第2講統(tǒng)計與概率

專題復習檢測

A卷

1.（2024年新課標III）若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45,既用現(xiàn)金支付也

用非現(xiàn)金支付的概率為0.15,則不用現(xiàn)金支付的概率為（）

A.0.3B.0.4

C.0.6I）.0.7

【答案】B

2.以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各6名學生在一次數(shù)學測試中的成果（單位：分）.已知

甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為124,乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)即為甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，則x,y的值分別為（）

甲組乙組

29II66

x4125y8

74134

A.4,5B.5,4

C.4,4D.5,5

【答案】A

3.（2024年新課標川）《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學珍

寶，并成為中國古典小說四大名著.某中學為了了解本校學生閱讀四大名著的狀況，隨機調(diào)

查了100位學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》

的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該學校閱讀

過《西游記》的學生人數(shù)與該學校學生總數(shù)比值的估計值為（）

A.0.5B,0.6

C.0.7D.0.8

【答案】C

【解析】依據(jù)題意作出Venn圖如圖所示.由Venn圖可知該學校閱讀過《西游記》的學

生人數(shù)為70人，所以該學校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該學校學生總數(shù)比值的估計值為

4.（2024年廣東廣州模擬）為了了解某校高三美術(shù)生的身體狀況，抽查了部分美術(shù)生的體

重，將所得數(shù)據(jù)整理后，作出了如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右的前3個小

組的頻率之比為1：3：5,第2個小組的頻數(shù)為15,則被抽查的美術(shù)生的人數(shù)是（）

A.35B.48

C.60D.75

【答案】C

5.（2024年遼寧模擬）某面粉供應(yīng)商所供應(yīng)的某種袋裝面粉質(zhì)最（單位：kg）聽從正態(tài)分布

M10,0.I2）,現(xiàn)抽取500袋樣本,X表示抽取的面粉質(zhì)量在區(qū)間（10,10.2）內(nèi)的袋數(shù)，則*的

數(shù)學期望約為（）

注：若Z?/）,則尸（〃一。）=0.6826,P（〃一2。〈次〃+2。）=0.954

4.

A.171B.239

C.341D.477

【答案】B

【解析】設(shè)每袋面粉的質(zhì)量為Zkg,則Z?M10,0.I2）,所以〃（10＜次10.2）=:

〃（99.8＜次10.2）=:〃（〃一2。〈次〃+2。）=:乂0.9544=0.4772.由題意得X的數(shù)學期望為

500X0.4772比239.故選B.

6.為了了解高一、高二、高三學生的身體狀況，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個容量為1200

的樣本，三個年級學生人數(shù)之比依次為A：5：3,已知高一年級共抽取了240人，則高三年級

抽取的人數(shù)為人.

【答案】360

【解析】因為高一年級抽取學生的比例為需片：，所以解得k=2,故高

3

三年級抽取的人數(shù)為1200X?=360.

，十3十J

7.（2024年江蘇）已知一組數(shù)據(jù)6,7,8,8,9,10,則該組數(shù)據(jù)的方差是.

【答案】2

【解析】該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)二=《（6+7+8+8+9+10）=8,方差《=?［（6—8）2+（7—8產(chǎn)

00

2

+(8-8)+(8—8尸+(9-3)2+(10-8)2]=2

8.（2024年江蘇）從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參與志愿者服務(wù)，則選出的

2名同學中至少有1名女同學的概率是_______.

7

【答案】m

【解析】從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參與志愿者服務(wù)，基本領(lǐng)件總數(shù)〃

=Cl=10,選出的2名同學中至少有1名女同學包含的基本領(lǐng)件個數(shù)勿=C；C；+C=7,所以所

求概率夕=:志

9.（2024年四川內(nèi)江三模）有一個同學家開了一個奶茶店，該同學為了探討氣溫對熱奶茶

銷售杯數(shù)的影響，從一季度中隨機選取5天，統(tǒng)計出氣溫與熱奶茶銷售杯數(shù)，如下表：

氣溫晨℃）04121927

熱奶茶銷售杯數(shù)y15013213010494

⑴求熱奶茶銷售杯數(shù)關(guān)于氣溫的線性【可來方程尸精確到（）.1）,若某天的氣溫為

15℃,預料這天熱奶茶的銷售杯數(shù)；

（2）從表中的5天中任取兩天，求所選取兩天中至少有一天熱奶茶銷售杯數(shù)大于13。的概

率.

參考數(shù)據(jù)：42+i22+U2+272=l250,4X132+12X130+19X104+27X94=6602.

Y.x.y-nxy

AAA

參考公式：b=-------------------,a=y—bx.

沙一〃F

—1—1

【解析】⑴由表格中數(shù)據(jù),得、=5(。+4+12+19+27)=12.4,y=m(150+132+13。

+104+94)=122.

n__

^Xiyi-nxy

._____________6602—5X12.4X122__

?"=~~~1250-5X12.42°’

工nx，

a=y-bx=122-(-2.0)X12.4=146.8.

???熱奶茶銷售杯數(shù)關(guān)于氣溫的線性回來方程為y=-2.0x+146.8.

當氣溫為15c時。，可以預料熱奶茶的銷售杯數(shù)為-2.0X15+146.8=117(柏.

⑵設(shè)月表示事務(wù)“兩天中至少有一天熱奶茶銷售杯數(shù)大于130”，則p（月）二1一以力）=

1-cI=To-

10.有一款擊鼓小嬉戲規(guī)則如下：每盤嬉戲都須要云鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音

樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤嬉戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20

分,出現(xiàn)三次音樂獲得50分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除150分(即獲得一150分).設(shè)每次擊鼓出

現(xiàn)音樂的概率為;，且各次擊鼓是否出現(xiàn)音樂相互獨立.

(1)玩一盤嬉戲，求至少出現(xiàn)一次音樂的概率；

(2)設(shè)每盤嬉戲獲得的分數(shù)為凡求X的分布列；

(3)很多玩過這款嬉戲的人都發(fā)覺，玩的盤數(shù)越多，分數(shù)沒有增加反而削減了.請運用概

率統(tǒng)計的相關(guān)學問分析其中的道理.

【解析】(1)每盤嬉戲都須要擊鼓三次，每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為:，且各次擊鼓出現(xiàn)

音樂相互獨立，，玩一盤嬉戲，至少出現(xiàn)一次音樂的概率是0=1一(1一

(2)設(shè)每盤嬉戲獲得的分數(shù)為則?可能取值為一150,10,20,50,

內(nèi)=10)=《扣一34

P(x=20)=d(^(i-j)=|,

pU=50)=d(j)4

???1的分布列為

-150102050

33

P

8888

]335

(3)由⑵得￡(?=-150X§+10X1+20X§+50X§=-7,

5

???每盤嬉戲得分的平均數(shù)是一力得負分.

???玩的盤數(shù)越多，分數(shù)沒有增加反而削減了.

B卷

11.隨機變量1的概率分布規(guī)律為P(*=〃)=/%(〃=1,2,3,4),其中a是常數(shù)，則

/Jy"I1)

《%成)的值為()

A.1B.1

4

CD

?5-I

【答案】D

a8aaa5

【解析】?.?內(nèi)一）=布而（〃=1,2,3,4）,工/舒適+而=1,解得a=j,

A.〃（%增大B.〃（萬減小

C.〃（加先增大后減小D.。（心先減小后增大

【答案】D

【解析】6（a=OX；+aX；+lX；=^k故〃］乃=（r^）,x；+（a—r^）x；+

（1—號?+也因為0＜a＜l,所以〃（心先減小后增大.

13.（2024年山西臨汾模擬）為了考察某校各班參與課外書法小組的人數(shù)，從全校隨機抽

取5個班級，把每個班級參與該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù).已知樣本平均數(shù)為7,樣本方差為

4,且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為（）

A.9B.10

C.11D.12

【答案】B

【解析】不妨設(shè)樣本數(shù)據(jù)為汨，X2,心，必，照，且小＜用＜照＜用＜照，則由樣本方差為4,知

2222

U-7）+（X2-7）+U-7）+U-7）+（籌-7）2=20.若5個整數(shù)的平方和為20,則這5個

整數(shù)的平方只能在0,1,4,9,16中選?。總€數(shù)最多出現(xiàn)2次）,當這5個整數(shù)的平方中最大的

數(shù)為16時，分析可知總不滿意和為20；當這5個整數(shù)的平方中最大的數(shù)為9時，0,1,1,9,9

這組數(shù)滿意要求，此時對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)為xi=4,心=6,x&=7,必=8,*5=10；當這5個整

數(shù)的平方中最大的數(shù)不超過4時，總不滿意和為20,因此不存在滿意條件的另一組數(shù)據(jù).故

選B.

14.（2024年新課標I）為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更

有效，為此進行動物試驗.試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于

兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再支配下一輪

試驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈

只數(shù)多的藥更有效.為了便利描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施

以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得一】分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠

未治愈則乙藥得1分，甲藥得一1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥

的治愈率分別記為。和￡,一輪試驗中甲藥的得分記為尤

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗起先時都給予4分，"(/=(),1,…，8)表示“甲藥的累計得分為

/時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則R=0,A=bA=api-1+bpi+cpi+1(7=1,2,…,

7),其中a=P(1=—1),Z)=P(/=O),c=P(X=\).假設(shè)a=0.5,4=0.8.

①證明：{R+LR}(，=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列;

②求R，并依據(jù)"的值說明這種試驗方案的合理性.

【解析】(1)1的全部可能取值為-1,0,1.

〃（片=一】）=（1一a）￡,"（*=O）=a￡+（1—a）（1一月），夕（》=1）=a（1—月），

所以才的分布列為

X-101

P(1-。)Ba8+(1—。)(1一￡)。(1一￡)

（2）①證明：因為<7=0.5,￡=0.8,

所以由（1）得,a=0.4,6=0.5,c=0.1.

因此口=0.42一+0.50+0.1R+I（/=1,2,…，7）.

故0.1（A+I~A）=0.,即pi+\—p,=

4s-pi-J.

又P\—R=01W0,

所以{0+i—"}(/=0,1,2,…，7)為等比數(shù)列，公比為4,首項為隊

②由①可得,

（]48）48]

外=（份—。）+（。―伉）H---1-（。―6）+。）=-:—~~;-pi.