3.2.2函數(shù)的奇偶性培優(yōu)第一階——基礎過關練一、單選題1.已知f(x)=ax2+bx是定義在[a?1,2a]A．?13 B．13 C．?1答案B解析依題意得：f(?x)=f(x)，∴b=0，又a?1=?2a，∴a=13，∴a+b=12.下列說法正確的是()A．若一個函數(shù)的定義域關于坐標原點對稱，則這個函數(shù)為奇函數(shù)B．若一個函數(shù)為偶函數(shù)，則它的定義域關于坐標原點對稱C．若一個函數(shù)的定義域關于坐標原點對稱，則這個函數(shù)為偶函數(shù)D．若函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(0)=0，則f(x)是奇函數(shù)答案B解析奇偶函數(shù)的定義域一定關于原點對稱，但定義域關于原點對稱的函數(shù)不一定具有奇偶性，如y=x+1．由此可判斷A、C項錯誤，B項正確．奇函數(shù)若在原點處有定義，則f(0)=0，反之不一定成立，如y=x2，因此D項錯誤．故選3.函數(shù)f(x)=3?A．原點對稱B．軸對稱C．y軸對稱D．直線y=x對稱答案A解析根據(jù)題意，f(x)=3?x2x，有f(?x)=?3?4.如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,5]上是減函數(shù)，且最小值為6，那么f(x)在區(qū)間[?5,?1]上是()A．減函數(shù)且最大值為?6 B．增函數(shù)且最大值為6 C．減函數(shù)且最小值為?6 D．增函數(shù)且最小值為6答案A解析當?5≤x≤?1時1≤?x≤5，∴f(?x)≥6，即?f(x)≥6．從而f(x)≤?6，又奇函數(shù)在原點兩側的對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，故f(x)在[?5,?1]是減函數(shù)．故選：A．5.若偶函數(shù)f(x)在(?∞,?1]上是減函數(shù)，則()A．f(?32)<f(?1)<f(2) BC．f(2)<f(?1)<f(?32) 答案B解析根據(jù)題意，f(x)為偶函數(shù)，則f(2)=f(?2)，又由函數(shù)f(x)在(?∞,?1]上是減函數(shù)，則f(?1)<f?32<f(?2)，即二、多選題6.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x2-2x，則（）A.f(x)的最小值為?1B.f(x)在(?2,0)上單調(diào)遞減C.f(x)≤0的解集為[?2，2]D.存在實數(shù)x滿足f(x+2)+f(?x)=0答案ACD解析函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，f(x)=x2?2x=(x?1)2?1，

可得f(x)=&x2?2x,x≥0&x2+2x,x<0，可得x≥0時，f(x)在x=1時取得最小值?1，由偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，可得f(x)在R上取得最小值?1，故A正確；f(x)在(?∞,?1)遞減，在(?1,0)遞增，故B錯誤；

由&x≥0&x2?2x≤0或&x<0&三、填空題7.已知函數(shù)f(x)=x5?ax3+bx+2，答案?13解析∵gx=x∵f(?5)=17=g(?5)+2∴g(5)=?15∴f(5)=g(5)+2=?15+2=?13．8.若函數(shù)f(x)=2x?a2x+1答案?1解析可知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(?1)=f(1)，即2?1?a2?1+19.設f(x)是奇函數(shù)，且當x∈(0,+∞)時，f(x)=x(1+x)，則當x∈(?∞,0)時，f(x)等于.答案x(1?x)解析當x>0時，?x<0，代入函數(shù)在(?∞,0)上的解析式，即得f(?x)=?x(1?x)，∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(x)=?f(?x)=x(1?x).四、解答題10.已知f(x)，g(x)分別是R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f(x)+g(x)=3x2?x+1，試求f(x)答案f(x)=－x，g(x)=3解析以－x代替條件等式中的x，則有f(?x)+g(?x)=3x2+x+1，又f(x)，g(x)分別是R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，故?f(x)+g(x)=3聯(lián)立可得fx=?x，11.已知函數(shù)f(x)=ax+b1+x2是定義域為(1)用定義證明：函數(shù)f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)；(2)若實數(shù)t滿足f(2t－1)+f(t－1)<0，求實數(shù)t的范圍．答案(1)略(2)(0,解析(1)∵函數(shù)f(x)=ax+b1+x∴f(0)=b1=0，∴b=0任取x1,x∴fx∵a>0，?1<x∴x1?x2<0，∴函數(shù)f(x)在(?1,1)上是增函數(shù)．(2)∵f(2t?1)+f(t?1)<0，∴f2t?1∵函數(shù)f(x)=ax+b1+x2是定義域為(?1,1)上的奇函數(shù)，且∵函數(shù)f(x)在(?1,1)上是增函數(shù)，∴2t?1<1?t?1<2t?1<1?1<1?t<1故實數(shù)t的范圍是(0,23培優(yōu)第二階——拓展培優(yōu)練一、單選題1.若函數(shù)fA．函數(shù)fx2是奇函數(shù)B．函數(shù)C．函數(shù)f(x)?x2是奇函數(shù)D．函數(shù)答案C2.已知奇函數(shù)y=f(x)在(?∞,0)為減函數(shù)，且f(2)=0，則不等式(x?1)f(x?1)>0的解集為()A．{x|?3<x<?1} B．{x|?3<x<1或C．{x|?3<x<0或x>3}答案D解析由題意畫出f(x)的草圖如下，因為(x?1)f(x?1)>0，所以(x?1)與f(x?1)同號，由圖象可得?2<x?1<0或0<x?1<2，解得?1<x<1或1<x<3，故選：D．3.已知函數(shù)y=f(x)滿足：①y=f(x+1)是偶函數(shù)；②在[1,+∞)上為增函數(shù)，若x1<0,A.f?x1>f?x2答案D解析f(x+1)是偶函數(shù)，所以f(?x+1)=f(x+1)即f(?x)=f(x+2)由x1+x2<?2得?x14.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)為增函數(shù)，且f(3)=0，那么不等式xf(x)<0的解集是()A．(?3,?1)∪(1,3) B．(?3,0)∪(3,+∞) C．(?3,0)∪(0,3) D．(?∞,?3)∪(0,3)答案C解析∵f(x)為奇函數(shù)，且在(0,+∞)上是增函數(shù)，f(3)=0，∴f(3)=?f(?3)=0，在(?∞,0)內(nèi)是增函數(shù)∴xf(x)<0則x>0f(x)<0=f(3)或x<0f(x)>0=f(?3)根據(jù)在(?∞,0)和(0,+∞)內(nèi)是都是增函數(shù)，解得x∈(?3,0)∪(0,3)故選：5.若函數(shù)f(x)=(1?x2)(x2A．?4 B．4 C．4或?4 a．不存在答案B解析由函數(shù)f(x)=1?x2x2∴f(?x)=f(x)，即1?x整理得2axx2?1=0總成立，得令x2=t(t≥0)，則∴當t=3時，y有最大值4，即f(x)的最大值是4．故選：B．二、多選題6.若函數(shù)f(x+1)(x∈R)是奇函數(shù)，g(x)=x?f(x)是奇函數(shù)，則下列選項一定正確的是（）A.函數(shù)f(x)圖象關于點(1,0)對稱B.函數(shù)f(x)的周期為1C.f(2021)=0D.答案AC解析因為g(x)=x?f(x)是奇函數(shù)，所以g(?x)=?g(x)，即?x?f(?x)=?x?f(x)，

所以f(?x)=f(x)，f(x)是偶函數(shù)，因為f(x+1)是奇函數(shù)，所以函數(shù)f(x+1)圖像關于點(0,0)對稱，所以函數(shù)f(x)圖像關于點(1,0)對稱，因此選項A正確，

f(x+4)=f[(x+3)+1]=?f[?(x+3)+1]=?f(?x?2)=?f(x+2)=?[?f(x)]=f(x)，

所以f(x)是周期函數(shù)，最小正周期為4，故選項B錯誤

因此f(2021)=f(1)=0，故選項C正確，f(2022)=f(2)不一定為0，故選項D錯誤，故選：AC．三、填空題7.函數(shù)f(x)=4?x2答案原點解析要使函數(shù)有意義，則4?x2≥0解得?2<x<0或0<x<2，則定義域關于原點對稱．此時x+3=x+3，則函數(shù)f∵f?x=?4?x28.已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當x∈[?1,1]時，f(x)=1?x2，且f(x+1)為奇函數(shù)，則f答案?解析∵函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，∴f(?x)=f(x)．又f(x+1)為奇函數(shù)，圖象關于點(0,0)對稱，∴函數(shù)f(x)的圖象關于點(?1,0)對稱，∴fx?2=?f?x，∴函數(shù)f(x)的周期4，∴f219.已知函數(shù)f(x)=x3+2x，則不等式f(2x)+f(x?1)>0的解集為答案(1解析函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且函數(shù)f(x)為增函數(shù)，則不等式f(2x)+f(x?1)>0等價為f(2x)>?f(x?1)=f(1?x)，則2x>1?x，得3x>1，得x>13，即不等式的解集為四、解答題10.若函數(shù)f(x)的定義域是R，且對任意x,y∈R，都有fx+y答案奇函數(shù)解析在fx+y令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0.再令y=?x，則f(x?x)=f(x)+f(?x)，即f(x)+f(?x)=0，∴f?x=?f(x)，故11.已知定義在R奇函數(shù)f(x)=2(1)求a,b的值；(2)判斷并證明f(x)在R上的單調(diào)性；(3)求該函數(shù)的值域．答案(1)&a=1&b=1(2)f(x)在R上是增函數(shù)(3)解析(1)因為f(x)是R上的奇函數(shù)，所以&f(0)=0&f(?1)=?f(1)即&1?a1+b=0(2)由(1)知f(x)=2x?12x則fx因為y=2x是R上的增函數(shù)，且x1又2x1+12x所以f(x)在R上是增函數(shù)；(3)f(x)=2x?12x+1=所以?1<1?22x+1<1，即?1<f(x)<1培優(yōu)第三階——高考沙場點兵1.設函數(shù)f(x)=1?xA．f(x?1)?1 B．f(x?1)+1 C．f(x+1)?1 D．f(x+1)+1答案B解析因為f(x)=1?x1+x=?(x+1)+21+x=?1+2x+1，所以函數(shù)f(x)的對稱中心為(?1,?1)，所以將函數(shù)f(x)向右平移一個單位，向上平移一個單位，得到函數(shù)2.設f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且f(1+x)=f(?x)．若f?13A．?53 B．?13 C．答案C解析由題意得f(?x)=?f(x)，又f(1+x)=f(?x)=?f(x)，所以f(2+x)=f(x)，又f?13=13.函數(shù)f(x)的定義域為，若f(x+1)是奇函數(shù)，f(x?1)是偶函數(shù)，則()A．f(x)是奇函數(shù) B．f(x+3)是偶函數(shù) C．f(3)=0 D．f(x)=f(x+3)答案B解析由奇函數(shù)條件得f(x+1)=?f(?x+1)，由偶函數(shù)條件得f(x?1)=f(?x?1)?f(x+1)=f(?x?3)，∴?f(?x+1)=f(?x?3)?f(x)+f(x+4)=0，則f(x+8)=?f(x+4)=f(x)，即周期為8；另一方面f(x+5)=?f(x+1)=f(?x+1)?f(x+3)=f(?x+3)，即f(x+3)是偶函數(shù)．故選：B．4.已知f(x)是定義域為(?∞,+∞)的奇函數(shù)，滿足f(1?x)=f(1+x)，若A．?50 B．0 C．2 D．50答案C解析∵f(x)是奇函數(shù)，且f(1?x)=f(1+x)，∴f(1?x)=f(1+x)=?f(x?1)，f(0)=0，則f(x+2)=?f(x)，則f(x+4)=?f(x+2)=f(x)，即函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∵f(1)=2，∴f(2)=f(0)=0，f(3)=f(1?2)=f(?1)=?f(1)=?2，f(4)=f(0)=0，則f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0?2+0=0，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2+0=2，故選：C．5.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)g(x)=|x?2|f(x)的圖象關于直線x=2對稱，若f(?1)=?1，則g(3)=()A．5 B．1 C．?1 D．?5答案B解析因為g(x)的圖象關于x=2對稱，則g(x+2)=|x|f(x+2)是偶函數(shù)，g(2?x)=|?