山西西安博愛國際學(xué)校2026屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在某次賽車中，名參賽選手的成績（單位：）全部介于到之間（包括和），將比賽成績分為五組：第一組，第二組，···，第五組，其頻率分布直方圖如圖所示.若成績在內(nèi)的選手可獲獎，則這名選手中獲獎的人數(shù)為A. B.C. D.2．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.1 B.0.2C.0.3 D.0.43．在棱長為1的正方體中，是線段上一個動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.不存在點(diǎn)使得異面直線與所成角為90°B.存在點(diǎn)使得異面直線與所成角為45°C.存在點(diǎn)使得二面角的平面角為45°D.當(dāng)時，平面截正方體所得的截面面積為4．已知矩形，，，沿對角線將折起，若二面角的余弦值為，則與之間距離為（）A. B.C. D.5．圓與圓公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.46．已知奇函數(shù)，則的解集為（）A. B.C. D.7．已知向量，．若，則（）A. B.C. D.8．上海世博會期間，某日13時至21時累計入園人數(shù)的折線圖如圖所示，那么在13時~14時，14時~15時，…，20時~21時八個時段中，入園人數(shù)最多的時段是（）A.13時~14時 B.16時~17時C.18時~19時 D.19時~20時9．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，已知向量，，且，則A.12 B.10C.5 D.10．已知，，，若，，共面，則λ等于（）A. B.3C. D.911．已知斜率為1的直線l過橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長為（）A. B.C. D.12．曲線上存在兩點(diǎn)A，B到直線到距離等于到的距離，則（）A.12 B.13C.14 D.15二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若等比數(shù)列的前n項和為，且，則__________.14．如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過橢圓上的點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，若四邊形為菱形，則該橢圓的離心率為_________.15．在中，，，的外接圓半徑為，則邊c的長為_____.16．已知圓，則圓心坐標(biāo)為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（Ⅰ）討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個數(shù)（Ⅱ）若，，求的取值范圍18．（12分）若分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是該橢圓上的一個動點(diǎn)，且（1）求橢圓的方程（2）是否存在過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，使（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，求出直線的斜率；若不存在，說明理由19．（12分）設(shè)，已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)在處切線的方程；（2）求函數(shù)在上的最大值20．（12分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，D是AC的中點(diǎn).（1）證明：AB1//面BC1D；（2）若AA1=AB，求二面角B1-AC-C1的余弦值.21．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，直線與拋物線交于兩點(diǎn).（1）求此拋物線的方程；（2）若以為直徑的圓過原點(diǎn)O，求實數(shù)k的值.22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時，設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】先根據(jù)頻率分布直方圖確定成績在內(nèi)的頻率，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】由題意可得：成績在內(nèi)的頻率為，又本次賽車中，共名參賽選手，所以，這名選手中獲獎的人數(shù)為.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖，會根據(jù)頻率分布直方圖求頻率即可，屬于?？碱}型.2、A【解析】利用正態(tài)分布的對稱性和概率的性質(zhì)即可【詳解】由，且則有：根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可知：故選：A3、D【解析】由正方體的性質(zhì)可將異面直線與所成的角可轉(zhuǎn)化為直線與所成角，而當(dāng)為的中點(diǎn)時，可得，可判斷A；與或重合時，直線與所成的角最小可判斷B；當(dāng)與重合時，二面角的平面角最小，通過計算可判斷C；過作，交于，交于點(diǎn)，由題意可得四邊形即為平面截正方體所得的截面，且四邊形是等腰梯形，然后利用已知數(shù)據(jù)計算即可判斷D.【詳解】異面直線與所成的角可轉(zhuǎn)化為直線與所成角，當(dāng)為中點(diǎn)時，，此時與所成的角為90°，所以A錯誤；當(dāng)與或重合時，直線與所成角最小，為60°，所以B錯誤；當(dāng)與重合時，二面角的平面角最小，，所以，所以C錯誤；對于D，過作，交于，交于點(diǎn)，因為，所以、分別是、的中點(diǎn)，又，所以，四邊形即為平面截正方體所得的截面，因為，且，所以四邊形是等腰梯形，作交于點(diǎn)，所以，，所以梯形的面積為，所以D正確.故選：D.4、C【解析】過點(diǎn)在平面內(nèi)作，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，以、為鄰邊作平行四邊形，連接，分析可知二面角的平面角為，利用余弦定理求出，證明出，再利用勾股定理可求得的長.【詳解】過點(diǎn)在平面內(nèi)作，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，以、為鄰邊作平行四邊形，連接，因為，，，則，因為，由等面積法可得，同理可得，由勾股定理可得，同理可得，，因為四邊形為平行四邊形，且，故四邊形為矩形，所以，，因為，所以，二面角的平面角為，在中，，，由余弦定理可得，，，，則，，因為，平面，平面，則，，由勾股定理可得.故選：C.5、D【解析】分別求出圓和圓的圓心和半徑，判斷出兩圓的位置關(guān)系可得到公切線的條數(shù).【詳解】根據(jù)題意，圓即，其圓心為，半徑；圓即，其圓心為，半徑；兩圓的圓心距，所以兩圓相離，其公切線條數(shù)有4條；故選：D.6、A【解析】先由求出的值，進(jìn)而可得的解析式，對求導(dǎo)，利用基本不等式可判斷恒成立，可判斷的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性脫掉，再解不等式即可.【詳解】的定義域為，因為是奇函數(shù)，所以，可得：，所以，經(jīng)檢驗是奇函數(shù)，符合題意，所以，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以在上單調(diào)遞增，由可得，即，解得：或，所以的解集為，故選：A.7、A【解析】根據(jù)給定條件利用空間向量平行的坐標(biāo)表示直接計算作答.【詳解】向量，，因，則，解得，所以，B，D都不正確；，C不正確，A正確.故選：A8、B【解析】要找入園人數(shù)最多的，只要根據(jù)函數(shù)圖象找出圖象中變化最大的即可【詳解】結(jié)合函數(shù)的圖象可知，在13時~14時，14時~15時，…，20時~21時八個時段中，圖象變化最快的為16到17點(diǎn)之間故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查折線統(tǒng)計圖的實際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì)及其對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得出【詳解】向量＝（，），＝（，），且?＝4，∴+＝4，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：＝……＝＝＝2，則log2（?）＝故選C【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì)及其對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題10、C【解析】由，，共面，設(shè)，列方程組能求出λ的值【詳解】∵，，共面，∴設(shè)(實數(shù)m、n)，即，∴，解得故選：C11、C【解析】根據(jù)題意求得直線l的方程，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理求得，再利用弦長公式即可得出答案.【詳解】由橢圓知，，所以，所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，消y得，，則，所以.即弦AB長為.故選：C.12、D【解析】由題可知A，B為半圓C與拋物線的交點(diǎn)，利用韋達(dá)定理及拋物線的定義即求.【詳解】由曲線，可得，即，為圓心為，半徑為7半圓，又直線為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，依題意可知A，B為半圓C與拋物線的交點(diǎn)，由，得，設(shè)，則，，∴.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】根據(jù)題意和等比數(shù)列的求和公式，求得，結(jié)合求和公式，即可求解.【詳解】因為，若時，可得，故，所以，化簡得，整理得，解得或，因為，解得，所以.故答案為：.14、【解析】根據(jù)題意可得，利用推出，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】由題意知，，將代入方程中，得，因為，所以，整理，得，又，所以，由，解得.故答案為：15、【解析】由面積公式求得，結(jié)合外接圓半徑，利用正弦定理得到邊c的長.【詳解】，從而，由正弦定理得：，解得：故答案為：16、【解析】將圓的一般方程配方程標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【詳解】圓，即，它的圓心坐標(biāo)是.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求得，分，和三種情況討論，求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的概念，即可求解；（Ⅱ）由不等式，轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，不等式恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】（Ⅰ）由題意，函數(shù)的定義域為，且，當(dāng)時，令，解得，令，解得或，故在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以有一個極值點(diǎn)；當(dāng)時，令，解得或，令，得，故在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有一個極值點(diǎn)；當(dāng)時，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以沒有極值點(diǎn)綜上所述，當(dāng)時，有個極值點(diǎn)；當(dāng)時，沒有極值點(diǎn).（Ⅱ）由，即，可得，即當(dāng)時，不等式恒成立，設(shè)，則設(shè)，則因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題3、根據(jù)恒成求解參數(shù)的取值時，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，難度較大.18、（1）；（2）存在；【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的方程.（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，利用列方程，化簡求得直線的斜率.【小問1詳解】依題意，得橢圓的方程為【小問2詳解】存在．理由如下：顯然當(dāng)直線的斜率不存在，即時，不滿足條件故由題意可設(shè)的方程為．由是直線與橢圓的兩個不同的交點(diǎn)，設(shè)，由消去y，并整理，得，則，解得，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，即存在斜率的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，使19、（1）（2）當(dāng)0≤a<2時，f（x）max=8-5a；當(dāng)a≥2時，f（x）max=-a【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于零，求得兩極值點(diǎn)，然后討論極值點(diǎn)是否在所給區(qū)間內(nèi)，再結(jié)合比較區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，可得答案.【小問1詳解】因為，所以，即a=0,所以，f（1）=1,所以切線方程：y-1=3（x-1），即.【小問2詳解】,令得,①當(dāng)a=0時，f（x）=x3在[0，2]上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以f（x）max=f（2）=8；②當(dāng)時，即a≥3時，f（x）在[0，2]上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以;③當(dāng)時，即0<a<3時，f（x）在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以f（x）=max{f（0），f（2）}，（i）若f（0）≥f（2），即2≤a<3，f（x）max=f（0）=-a，（ii）若f（0）<f（2），即0<a<2，f（x）max=f（2）=8-5a；綜上，當(dāng)0≤a<2時，f（x）max=f（2）=8-5a；當(dāng)a≥2時，f（x）max=f（0）=-a20、（1）證明見解析（2）【解析】（1），連接，證明，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；（2）說明平面，取的中點(diǎn)F，連接，以D為原點(diǎn)，分別以的方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.【小問1詳解】證明：記，連接，由直棱柱的性質(zhì)可知四邊形是矩形，則E為的中點(diǎn).因為D是的中點(diǎn)，所以，又平面平面，所以平面；【小問2詳解】因為底面是等邊三角形，D是的中點(diǎn)，所以，由直棱柱的性質(zhì)可知平面平面，平面平面，面，所以平面，取的中點(diǎn)F，連接，則兩兩垂直，故以D為原點(diǎn)，分別以的方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，從而，設(shè)平面的法向量為，則，令x=2，得，同理平面的一個法向量為，則cosm由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二面角B1-AC-C1的余弦值為.21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，可得到，可得結(jié)果.（2）假設(shè)的坐標(biāo)，得到，然后聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用韋達(dá)定理，根據(jù)，可得結(jié)