一、課程導入：從“特殊點”到“特殊圖像”的思維銜接演講人CONTENTS課程導入：從“特殊點”到“特殊圖像”的思維銜接知識筑基：從頂點式到頂點在x軸上的條件推導應用突破：頂點在x軸上的頂點式解題類型與方法思維提升：從“特殊條件”到“一般規(guī)律”的遷移總結與作業(yè)布置目錄2025九年級數(shù)學下冊二次函數(shù)圖像頂點在x軸上的頂點式應用課件01課程導入：從“特殊點”到“特殊圖像”的思維銜接課程導入：從“特殊點”到“特殊圖像”的思維銜接作為一線數(shù)學教師，我常在課堂上觀察到一個有趣的現(xiàn)象：當學生初次接觸二次函數(shù)圖像時，總會對“頂點”這個特殊點產生濃厚興趣——它是拋物線的最高點或最低點，是對稱軸與拋物線的交點，也是函數(shù)取得最值的位置。而在所有頂點位置中，“頂點在x軸上”的情況尤為特殊：此時拋物線僅與x軸有一個公共點（即頂點本身），圖像呈現(xiàn)“觸而不穿”的相切狀態(tài)。這種特殊的位置關系不僅是二次函數(shù)圖像性質的典型體現(xiàn)，更是解決解析式求解、參數(shù)范圍確定、實際問題建模等題型的關鍵突破口。今天，我們就圍繞“二次函數(shù)圖像頂點在x軸上的頂點式應用”展開深入探討。02知識筑基：從頂點式到頂點在x軸上的條件推導1二次函數(shù)頂點式的基本形式回顧要研究頂點在x軸上的二次函數(shù)，首先需要明確頂點式的標準表達式。二次函數(shù)的頂點式為：(y=a(x-h)^2+k)其中，((h,k))是拋物線的頂點坐標，(a)決定拋物線的開口方向（(a>0)開口向上，(a<0)開口向下）和開口大?。?|a|)越大，開口越窄）。在過往的學習中，我們已經通過配方法驗證了頂點式與一般式(y=ax^2+bx+c)的轉換關系：通過配方可得(y=a\left(x+\frac{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a})，因此頂點坐標為(\left(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))。這一轉換過程是理解頂點位置與系數(shù)關系的基礎。1二次函數(shù)頂點式的基本形式回顧2.2頂點在x軸上的核心條件：縱坐標(k=0)當頂點落在x軸上時，頂點的縱坐標必然為0，即(k=0)。此時，頂點式可簡化為：(y=a(x-h)^2)這是頂點在x軸上的二次函數(shù)的最簡頂點式。從幾何意義上看，此時拋物線與x軸僅有一個公共點（頂點），即圖像與x軸相切；從代數(shù)意義上看，對應的一元二次方程(a(x-h)^2=0)有兩個相等的實數(shù)根（即重根），根為(x=h)（二重根）。1二次函數(shù)頂點式的基本形式回顧2.3頂點在x軸上的等價條件：判別式(\Delta=0)為了更全面地理解這一條件，我們可以從一般式的角度推導。對于二次函數(shù)(y=ax^2+bx+c)，其對應的一元二次方程(ax^2+bx+c=0)的判別式為(\Delta=b^2-4ac)。當拋物線頂點在x軸上時，方程有兩個相等的實數(shù)根，因此判別式(\Delta=0)。結合頂點式與一般式的頂點坐標關系，頂點縱坐標(k=\frac{4ac-b^2}{4a})，當(k=0)時，(\frac{4ac-b^2}{4a}=0)，即(4ac-b^2=0)，也就是(b^2=4ac)，這與判別式(\Delta=b^2-4ac=0)完全一致。這說明：頂點在x軸上的二次函數(shù)，其頂點式中的(k=0)與一般式中的判別式(\Delta=0)是等價條件。1二次函數(shù)頂點式的基本形式回顧這一結論是后續(xù)解題的核心依據(jù)，無論是通過頂點式直接分析，還是通過一般式結合判別式求解，本質上都是在利用“頂點縱坐標為0”這一幾何條件。03應用突破：頂點在x軸上的頂點式解題類型與方法應用突破：頂點在x軸上的頂點式解題類型與方法3.1類型一：已知頂點在x軸上，求二次函數(shù)解析式解題關鍵：利用頂點式(y=a(x-h)^2)，結合其他已知條件（如圖像過某點、對稱軸位置等）確定參數(shù)(a)和(h)。例1：已知二次函數(shù)圖像的頂點在x軸上，且經過點((2,8))，對稱軸為直線(x=1)，求該二次函數(shù)的解析式。分析：由對稱軸為(x=1)，可知頂點橫坐標(h=1)；頂點在x軸上，故頂點式為(y=a(x-1)^2)；圖像過點((2,8))，代入得(8=a(2-1)^2)，解得(a=8)；應用突破：頂點在x軸上的頂點式解題類型與方法因此，解析式為(y=8(x-1)^2=8x^2-16x+8)。易錯提醒：部分學生易混淆頂點式中(h)的符號（如將對稱軸(x=1)錯誤寫為(h=-1)），需強調頂點式中((x-h))的形式，(h)與對稱軸的數(shù)值一致。3.2類型二：已知頂點在x軸上，求參數(shù)的取值范圍解題關鍵：利用頂點縱坐標(k=0)或判別式(\Delta=0)建立方程，求解參數(shù)值。例2：二次函數(shù)(y=(m-1)x^2+2mx+m+3)的圖像頂點在x軸上，求(m)的值。應用突破：頂點在x軸上的頂點式解題類型與方法分析：方法一（頂點式法）：將一般式化為頂點式。頂點縱坐標(k=\frac{4ac-b^2}{4a})，其中(a=m-1)，(b=2m)，(c=m+3)。由頂點在x軸上，(k=0)，即：[\frac{4(m-1)(m+3)-(2m)^2}{4(m-1)}=0]分子為0時等式成立（分母(m-1\neq0)，否則不是二次函數(shù)）：應用突破：頂點在x軸上的頂點式解題類型與方法[4(m^2+2m-3)-4m^2=0\implies8m-12=0\impliesm=\frac{3}{2}]方法二（判別式法）：二次函數(shù)與x軸僅有一個交點，故判別式(\Delta=0)：[(2m)^2-4(m-1)(m+3)=0\implies4m^2-4(m^2+2m-3)=0\implies-8m+12=0\impliesm=\frac{3}{2}應用突破：頂點在x軸上的頂點式解題類型與方法]總結：兩種方法本質相同，判別式法更直接，適用于一般式已知的情況；頂點式法更直觀反映幾何意義，適合頂點坐標易確定的場景。3類型三：實際問題中的頂點在x軸上的應用解題關鍵：將實際問題抽象為二次函數(shù)模型，利用“頂點在x軸上”的條件求解最值或特定位置。例3：某運動員投擲鉛球，鉛球的運動軌跡可近似為二次函數(shù)圖像。已知鉛球出手點A的坐標為((0,1.8))，落地點B在x軸上，且軌跡的最高點C在x軸上（即頂點在x軸上），求鉛球的運動軌跡解析式。分析：設軌跡的頂點式為(y=a(x-h)^2)（頂點C在x軸上，故(k=0)）；鉛球經過出手點(A(0,1.8))，代入得(1.8=a(0-h)^2\impliesa=\frac{1.8}{h^2})；3類型三：實際問題中的頂點在x軸上的應用鉛球落地點B在x軸上，且軌跡關于對稱軸對稱，故B點坐標為((2h,0))（因為頂點橫坐標為(h)，對稱軸為(x=h)，A點橫坐標為0，到對稱軸的距離為(h)，則B點橫坐標為(h+h=2h)）；但題目未直接給出B點坐標，需結合物理意義：鉛球落地時(y=0)，而頂點C即為最高點，也是軌跡的最高點，因此頂點C的橫坐標(h)是鉛球運動到最高點時的水平距離，此時(y=0)（頂點在x軸上），說明鉛球的最高點恰好觸地？這顯然不符合實際——這里可能存在對題意的誤解。修正分析：題目中“軌跡的最高點C在x軸上”應為“軌跡的頂點（最高點）在x軸上方，但題目表述可能有誤”？不，原題明確“頂點在x軸上”，因此需重新理解：鉛球的運動軌跡是開口向下的拋物線（因為有最高點），頂點在x軸上，3類型三：實際問題中的頂點在x軸上的應用說明鉛球的最高點恰好位于x軸上，即鉛球在最高點時觸地，這顯然不符合實際投擲場景，可能題目中的“落地點B在x軸上”與“頂點在x軸上”是同一位置，即鉛球出手后先上升到頂點（x軸上），再下落，但由于頂點在x軸上，拋物線開口向下，因此鉛球的軌跡是從A點((0,1.8))向上到頂點((h,0))，再向下，但此時頂點是最高點，而(y=0)低于出手點的(y=1.8)，矛盾。結論：實際問題中，頂點在x軸上的二次函數(shù)通常對應“物體運動到最高點時恰好落地”（如水平拋出的物體），或“拋物線型建筑的頂部與地面相切”（如橋拱的最低點在地面上）。例如，若題目改為“某拋物線型橋拱的頂點在水面（x軸）上，拱高為0”，則符合實際。這提醒我們在解題時需結合實際情境驗證合理性，避免機械套用公式。04思維提升：從“特殊條件”到“一般規(guī)律”的遷移1頂點位置與函數(shù)性質的關聯(lián)頂點在x軸上是頂點位置的特殊情況，其本質是“函數(shù)的最值為0”（當(a>0)時，最小值為0；當(a<0)時，最大值為0）。這一性質可推廣到頂點在其他直線上的情況（如頂點在y軸上，即(h=0)），其分析方法類似：通過頂點坐標的橫、縱坐標滿足特定條件（如(h=0)或(k=m)），結合頂點式或判別式求解參數(shù)。2數(shù)學思想的滲透數(shù)形結合思想：頂點在x軸上的幾何意義（圖像與x軸相切）與代數(shù)意義（判別式(\Delta=0)）的對應，是數(shù)形結合的典型體現(xiàn)；方程思想：通過建立頂點縱坐標為0的方程（或判別式等于0的方程），將幾何問題轉化為代數(shù)問題求解；分類討論思想：當二次項系數(shù)含參數(shù)時，需先判斷是否為二次函數(shù)（(a\neq0)），再結合頂點條件求解。3213常見誤區(qū)與應對策略誤區(qū)1：混淆頂點式中(h)的符號。例如，對稱軸為(x=-3)時，錯誤地寫成(y=a(x+3)^2+k)（正確應為(y=a(x-(-3))^2+k=a(x+3)^2+k)，此處符號正確，需注意頂點式中是((x-h))，因此(h=-3)時，表達式為((x+3))）。誤區(qū)2：忽略二次函數(shù)的定義。當題目中二次項系數(shù)含參數(shù)時，需先保證(a\neq0)（如例2中(m-1\neq0)），否則函數(shù)退化為一次函數(shù)，不存在頂點。誤區(qū)3：實際問題中忽略情境合理性。如例3中若頂點在x軸上，需驗證是否符合物理運動規(guī)律（如鉛球的最高點不可能低于出手點），必要時調整模型。05總結與作業(yè)布置1核心知識回顧頂點在x軸上的二次函數(shù)頂點式：(y=a(x-h)^2)（(a\neq0)）；等價條件：頂點縱坐標(k=0)或判別式(\Delta=b^2-4ac=0)；應用類型：求解析式、求參數(shù)值、解決實際問題；關鍵思想：數(shù)形結合、方程思想、分類討論。020103042課后作業(yè)已知二次函數(shù)圖像的頂點在x軸上，且經過點((-1,4))，對稱軸為直線(x=2)，求解析式；若二次函數(shù)(y=kx^2+(k-1)x-1)的頂點在x軸上，求(k)的值；