3.3冪函數(shù)培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練一、單選題1.冪函數(shù)y=xa,y=A．a(chǎn)>b>c>d B．d>b>c>a C．d>c>b>a D．b>c>d>a答案D解析由圖象得：b>c>d>a，故選：D．2.若三個(gè)冪函數(shù)y=xa,y=A．c>b>aB．c>a>bC．a(chǎn)>b>cD．a(chǎn)>c>b答案C解析①y=xa，單調(diào)遞增，且當(dāng)x>1時(shí)，在直線y=x的上方，②y=xb，單調(diào)遞增，且當(dāng)x>1時(shí)，在直線y=x的下方，③y=xc，單調(diào)遞減，且當(dāng)x>1時(shí)，在直線y=x的下方，∴c<0；∴a>b>c．故選：3.任意兩個(gè)冪函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A．最少一個(gè)，最多三個(gè) B．最少一個(gè)，最多二個(gè)C．最少0個(gè)，最多三個(gè) D．最少0個(gè)，最多二個(gè)答案A解析所有冪函數(shù)的圖象都過(1,1)故最少1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)函數(shù)為y=x3和y=x時(shí)，它們有3個(gè)交點(diǎn)，故選4.冪函數(shù)y=f(x)經(jīng)過點(diǎn)(3,3)，則A．偶函數(shù)，且在(0,+∞)上是增函數(shù)B．偶函數(shù)，且在(0,+∞)上是減函數(shù)C．奇函數(shù)，且在(0,+∞)是減函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)，且在(0,+∞)上是增函數(shù)答案D解析設(shè)冪函數(shù)的解析式為：y=xα，將(3,3)代入解析式得：3a=35.已知冪函數(shù)f(x)=xm2?2m?3(m∈Z)A．0 B．0或2 C．0 D．2答案B解析冪函數(shù)f(x)=xm2?2m?3(m∈Z)在(0,+∞)又m∈Z，∴m=0，1，2；當(dāng)m=0時(shí)，f(x)=x當(dāng)m=1時(shí)，f(x)=x?4，其圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；當(dāng)m=2時(shí)，綜上，m的值是0或2．故選：B．二、多選題6.已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,2)A．函數(shù)f(x)是偶函數(shù) B．函數(shù)f(x)是增函數(shù) C．函數(shù)f(x)的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)(0,1) D．函數(shù)f(x)的最小值為0答案BD解析∵冪函數(shù)f(x)=xα的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,2)，∴4α=2∴f(x)是非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤，函數(shù)f(x)是增函數(shù)，故B正確，函數(shù)圖象不過(0,1)，故C錯(cuò)誤，函數(shù)的最小值是0，故D正確，故選：BD．三、填空題7.已知f(x)=ax2a+1?b+1是冪函數(shù)，則a+b=答案2解析函數(shù)f(x)=ax2a+1?b+1是冪函數(shù)，根據(jù)冪函數(shù)的定義知，&a=1&?b+1=0，解得所以a+b=2．8．冪函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)2,14，則答案1解析設(shè)f(x)=xα，則2α=14，所以9.已知α∈{?2,?1,?12,12,1,2,3}，若冪函數(shù)f(x)=xα答案?1解析∵α∈{?2,?1,?12,12∴a是奇數(shù)，且a<0，∴a=四、解答題10.已知冪函數(shù)f(x)=xα(α∈(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)證明函數(shù)f(x)在定義域上是增函數(shù)．答案(1)f(x)=x(2)解析(1)解：由(12)α=(2)證明：定義域是[0,+∞)，設(shè)任意的x2則f(x∵x2?函數(shù)f(x)在定義域上是增函數(shù)．培優(yōu)第二階——拓展培優(yōu)練一、單選題1.下列命題中：①冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(0,0)；②冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限；③當(dāng)n=0時(shí)，冪函數(shù)y=④當(dāng)n>0時(shí)，冪函數(shù)y=⑤當(dāng)n<0時(shí)，冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的函數(shù)值隨x其中正確的是()A．①和④ B．④和⑤ C．②和③ D．②和⑤答案D解析①冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，但不一定經(jīng)過點(diǎn)(0,0)，故錯(cuò)誤；②冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限，故正確；③當(dāng)n=0時(shí)，冪函數(shù)y=xn的圖象是一條直線去除④當(dāng)n>0時(shí)，如y=x2，冪函數(shù)y=xn在(0,+∞)上是增函數(shù)，但在整個(gè)定義域?yàn)椴灰欢ㄊ窃龊瘮?shù)，故錯(cuò)誤；⑤當(dāng)n<0時(shí)，冪函數(shù)y=xn在2.已知指數(shù)函數(shù)fx=ax?16+7(a>0且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)P，若定點(diǎn)P在冪函數(shù)A．B．C．D．答案A解析指數(shù)函數(shù)fx=ax?16+7(a>0且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)P，令x?16=0，解得x=16，且f(16)=1+7=8，所以f(x)的圖象恒過定點(diǎn)P(16,8)；設(shè)冪函數(shù)g(x)=xa，P在冪函數(shù)g(x)的圖象上，可得：16a=8，解得a=3.對(duì)于冪函數(shù)f(x)=x45，若0<x1A．f(x1+x22C．f(x1+x答案A解析∵冪函數(shù)f(x)=x45∴當(dāng)0<x1<x24.如圖所示是函數(shù)y=xmnA．m、n是奇數(shù)且mn<1 B．m是偶數(shù)，nC．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且mn<1 D．m、n答案C解析∵函數(shù)y=xmn的圖象的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故n在第一象限內(nèi)，函數(shù)是凸函數(shù)，故mn<1，故選：5.已知冪函數(shù)y=xpqA．p,q均為奇數(shù)，且pq>0 B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且pq>0 D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且答案D解析因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以p為偶數(shù)，且由圖象形狀判定pq<0．又因p、q互質(zhì)，所以q二、多選題6.已知冪函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)2,22A．f(x)為偶函數(shù) B．f(x)的值域是(0,+∞C．若0<x1<D．g(x)=f(x+1)?f(x)是(0,+∞答案CD解析設(shè)冪函數(shù)f(x)=xα，∴2α=22，∴α=?函數(shù)的值域?yàn)?0,+∞)，故A正確；函數(shù)為凹函數(shù)，則0<x1<g(x)=1x+1?1x，則函數(shù)g(x)在是(0,+三、填空題7.已知冪函數(shù)f(x)=(m?1)2xm2?3m+2在答案f(x)=x解析∵f(x)是冪函數(shù)，∴m?12=1，解得m=2若m=2，則f(x)=x0，在若m=0，則f(x)=x2，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，滿足條件；即8.已知冪函數(shù)f(x)=xm2?2m?3m∈N?的圖象不與答案2解析∵冪函數(shù)f(x)=xm2?2m?3m∈則m2?2m?3≤0，解得m∈[?1,3]，又由m∈N?當(dāng)m=1時(shí)，f(x)=x?4，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于當(dāng)m=2時(shí)，f(x)=x?3，函數(shù)當(dāng)m=3時(shí)，fx=x0，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于9.對(duì)冪函數(shù)f(x)=x(1)f(x)的定義域是{x|x≠0,x∈R}；(2)f(x)的值域是(0，+∞)；(3)f(x)的圖象只在第一象限；(4)f(x)在(0,+∞)上遞減；(5)f(x)是奇函數(shù)．則所有正確結(jié)論的序號(hào)是.答案(2)(3)(4)解析對(duì)冪函數(shù)f(x)=x(1)f(x)的定義域是{x|x>0,x∈R}，因此不正確；(2)f(x)的值域是(0,+∞)，正確；(3)f(x)的圖象只在第一象限，正確；(4)f(x)在(0,+∞)上遞減，正確；(5)f(x)是非奇非偶函數(shù)，因此不正確．則所有正確結(jié)論的序號(hào)是(2)(3)(4)．四、解答題10.已知冪函數(shù)f(x)=(1)若f(x)為偶函數(shù)，且在(0,+∞)上是增函數(shù)，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù)，求k的取值范圍．答案1f(x)=x解析(1)冪函數(shù)f(x)=x又∵f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)，∴32+k?又∵k∈Z，∴k=0,1,2，∵f(x)為偶函數(shù)，①當(dāng)k=0時(shí)，32+0?1②當(dāng)k=1時(shí)，32+1?1③當(dāng)k=2時(shí)，32+2?1∴k=1，f(x)=x(2)∵冪函數(shù)f(x)=x又∵f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù)，∴32+k?12∴k的取值范圍為{k∈Z|k<?1或k>3}．培優(yōu)第三階——高考沙場(chǎng)點(diǎn)兵1.若f(x)是冪函數(shù)，且滿足f(4)f(2)=3，則A．3 B．?3 C．13 D．答案C解析設(shè)f(x)=xa，∴f(4)f(2)=3，∴4a2.已知冪函數(shù)f(x)=xα和g(x)=x①f(x)和g(x)圖象都過點(diǎn)(1,1)；②f(x)和g(x)圖象都過點(diǎn)(?1,1)；③在區(qū)間&1,?&&+∞)上，增長(zhǎng)速度更快的是④在區(qū)間&1,?+∞)上，增長(zhǎng)速度更快的是則其中正確命題的序號(hào)是()A．①③ B．②③ C．①④ D．②④答案A解析由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，冪函數(shù)的圖象過定點(diǎn)(1,1)，故①正確，②錯(cuò)誤，在區(qū)間&1,?+∞)上，α越大，冪函數(shù)y=xα所以正確命題的序號(hào)是①③，故選：A．3.已知α∈?2,?1,?12,12,1,2,3．若冪函數(shù)答案?2解析α∈?2,?1,?12,1則α