計算方法考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.數(shù)值計算中，有效數(shù)字的位數(shù)越多，則（）A.絕對誤差越大B.相對誤差越大C.絕對誤差越小D.相對誤差越小2.用二分法求方程\(f(x)=0\)在區(qū)間\([a,b]\)內(nèi)的根，要求誤差不超過\(\varepsilon\)，則二分的次數(shù)\(n\)至少為（）A.\(\log_2\frac{b-a}{\varepsilon}\)B.\(\log_2\frac{b-a}{2\varepsilon}\)C.\(\log_2\frac{\varepsilon}{b-a}\)D.\(\log_2\frac{2\varepsilon}{b-a}\)3.牛頓迭代法的收斂速度是（）A.線性收斂B.平方收斂C.三次收斂D.四次收斂4.對于\(n\)階線性方程組\(Ax=b\)，若\(A\)是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，則雅可比迭代法（）A.一定收斂B.一定發(fā)散C.不一定收斂D.無法判斷5.拉格朗日插值多項式\(L_n(x)\)滿足（）A.\(L_n(x_i)=y_i\)，\(i=0,1,\cdots,n\)B.\(L_n^\prime(x_i)=y_i\)，\(i=0,1,\cdots,n\)C.\(L_n(x_i)=y_i^\prime\)，\(i=0,1,\cdots,n\)D.\(L_n^\prime(x_i)=y_i^\prime\)，\(i=0,1,\cdots,n\)6.已知函數(shù)\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)處的函數(shù)值為\(y_0\)，一階導(dǎo)數(shù)值為\(y_0^\prime\)，則用一次埃爾米特插值多項式\(H_1(x)\)近似\(f(x)\)時，\(H_1(x)\)滿足（）A.\(H_1(x_0)=y_0\)，\(H_1^\prime(x_0)=y_0^\prime\)B.\(H_1(x_0)=y_0\)，\(H_1(x_1)=y_1\)C.\(H_1^\prime(x_0)=y_0^\prime\)，\(H_1^\prime(x_1)=y_1^\prime\)D.\(H_1(x_0)=y_0\)，\(H_1^\prime(x_1)=y_1^\prime\)7.數(shù)值積分公式\(\int_{a}^f(x)dx\approx\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]\)是（）A.梯形公式B.辛普森公式C.柯特斯公式D.高斯公式8.對于數(shù)值微分公式\(f^\prime(x_0)\approx\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}\)，其截斷誤差的階為（）A.\(O(h)\)B.\(O(h^2)\)C.\(O(h^3)\)D.\(O(h^4)\)9.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)，則\(A\)的譜半徑\(\rho(A)\)為（）A.1B.2C.3D.410.用最小二乘法求擬合曲線\(y=a+bx\)時，需要求解的法方程組為（）A.\(\begin{cases}na+b\sum_{i=1}^{n}x_i=\sum_{i=1}^{n}y_i\\a\sum_{i=1}^{n}x_i+b\sum_{i=1}^{n}x_i^2=\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\end{cases}\)B.\(\begin{cases}na+b\sum_{i=1}^{n}x_i=\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\\a\sum_{i=1}^{n}x_i+b\sum_{i=1}^{n}x_i^2=\sum_{i=1}^{n}y_i\end{cases}\)C.\(\begin{cases}na+b\sum_{i=1}^{n}y_i=\sum_{i=1}^{n}x_i\\a\sum_{i=1}^{n}y_i+b\sum_{i=1}^{n}y_i^2=\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\end{cases}\)D.\(\begin{cases}na+b\sum_{i=1}^{n}y_i=\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\\a\sum_{i=1}^{n}y_i+b\sum_{i=1}^{n}y_i^2=\sum_{i=1}^{n}x_i\end{cases}\)答案：1.D2.B3.B4.A5.A6.A7.A8.B9.C10.A二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.以下屬于數(shù)值計算中誤差來源的有（）A.模型誤差B.觀測誤差C.截斷誤差D.舍入誤差2.用迭代法求解線性方程組\(Ax=b\)時，迭代格式\(x^{(k+1)}=Bx^{(k)}+f\)收斂的充分條件有（）A.\(\rho(B)<1\)B.\(\|B\|<1\)（某種范數(shù)）C.\(A\)對稱正定D.\(A\)嚴(yán)格對角占優(yōu)3.下列關(guān)于插值多項式的說法正確的有（）A.拉格朗日插值多項式和牛頓插值多項式形式不同但結(jié)果相同B.插值多項式次數(shù)越高，逼近效果一定越好C.埃爾米特插值多項式不僅要求函數(shù)值相等還要求導(dǎo)數(shù)值相等D.分段低次插值多項式比高次插值多項式更穩(wěn)定4.數(shù)值積分方法中，屬于牛頓-柯特斯公式的有（）A.梯形公式B.辛普森公式C.柯特斯公式D.高斯公式5.求解非線性方程\(f(x)=0\)的迭代法有（）A.二分法B.牛頓迭代法C.弦截法D.迭代法\(x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^\prime(x_0)}\)6.關(guān)于矩陣的范數(shù)，下列說法正確的是（）A.\(\|AB\|\leq\|A\|\|B\|\)B.\(\|A+B\|\leq\|A\|+\|B\|\)C.\(\|\lambdaA\|=|\lambda|\|A\|\)D.對于任意向量\(x\)，\(\|Ax\|\leq\|A\|\|x\|\)7.用最小二乘法擬合曲線時，常用的擬合函數(shù)類型有（）A.多項式函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.三角函數(shù)D.冪函數(shù)8.數(shù)值微分中，常用的數(shù)值微分公式有（）A.向前差商公式B.向后差商公式C.中心差商公式D.高階差商公式9.以下關(guān)于收斂速度的說法正確的是（）A.線性收斂速度較慢B.平方收斂速度快于線性收斂C.超線性收斂速度介于線性和平方收斂之間D.收斂速度越快，迭代次數(shù)越少10.對于線性方程組\(Ax=b\)，以下哪些方法可以用來判斷解的存在性和唯一性（）A.系數(shù)矩陣\(A\)的秩與增廣矩陣\(\begin{pmatrix}A&b\end{pmatrix}\)的秩關(guān)系B.\(A\)是否可逆C.克萊姆法則D.迭代法是否收斂答案：1.ABCD2.AB3.ACD4.ABC5.ABCD6.ABCD7.ABCD8.ABC9.ABCD10.ABC三、判斷題（每題2分，共20分）1.有效數(shù)字的位數(shù)與小數(shù)點(diǎn)的位置有關(guān)。（）2.迭代法\(x_{k+1}=g(x_k)\)收斂的充要條件是\(|g^\prime(x^)|<1\)，其中\(zhòng)(x^\)是方程\(x=g(x)\)的根。（）3.拉格朗日插值多項式的余項與節(jié)點(diǎn)的選取無關(guān)。（）4.梯形公式的代數(shù)精度是1，辛普森公式的代數(shù)精度是3。（）5.數(shù)值計算中，為了減少舍入誤差，應(yīng)盡量避免相近數(shù)相減。（）6.若矩陣\(A\)是對稱正定矩陣，則共軛梯度法求解\(Ax=b\)收斂速度快。（）7.用最小二乘法擬合數(shù)據(jù)時，擬合曲線一定經(jīng)過所有數(shù)據(jù)點(diǎn)。（）8.中心差商公式的截斷誤差比向前差商公式小。（）9.對于線性方程組\(Ax=b\)，若\(A\)奇異，則方程組無解。（）10.高斯消元法消元過程中，若主元為0，則該方法失效。（）答案：1.×2.√3.×4.√5.√6.√7.×8.√9.×10.√四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述數(shù)值計算中誤差的分類及特點(diǎn)答案：誤差分為模型誤差、觀測誤差、截斷誤差和舍入誤差。模型誤差由數(shù)學(xué)模型簡化產(chǎn)生；觀測誤差源于測量儀器等；截斷誤差是近似計算方法截斷無窮過程導(dǎo)致；舍入誤差是計算機(jī)有限字長取近似值造成。2.說明牛頓迭代法的基本思想答案：牛頓迭代法基本思想是將非線性方程\(f(x)=0\)在\(x_k\)處進(jìn)行一階泰勒展開，取線性部分近似代替原方程求解，得到迭代公式\(x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^\prime(x_k)}\)，通過不斷迭代逼近方程的根。3.簡述拉格朗日插值多項式的構(gòu)造方法答案：已知\(n+1\)個節(jié)點(diǎn)\((x_i,y_i)\)，\(i=0,1,\cdots,n\)，拉格朗日插值多項式\(L_n(x)=\sum_{i=0}^{n}y_il_i(x)\)，其中\(zhòng)(l_i(x)=\frac{\prod_{j=0,j\neqi}^{n}(x-x_j)}{\prod_{j=0,j\neqi}^{n}(x_i-x_j)}\)為拉格朗日插值基函數(shù)。4.解釋數(shù)值積分中代數(shù)精度的概念答案：若數(shù)值積分公式對于次數(shù)不超過\(m\)的多項式能準(zhǔn)確成立，而對于\(m+1\)次多項式不能準(zhǔn)確成立，則稱該數(shù)值積分公式具有\(zhòng)(m\)次代數(shù)精度。代數(shù)精度越高，數(shù)值積分公式對多項式的逼近能力越強(qiáng)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論數(shù)值計算中避免誤差危害的方法答案：避免相近數(shù)相減，防止有效數(shù)字損失；防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)，合理安排計算順序；簡化計算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)；選擇數(shù)值穩(wěn)定的算法，保證計算結(jié)果可靠性。2.比較迭代法和直接法求解線性方程組的優(yōu)缺點(diǎn)答案：直接法如高斯消元法，優(yōu)點(diǎn)是能在有限步內(nèi)得到精確解，適用于低階方程組；缺點(diǎn)是計算量和存儲量大。迭代法優(yōu)點(diǎn)是程序簡單、存儲量小，適用于大型稀疏矩