江西省九校2026屆高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知，，故選：B.2.已知，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】等價(jià)于或，則可以推出，不能推出，則是的充分不必要條件；故選：A.3.已知等比數(shù)列滿足，若將除以5所得余數(shù)記為，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，即，所以，則，所以，，，，，，，，，所以為周期為的周期數(shù)列，所以.故選：A.4.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋裕?故選：C.5.已知，使為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可得：，解得：，故選：B.6.已知函數(shù)，則的圖象（）A.關(guān)于對(duì)稱 B.關(guān)于對(duì)稱C.關(guān)于對(duì)稱 D.關(guān)于對(duì)稱【答案】D【解析】由，得，解得，所以的定義域?yàn)?，故A，C不正確；又，所以為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的圖象關(guān)于對(duì)稱，故B不正確，D正確故選：D.7.已知函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)C.的圖象關(guān)于對(duì)稱D.的圖象關(guān)于對(duì)稱【答案】D【解析】因?yàn)榧炔皇瞧婧瘮?shù)也不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；又，故的圖象不關(guān)于對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，故的圖象關(guān)于對(duì)稱，故D正確；故選：D.8.已知且，則的最小值為（）A.10 B.9 C.8 D.7【答案】B【解析】由題意得，，令，則，由得，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)取等號(hào)，也即，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為9，故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知的部分圖象如圖，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】由題可得，其中，設(shè)其周期為，結(jié)合題中的圖可知，，則，故A正確；所以，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，則，所以，則所以，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D正確；故選：AD.10.已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則函數(shù)在區(qū)間上一定（）A.單調(diào)遞減 B.單調(diào)遞增C.有最小值 D.無最大值【答案】BD【解析】函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，且圖象開口向上，由題意，得．又，則當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，函數(shù)既無最大值，也無最小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)既無最大值，也無最小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)既無最大值，也無最小值．綜上，在上單調(diào)遞增，無最大值．故選：BD.11.已知數(shù)列前項(xiàng)和為，且，若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由，得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，故A正確；對(duì)于B，由題意可得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，故，故B正確；對(duì)于C，由得，即時(shí)，，又，所以，所以的奇數(shù)項(xiàng)均為0，偶數(shù)項(xiàng)均為1.故，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)榧?，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量滿足，且，則向量的夾角為______.【答案】【解析】由已知得，又，所以，所以向量夾角為.故答案為：.13.已知，則__________.【答案】【解析】由已知，所以，即.故答案為：.14.已知曲線且.當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，函數(shù)的圖象公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多有__________個(gè)，此時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是_______________.【答案】①.3②.【解析】原題等價(jià)于與的圖象公共點(diǎn)最多有幾個(gè)，且此時(shí)的取值范圍問題.（1）當(dāng)時(shí)，與有2個(gè)公共點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，令，①當(dāng)時(shí)，和在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，且，所以在上只有1個(gè)零點(diǎn)，即與在上只有一個(gè)公共點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)解方程，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因此的最大值為，又時(shí)，，時(shí)，，則與在上最多有2個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)需滿足，即的范圍是，所以當(dāng)?shù)姆秶牵谏嫌?個(gè)零點(diǎn)，即與在有3個(gè)公共點(diǎn)；（3）當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，且，所以在上只有1個(gè)零點(diǎn)，即與在上只有一個(gè)公共點(diǎn)，④當(dāng)時(shí)，，令，解方程，由②知，與在上最多有2個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)需滿足，解得，所以當(dāng)?shù)姆秶?，在上?個(gè)零點(diǎn)，即與在有3個(gè)公共點(diǎn)；綜上所述，與最多3個(gè)公共點(diǎn)，.故答案為：；.四?解答題：共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知向量，函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求取得最大值時(shí)自變量的集合，并求出最大值.解：（1），∴，所以函數(shù)的最小正周期為.（2）由（1）知函數(shù)取得最大值時(shí)，，解得，故取得最大值時(shí)自變量的集合為，此時(shí)，.16.已知函數(shù)，且的圖象過點(diǎn).（1）求函數(shù)的解析式；（2）過原點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.①求切線的方程；②求的面積.解：（1）由已知得，即，所以.故.（2）①當(dāng)時(shí)，.不妨設(shè)切點(diǎn).所以.故切線的方程為.因?yàn)檫^原點(diǎn)，故，解得.所以切線的方程為.又為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故切線的方程為.所以切線的方程為.②由①可知，，由對(duì)稱性可知，為等腰三角形，其面積為.17.已知數(shù)列的首項(xiàng).（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）令，求滿足的的最小值.（1）證明：由得，，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列.（2）解：由（1）知：，所以.，所以，由已知得，即.因?yàn)?，?dāng)時(shí)，顯然，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，記，顯然在時(shí)單調(diào)遞增，且，所以.故的最小值為11.18.如圖，四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn).（1）求證：；（2）已知.①求四邊形的面積；②若與面積相等，求證：.（1）證明：由余弦定理得在中，①，在中，②，在中，③，在中，④，由③+④-①-②得：.故.（2）①解：由（1）得，又，可求得.又四邊形的面積為.②證明：由若與面積相等，因?yàn)闉楣驳走叄蕛蓚€(gè)三角形上的高相等，即，所以.設(shè).在中得：，即，在中得：.兩式相加得：，兩式相減得：，所以，故.故，所以.又，所以，由勾股定理得：.19.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)取得最值.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn).①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②證明：.（參考數(shù)據(jù)：）（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得,因?yàn)闀r(shí)取得最值，所以，即：，解得：；經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.（2）函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，由（1）知，因此