人教版（2024）版數(shù)學(xué)7年級上冊第二章

有理數(shù)的運算2.3.1.1有理數(shù)的乘方知道有理數(shù)乘方的意義，能說出乘方運算、冪、底數(shù)、指數(shù)等概念.能正確進(jìn)行有理數(shù)乘方運算.2.3.1.1有理數(shù)的乘方有理數(shù)的乘方七年級數(shù)學(xué)·上冊核心內(nèi)容：乘方概念、符號法則及基礎(chǔ)運算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解：乘方、冪、底數(shù)、指數(shù)的定義及意義，掌握乘方的表示方法2.掌握：有理數(shù)乘方運算的符號規(guī)律，能準(zhǔn)確進(jìn)行乘方運算3.應(yīng)用：運用乘方解決簡單實際問題，體會“化繁為簡”的數(shù)學(xué)思想舊知銜接：1.有理數(shù)乘法法則——同號得正，異號得負(fù)，絕對值相乘；2.乘法本質(zhì)——相同加數(shù)的加法簡便運算，如3×4=3+3+3+3；3.混合運算基礎(chǔ)——已掌握加減乘除的運算順序，為后續(xù)含乘方的混合運算鋪墊情境導(dǎo)入：生活中的“倍乘”現(xiàn)象問題1：折紙中的層數(shù)變化一張白紙對折1次得2層，對折2次得4層，對折3次得8層……對折n次后，層數(shù)是多少？記錄：對折1次：2=2；對折2次：2×2=4；對折3次：2×2×2=8；對折5次：2×2×2×2×2=？問題2：細(xì)胞分裂中的數(shù)量增長一個細(xì)胞每小時分裂1次（1個變2個），3小時后細(xì)胞總數(shù)是多少？5小時后呢？記錄：1小時后：2；2小時后：2×2；3小時后：2×2×2；5小時后：2×2×2×2×2=？思考：當(dāng)相同因數(shù)的乘法中，因數(shù)個數(shù)較多時（如10個2相乘），書寫和計算都很繁瑣，有沒有簡便的表示方法？探究一：乘方的本質(zhì)——相同因數(shù)的乘法簡便運算1.概念建立觀察：2×2×2×2×2（5個2相乘），這種求n個相同因數(shù)a的積的運算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。表示方法：n個a相乘記為a，讀作“a的n次冪”或“a的n次方”。a=a×a×...×a（共n個a）其中：a——底數(shù)（相同的因數(shù)）；n——指數(shù)（相同因數(shù)的個數(shù)，正整數(shù)）2.基礎(chǔ)辨析乘方表示底數(shù)指數(shù)讀法展開形式3343的4次冪3×3×3×3(-2)-23負(fù)2的3次冪(-2)×(-2)×(-2)-2232的3次冪的相反數(shù)-(2×2×2)(1/2)1/22二分之一的2次冪(1/2)×(1/2)關(guān)鍵提醒：負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)作底數(shù)時，必須加小括號，否則符號或分母不參與乘方運算（如(-2)與-2意義完全不同）；一個數(shù)的1次冪就是它本身，指數(shù)1通常省略，如5=5探究二：有理數(shù)乘方的符號規(guī)律根據(jù)有理數(shù)乘法法則，結(jié)合乘方與乘法的關(guān)系，通過計算下列乘方，總結(jié)符號規(guī)律：正數(shù)的乘方2=2×2=4（正）2=2×2×2=8（正）(1/3)=(1/3)×(1/3)×(1/3)×(1/3)=1/81（正）結(jié)論：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)負(fù)數(shù)的乘方(-2)=(-2)×(-2)=4（正）(-2)=(-2)×(-2)×(-2)=-8（負(fù)）(-1/2)=(-1/2)×(-1/2)×(-1/2)×(-1/2)=1/16（正）(-1/2)=(-1/2)×(-1/2)=-1/32（負(fù)）結(jié)論：負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，偶次冪是正數(shù)0的乘方0=0×0=00=0×0×0×0×0=00=0結(jié)論：0的任何正整數(shù)次冪都是0記憶口訣：正冪全正不用愁，負(fù)冪符號看指數(shù)；奇次負(fù)來偶次正，0的任何次冪都為0典例解析：規(guī)范乘方運算過程題型1：直接計算乘方（確定符號→算絕對值）例1：計算(1)3；(2)(-3)；(3)-3；(4)(2/5)解：(1)3：正數(shù)的偶次冪為正，3×3×3×3=81→

結(jié)果81；

(2)(-3)：負(fù)數(shù)的奇次冪為負(fù)，3×3×3=27→

結(jié)果-27；

(3)-3：先算3=81，再取相反數(shù)

→

結(jié)果-81；

(4)(2/5)：正數(shù)的偶次冪為正，(2×2)/(5×5)=4/25→

結(jié)果4/25。題型2：乘方與四則運算結(jié)合（先乘方，后乘除，再加減）例2：計算2×(-3)-4÷(-2)解：①先算乘方：(-3)=9，(-2)=-8；

②再算乘除：2×9=18，4÷(-8)=-0.5，即-4÷(-8)=0.5；

③最后算加減：18+0.5=18.5（或37/2）；結(jié)果：18.5題型3：利用乘方解決實際問題例3：若紙的厚度為0.1mm，將紙連續(xù)對折8次后，總厚度是多少mm？解：對折n次的層數(shù)為2，總厚度=層數(shù)×單張厚度；對折8次的層數(shù)：2=256；總厚度：256×0.1=25.6（mm）；答：總厚度是25.6mm。易錯點警示：避開乘方“陷阱”易錯類型錯誤示例錯誤原因正確解法底數(shù)范圍混淆-2=(-2)×(-2)=4未加括號時，負(fù)號不屬于底數(shù)，不參與乘方-2=-(2×2)=-4分?jǐn)?shù)乘方錯誤1/2=1/(2)=1/8（此步正確）；錯例：(1/2)=1/2×3=3/2將指數(shù)與底數(shù)相乘，混淆乘方與乘法意義(1/2)=(1×1×1)/(2×2×2)=1/8符號判斷錯誤(-1)=-1，(-1)=1記錯負(fù)數(shù)乘方的符號規(guī)律，奇次冪為負(fù)、偶次冪為正記反(-1)=1（偶次正），(-1)=-1（奇次負(fù)）運算順序顛倒2×3=(2×3)=36先算乘法后算乘方，違背“先乘方后乘除”的順序2×3=2×9=18綜合提升：乘方的拓展技巧1.乘方的符號特性應(yīng)用例：已知|a-2|+(b+3)=0，求(a+b)的值。解：∵絕對值和平方數(shù)均為非負(fù)數(shù)，和為0則各自為0；

∴a-2=0→a=2；b+3=0→b=-3；

∴a+b=2+(-3)=-1；

∴(a+b)=(-1)=-1。2.乘方的規(guī)律探究例：觀察3=3，3=9，3=27，3=81，3=243……猜想3的個位數(shù)字是多少？解：個位數(shù)字周期為4：3、9、7、1循環(huán)；

2025÷4=506……1，余數(shù)為1對應(yīng)周期第一個數(shù)字；

∴3的個位數(shù)字是3。分層練習(xí)：鞏固提升基礎(chǔ)題（必做）1.計算：(-5)=______，-5=______，(1/4)=______2.計算：3×(-2)-(-1)=______3.判斷：(-1/3)與-1/3的結(jié)果相等嗎？為什么？提升題（選做）1.計算：(-0.125)×8（提示：利用乘法結(jié)合律）2.某細(xì)胞初始數(shù)量為1個，每天數(shù)量變?yōu)榍耙惶斓?倍，7天后細(xì)胞總數(shù)是多少？3.已知x=4，求x的值（提示：考慮平方的符號特性）中考鏈接：真題感知1.（2024·濟(jì)南）計算(-2)的結(jié)果是（

）A.-8B.8C.-6D.6（答案：A）2.（2024·成都）計算2+(-3)（注：任何非0數(shù)的0次冪為1）的結(jié)果是（

）A.5B.4C.3D.2（答案：A）3.（2024·廣州）已知|m+1|+(n-2)=0，則m的值為______（答案：1）課堂總結(jié)1.核心概念：乘方是相同因數(shù)乘法的簡便運算，a中a為底數(shù)，n為指數(shù)，結(jié)果為冪2.符號規(guī)律：正正任意，負(fù)奇負(fù)、負(fù)偶正，0的正整數(shù)次冪為03.運算順序：含乘方的混合運算，先算乘方，再算乘除，最后算加減作業(yè)布置-必做：課本對應(yīng)練習(xí)題（標(biāo)注每步運算依據(jù)，如“負(fù)數(shù)奇次冪為負(fù)”）-選做：收集生活中運用乘方的實例（如人口增長、細(xì)菌繁殖等），并嘗試用乘方表示其數(shù)量關(guān)系-預(yù)習(xí)：含乘方的有理數(shù)混合運算謝謝觀看！祝大家概念清晰，運算精準(zhǔn)！邊長為2cm的正方形的面積是2×2=4（cm2）棱長為2cm的正方體的體積是2×2×2=8（cm3）這兩個算式有什么特點？2×2，2×2×2都是相同乘數(shù)的乘法.為了簡便，我們將它們分別記作22，23.22讀作“2的平方”（或“2的2次方”）23讀作“2的立方”（或“2的3次方”）記作_______，記作_______，讀作______________.讀作______________.的

4次方的

5次方如果是幾個負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)相乘呢？同樣地，(-2)×(-2)×(-2)×(-2)

記作_______，讀作______________.(-2)4-2的

4次方記作_______，讀作______________.-的

5次方乘方的概念類型概念示例乘方冪底數(shù)指數(shù)求n

個相同乘數(shù)的積的運算，叫作乘方a·a·…

·a=ann個乘方的結(jié)果叫作冪在an

中，a

叫作底數(shù)在an

中，n

叫作指數(shù)an底數(shù)冪指數(shù)an

看作一種運算，讀作“a

的n

次方”；an

看作乘方的結(jié)果，也可讀作“a

的n

次冪”.讀法：特別提醒（1）an

表示n

個a

相乘，其中a

表示相同的乘數(shù)，n

表示相同乘數(shù)的個數(shù).（2）一個數(shù)可以看作這個數(shù)本身的1次方.例如，5就是51.指數(shù)1通常省略不寫.指數(shù)是2時可讀作平方，指數(shù)是3時可讀作立方.思考－24

和(－2)4

的意義一樣嗎？結(jié)果一樣嗎？－24

的意義是24

的相反數(shù)，(－2)4

的意義是－2的四次方，－24

和(－2)4

的意義不一樣.－24=－(2×2×2×2)=－16，(－2)4=(－2)×(－2)×(－2)×(－2)=16，－24

和(－2)4

的結(jié)果不一樣.例題【教材P51】例1計算：

（1）(-4)3；（2）(-2)4；（3）.解：（1）(-4)3=(-4)×(-4)×(-4)=-64；（2）(-2)4=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16；（3）.探究請再舉一些計算乘方的例子，結(jié)合例1，你發(fā)現(xiàn)負(fù)數(shù)的冪的正負(fù)與指數(shù)有什么關(guān)系？(-3)4(-5)3

(-1)5(-1)6

=81=-125=-1=1冪的奇/偶結(jié)果偶數(shù)正數(shù)奇數(shù)負(fù)數(shù)奇數(shù)負(fù)數(shù)偶數(shù)正數(shù)有理數(shù)的乘方運算的符號規(guī)律：歸納符號規(guī)律負(fù)數(shù)正數(shù)0負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)0的任何正整數(shù)次冪都是0鞏固訓(xùn)練1.把乘法形式寫成冪的形式.（1）(－3)×(－3)×(－3)×(－3)=______.（2）－5×5×5=______.(－3)4－53（2）=2.把冪的形式寫成乘法形式.（1）=拓展（1）互為相反數(shù)的兩個數(shù)的奇次冪仍然互為相反數(shù).若a+b=0，則a2n+1+b2n+1=0（n為自然數(shù)）.（2）互為相反數(shù)的兩個數(shù)的偶次冪相等.若a+b=0，則a2n=b2n

（n為正整數(shù)）.an，－an

與(－a)n

的異同點與聯(lián)系：冪an－an(－a)n相同點不同點意義不同底數(shù)不同聯(lián)系n為奇數(shù)n為偶數(shù)n為正整數(shù)指數(shù)都是nn個a相乘的積n個a相乘的積的相反數(shù)n個-a相乘的積

a

a

-a－an

=(－a)n，它們分別與an

互為相反數(shù)（a

≠0）an

=(－a)n，它們分別與－an

互為相反數(shù)（a

≠0）當(dāng)a=0時，an=－an=(－a)n=0例題【教材P52】例2用計算器計算(-8)5

和

(-3)6.解：用帶符號鍵的計算器，有(-)((-)8)5=顯示結(jié)果為-32768((-)3)6=顯示結(jié)果為729因此，(-8)5=-32768,(-3)6=729.練習(xí)1.（1）(-7)8中，底數(shù)、指數(shù)各是什么？（2）(