常見的拋物線y=x2為例，取一條斜率為k的直線y=kx+m，觀察其與拋物線相切的情況。當(dāng)k=2時(shí)，假設(shè)直線y=2x+m與y=x2相切，聯(lián)立方程得x2?2x?m=0，此時(shí)Δ=(?2)2?4×1×(?m)=4+4m。令Δ=0，解得m=?1，對(duì)應(yīng)的直線方程為y=2x?1。我們可以畫圖驗(yàn)證：拋物線y=x2在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為2（通過求導(dǎo)或頂點(diǎn)法可得），而直線y=2x?1恰好經(jīng)過該點(diǎn)且與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，這與我們的計(jì)算完全一致。這一過程體現(xiàn)了“代數(shù)—幾何”的雙向驗(yàn)證：代數(shù)計(jì)算通過判別式得到相切條件，幾何圖形則直觀展示了相切的位置特征。這種思維方式在后續(xù)學(xué)習(xí)解析幾何時(shí)會(huì)反復(fù)用到，希望同學(xué)們逐步養(yǎng)成“數(shù)形結(jié)合”的解題習(xí)慣。03典型例題：判別式應(yīng)用的四類常見題型1已知二次函數(shù)與直線相切，求直線參數(shù)例1：已知拋物線y=2x2?4x+3與直線y=kx+1相切，求k的值。分析：根據(jù)相切條件，聯(lián)立方程后判別式Δ=0。步驟：（1）聯(lián)立方程：2x2?4x+3=kx+1?2x2?(4+k)x+2=0；（2）計(jì)算判別式：Δ=[?(4+k)]2?4×2×2=(k+4)2?16；（3）令Δ=0：(k+4)2?16=0?(k+4)2=16?k+4=±4?k=0或k=?8。驗(yàn)證：當(dāng)k=0時(shí)，直線為y=1，聯(lián)立方程得2x2?4x+2=0?2(x?1)2=0，根為x=1（重根），符合相切；當(dāng)k=?8時(shí)，直線為y=?8x+1，聯(lián)立方程得2x2+4x+2=0?2(x+1)2=0，根為x=?1（重根），同樣符合相切。1已知二次函數(shù)與直線相切，求直線參數(shù)易錯(cuò)點(diǎn)提醒：計(jì)算判別式時(shí)，注意符號(hào)問題（如例中二次項(xiàng)系數(shù)為2，一次項(xiàng)系數(shù)為?(4+k)，常數(shù)項(xiàng)為2），避免因符號(hào)錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)果偏差。3.2已知直線與二次函數(shù)相切，求二次函數(shù)參數(shù)例2：已知直線y=3x?5與拋物線y=ax2+2x+c相切，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)(1,?1)，求a和c的值。分析：題目給出兩個(gè)條件——相切（Δ=0）和拋物線過點(diǎn)(1,?1)（代入求參數(shù)），需聯(lián)立方程組求解。步驟：1已知二次函數(shù)與直線相切，求直線參數(shù)1（1）代入點(diǎn)(1,?1)：a×12+2×1+c=?1?a+c=?3（方程①）；2（2）聯(lián)立直線與拋物線方程：ax2+2x+c=3x?5?ax2?x+(c+5)=0；3（3）相切條件Δ=0：(?1)2?4×a×(c+5)=0?1?4a(c+5)=0（方程②）；4（4）聯(lián)立方程①和②：由①得c=?3?a，代入②得1?4a(?3?a+5)=0?1?4a(2?a)=0?1?8a+4a2=0?4a2?8a+1=0；5（5）解二次方程：a=[8±√(64?16)]/8=[8±√48]/8=[8±4√3]/8=1±(√3)/2；1已知二次函數(shù)與直線相切，求直線參數(shù)（6）求c：當(dāng)a=1+(√3)/2時(shí)，c=?3?[1+(√3)/2]=?4?(√3)/2；當(dāng)a=1?(√3)/2時(shí)，c=?4+(√3)/2?？偨Y(jié)：此類問題需結(jié)合“點(diǎn)在圖像上”和“相切條件”兩個(gè)方程，通過消元法求解參數(shù)，計(jì)算量較大，需耐心核對(duì)每一步。3求二次函數(shù)的切線方程例3：求拋物線y=x2?2x+1的斜率為3的切線方程。1分析：切線方程可設(shè)為y=3x+m，利用相切條件求m的值。2步驟：3（1）設(shè)切線方程為y=3x+m；4（2）聯(lián)立方程：x2?2x+1=3x+m?x2?5x+(1?m)=0；5（3）判別式Δ=(?5)2?4×1×(1?m)=25?4+4m=21+4m；6（4）令Δ=0：21+4m=0?m=?21/4；73求二次函數(shù)的切線方程（5）切線方程為y=3x?21/4。拓展思考：若題目未指定斜率，如何求拋物線在某一點(diǎn)的切線方程？例如，求拋物線y=x2?2x+1在點(diǎn)(2,1)處的切線方程。此時(shí)可利用“點(diǎn)在切線上”和“相切條件”聯(lián)立求解，或通過導(dǎo)數(shù)法（高中內(nèi)容）直接求斜率，結(jié)果為y=2x?3（同學(xué)們可自行驗(yàn)證）。4實(shí)際問題中的相切應(yīng)用例4：某公園計(jì)劃修建一座拋物線型拱門，其橫截面的拋物線方程為y=?0.5x2+h（h為拱門頂點(diǎn)高度），現(xiàn)需在拱門內(nèi)安裝一盞寬度為4米的路燈，路燈頂部所在直線為y=k（k為常數(shù)）。為確保路燈頂部剛好與拱門相切，求h與k的關(guān)系。分析：路燈頂部直線為y=k（水平直線），與拋物線y=?0.5x2+h相切，聯(lián)立方程后判別式Δ=0。步驟：（1）聯(lián)立方程：?0.5x2+h=k??0.5x2+(h?k)=0?x2=2(h?k)；（2）該方程為一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)?0.5≠0），判別式Δ=02?4×(?0.5)×(h?k)=2(h?k)；4實(shí)際問題中的相切應(yīng)用（3）令Δ=0：2(h?k)=0?h=k；（4）但需注意，原方程x2=2(h?k)有且僅有一個(gè)實(shí)根的條件是2(h?k)=0（即x=0），此時(shí)直線y=k與拋物線僅在頂點(diǎn)(0,h)處相切，符合題意。實(shí)際意義：當(dāng)路燈頂部高度k等于拱門頂點(diǎn)高度h時(shí)，路燈剛好與拱門頂部相切，這是安裝的臨界位置，既不會(huì)因k>h導(dǎo)致路燈超出拱門，也不會(huì)因k<h導(dǎo)致路燈與拱門有兩個(gè)交點(diǎn)（需預(yù)留空間）。此類問題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在實(shí)際工程中的應(yīng)用價(jià)值。04總結(jié)與提升：判別式應(yīng)用的核心邏輯與學(xué)習(xí)建議1知識(shí)體系的結(jié)構(gòu)化總結(jié)通過今天的學(xué)習(xí)，我們構(gòu)建了以下知識(shí)鏈條：二次函數(shù)與直線的位置關(guān)系→聯(lián)立方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程→判別式Δ判斷根的個(gè)數(shù)→Δ=0對(duì)應(yīng)相切。這一過程的關(guān)鍵在于“轉(zhuǎn)化”——將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，用判別式這一工具定量分析位置關(guān)系。需要特別強(qiáng)調(diào)的是，判別式的應(yīng)用必須滿足一元二次方程的前提（二次項(xiàng)系數(shù)不為0），這是解題時(shí)容易忽略的隱含條件。2常見誤區(qū)與應(yīng)對(duì)策略在教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)同學(xué)們?nèi)菀壮霈F(xiàn)以下錯(cuò)誤：（1）聯(lián)立方程時(shí)符號(hào)錯(cuò)誤：如將y=ax2+bx+c與y=kx+m聯(lián)立時(shí)，誤寫為ax2+bx+c?kx+m=0（正確應(yīng)為ax2+(b?k)x+(c?m)=0），需注意移項(xiàng)時(shí)的符號(hào)變化；（2）忽略二次項(xiàng)系數(shù)非零：當(dāng)題目中二次函數(shù)的系數(shù)含有參數(shù)時(shí)（如y=ax2+bx+c，a未知），需先判斷a≠0，否則函數(shù)可能退化為一次函數(shù)；（3）實(shí)際問題中忽略幾何意義：如例4中，若直接解方程x2=2(h?k)，可能會(huì)忽略“僅有一個(gè)實(shí)根”對(duì)應(yīng)x=0的幾何意義（頂點(diǎn)處相切），需結(jié)合圖像理解代數(shù)結(jié)果。應(yīng)對(duì)策略：養(yǎng)成“先畫圖后計(jì)算”的習(xí)慣，通過圖像直觀判斷位置關(guān)系，再用代數(shù)方法驗(yàn)證；計(jì)算時(shí)分步書寫，重點(diǎn)標(biāo)注符號(hào)和系數(shù)，避免低級(jí)錯(cuò)誤。3課后延伸與能力提升為了鞏固所學(xué)知識(shí)，建議同學(xué)們完成以下任務(wù)：（1）基礎(chǔ)練習(xí)：課本P56習(xí)題21.2第5題（已知二次函數(shù)與直線相切，求直線截距）；（2）拓展探究：嘗試用判別式證明“拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)處切線平行于x軸”（提示：頂點(diǎn)處切線斜率為0，聯(lián)立y=0x+m與拋物線，利用Δ=0求m）；（3）生活實(shí)踐：觀察身邊的拋