函數(shù)的奇偶性一、課時內(nèi)容：函數(shù)的奇偶性二、課時目標(biāo)1、理解函數(shù)的奇偶性及其幾何意義，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；2、學(xué)會運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性，提升直觀想象的核心素養(yǎng)；3、學(xué)會判斷函數(shù)的奇偶性，強(qiáng)化邏輯推理的核心素養(yǎng)；4.在具體問題情境中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，利用奇偶性解決函數(shù)性質(zhì)的總個問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。三、重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：函數(shù)奇偶性概念的形成和函數(shù)奇偶性的判斷；難點(diǎn)：函數(shù)奇偶性概念的探究與理解．教學(xué)過程(一)情景導(dǎo)入我們知道函數(shù)是描述事物變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，函數(shù)性質(zhì)是“變化中的規(guī)律性，變化中的不變性”．上一節(jié)課，我們共同學(xué)習(xí)了函數(shù)的單調(diào)性與最大（小）值，用符號語言準(zhǔn)確地描述了函數(shù)圖象在定義域的某個區(qū)間上“上升”（或“下降”）的性質(zhì)，本節(jié)課，我們繼續(xù)研究函數(shù)的其他性質(zhì)．（二）概念的形成問題1：平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)關(guān)于x軸、y軸、坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)Q、R、S的坐標(biāo)．追問：一般地，若兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，它們的坐標(biāo)之間有何關(guān)系？若關(guān)于y軸對稱呢？關(guān)于原點(diǎn)中心對稱呢？設(shè)計意圖：從學(xué)生已學(xué)知識復(fù)習(xí)導(dǎo)入，通過具體的點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生感受對稱與坐標(biāo)的關(guān)系，為后續(xù)奇偶性定義中的任意性做一些鋪墊．問題2：畫出并觀察函數(shù)和的圖象，你能發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？師生活動：先由學(xué)生獨(dú)立思考，教師利用PPT展示函數(shù)圖象．學(xué)生觀察后，不難發(fā)現(xiàn)，這兩個函數(shù)的圖象都關(guān)于y軸對稱．那么，如何使用符號語言精準(zhǔn)地描述“函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱”這一特征？所以，教師繼續(xù)追問．追問：對于上述兩個函數(shù)，與，與，與，與有什么關(guān)系？師生活動：先由學(xué)生獨(dú)立思考，教師積極地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)自變量取一對相反數(shù)時，相應(yīng)的兩個函數(shù)值相等．追問：對于定義域內(nèi)任意的一個x，都有成立嗎？如何驗(yàn)證我們的猜想呢？師生活動：以為例，其定義域?yàn)镽．對于定義域R內(nèi)任意的一個x，都有，與均有意義．因?yàn)?，所以是成立的．同樣的，?yàn)證函數(shù)，結(jié)論依然成立．設(shè)計意圖：通過觀察函數(shù)的圖象，思考問題，提高學(xué)生分析問題、總結(jié)問題的能力．從多個具體的實(shí)例中抽象概括出共同特征，形成較為抽象的數(shù)學(xué)語言，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)謹(jǐn)性和簡潔性，教師給出嚴(yán)格的定義表述．定義：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮，如果，都有，且，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)．問題3：從偶函數(shù)的定義出發(fā)，如何證明函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱．師生活動：先由學(xué)生獨(dú)立思考完成，再組織全班交流．教師積極地引導(dǎo)學(xué)生嘗試探索，在充分交流的基礎(chǔ)上，教師給出嚴(yán)格的定義表述．充分性：設(shè)是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，則．因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)也在函數(shù)圖象上，即．所以對任意的x，都有，所以函數(shù)是偶函數(shù)．必要性：設(shè)是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，則．記點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為Q，則．因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，即，所以點(diǎn)Q在函數(shù)圖象上，所以函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱．問題4：畫出并觀察函數(shù)和的圖象，你能發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？師生活動：教師利用PPT展示函數(shù)圖象，學(xué)生觀察圖象后回答問題．不難發(fā)現(xiàn)，這兩個函數(shù)的圖象都關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖形．那么，如何使用符號語言精準(zhǔn)地描述“函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱”這一特征？所以，教師繼續(xù)追問．追問：對于上述兩個函數(shù)，與，與，與，與有什么關(guān)系？師生活動：先由學(xué)生獨(dú)立思考完成，再組織全班交流．教師積極地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)自變量取一對相反數(shù)時，相應(yīng)的函數(shù)值與也是一對相反數(shù)．追問：對于定義域內(nèi)任意的一個x，都有成立嗎？如何驗(yàn)證我們的猜想呢？師生活動：以為例，定義域?yàn)镽．對于定義域R內(nèi)任意的一個x，，與均有意義．因?yàn)椋允浅闪⒌模瑯拥?，?yàn)證函數(shù)，結(jié)論依然成立．設(shè)計意圖：通過觀察函數(shù)的圖象，思考問題，提高學(xué)生分析問題、總結(jié)問題的能力．從多個具體的實(shí)例中抽象概括出共同特征，形成較為抽象的數(shù)學(xué)語言，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)謹(jǐn)性和簡潔性，教師給出嚴(yán)格的定義表述．定義：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮，如果，都有，且，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)．當(dāng)函數(shù)是偶函數(shù)或奇函數(shù)時，稱具有奇偶性．問題5：從奇函數(shù)的定義出發(fā)，如何證明函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．師生活動：先由學(xué)生獨(dú)立思考完成，再組織全班交流．教師積極地引導(dǎo)學(xué)生嘗試探索，在充分交流的基礎(chǔ)上，教師給出嚴(yán)格的定義表述．該問題類比問題2的證明過程．充分性：設(shè)是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，則．因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為也在函數(shù)圖象上，即．所以對任意的x，都有，所以函數(shù)是奇函數(shù)．必要性：設(shè)是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，則．記點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為Q，則．因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，即，所以點(diǎn)Q在函數(shù)圖象上，所以函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．（三）概念的辨析問題6：判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）；（2），；（3），；（4），．師生活動：先由學(xué)生獨(dú)立思考，教師再組織全班交流．答案：（1）偶函數(shù)；（2）非奇非偶函數(shù)；（3）非奇非偶函數(shù)；（4）奇函數(shù)．設(shè)計意圖：從同一個函數(shù)出發(fā)，學(xué)生更為容易進(jìn)行探究活動，得出結(jié)論．我們不難發(fā)現(xiàn)，（1）、（4）中每一個x、-x同時屬于定義域，所以與都有意義．而（2）、（3）中則無法滿足每一個x、-x同時屬于定義域，所以與無法滿足都有意義．師生共同得出結(jié)論：函數(shù)具有奇偶性的前提是函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，如不對稱則可直接判斷其為非奇非偶函數(shù)．追問：奇函數(shù)若在處有定義，師生活動：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，，．（四）概念的深化例1：判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．師生活動：本例由學(xué)生獨(dú)立思考、小組討論，可讓幾個學(xué)生進(jìn)行板書，完成后再進(jìn)行點(diǎn)評完善．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽．因?yàn)椋加?，且，所以，函?shù)為偶函數(shù)．（2）函數(shù)的定義域?yàn)镽．因?yàn)?，都有，且，所以，函?shù)為奇函數(shù)．（3）函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)椋加?，且，所以，函?shù)為奇函數(shù)．（4）函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)椋加?，且，所以，函?shù)為偶函數(shù)．（5）函數(shù)的定義域?yàn)镽．因?yàn)?，都有，且，所以，函?shù)為非奇非偶函數(shù)．另解：函數(shù)為初中階段所學(xué)的二次函數(shù)，顯然，其對稱軸為．函數(shù)圖象如右：故函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．（6）由函數(shù)解析式可得定義域?yàn)椋驗(yàn)?，都有，且，所以，函?shù)為奇函數(shù)．另解：函數(shù)圖象如右：從圖可知，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故是奇函數(shù)．追問：你能總結(jié)例題的解題過程，歸納一下利用定義判斷函數(shù)奇偶性的基本步驟嗎？設(shè)計意圖：通過追問，師生共同總結(jié)利用定義判斷函數(shù)奇偶性的基本步驟，教師給出解答示范． 第一步，首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；第二步，確定與的關(guān)系；第三步，作出相應(yīng)結(jié)論：若或，則是偶函數(shù)；若或，則是奇函數(shù)．通過具體的函數(shù)，深化學(xué)生對判斷函數(shù)奇偶性的基本步驟的理解，尤其是“首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱”；三是通過例題讓學(xué)生能夠了解有些函數(shù)是非奇非偶函數(shù)．例2（1）判斷函數(shù)的奇偶性．（2）如右圖，是函數(shù)圖象的一部分，你能根據(jù)的奇偶性畫出它在y軸左邊的圖象嗎？（3）一般地，如果知道為偶（奇）函數(shù)，那么我們可以怎樣簡化對它的研究？師生活動：本例由學(xué)生獨(dú)立思考，完成后教師再進(jìn)行點(diǎn)評完善．（1）奇函數(shù)；（2）圖象如右設(shè)計意圖：通過思考，讓學(xué)生根據(jù)奇（偶）函數(shù)的圖象的對稱性畫函數(shù)的圖象，進(jìn)一步理解函數(shù)的奇偶性。所以，我們在研究函數(shù)性質(zhì)時，只需要研究定義域的一半部分．知一半則可知全部，即縮小研究的范圍，從而達(dá)到“事半功倍”的效果，提高解題效率．（五）概念的鞏固應(yīng)用1．下列圖象表示的函數(shù)具有奇偶性的是（）解析：B選項函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，所以該函數(shù)是偶函數(shù)．其他選項的函數(shù)圖象都不具有奇偶性．答案：B設(shè)計意圖：讓學(xué)生直觀地通過函數(shù)圖象的對稱性判斷偶（奇）函數(shù)．2．判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）．答案：（1）偶函數(shù)；（2）奇函數(shù)；（3）偶函數(shù)；（4）偶函數(shù)．設(shè)計意圖：考查學(xué)生對判斷函數(shù)奇偶性的理解，提高學(xué)生的解題能力．3．函數(shù)，是奇函數(shù)，則a等于（）A．B．C．D．無法確定解：∵奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，