一、教學(xué)背景分析：為何聚焦這一問題？演講人CONTENTS教學(xué)背景分析：為何聚焦這一問題？教學(xué)目標設(shè)計：三維目標的精準定位教學(xué)過程：從已知到未知的邏輯進階課堂總結(jié)：知識網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建與思想方法的提煉課后作業(yè)：分層設(shè)計，促進能力提升目錄2025九年級數(shù)學(xué)下冊二次函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱后的頂點坐標示例課件作為深耕初中數(shù)學(xué)教學(xué)十余年的一線教師，我始終相信：數(shù)學(xué)知識的學(xué)習不應(yīng)是孤立的公式記憶，而應(yīng)是邏輯鏈條的自然延伸。今天，我們將聚焦“二次函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱后的頂點坐標”這一核心問題，通過“溫故知新—問題驅(qū)動—探究規(guī)律—應(yīng)用拓展”的遞進式路徑，揭開這一知識點的本質(zhì)。01教學(xué)背景分析：為何聚焦這一問題？1教材地位與前后關(guān)聯(lián)二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)“函數(shù)”板塊的核心內(nèi)容，也是高中階段學(xué)習二次曲線、導(dǎo)數(shù)等知識的重要基礎(chǔ)。人教版九年級下冊第二十一章“二次函數(shù)”中，教材已系統(tǒng)講解了二次函數(shù)的圖像（拋物線）的開口方向、頂點坐標、對稱軸等基本性質(zhì)，以及圖像平移、關(guān)于x軸/y軸對稱變換的規(guī)律。而“關(guān)于原點對稱”作為一種特殊的中心對稱變換，既是對“點的對稱變換”知識的延伸，也是對函數(shù)圖像變換體系的完善——至此，學(xué)生將完整掌握拋物線的“平移、軸對稱、中心對稱”三大基本變換類型。2學(xué)生學(xué)情與認知起點經(jīng)過前階段學(xué)習，學(xué)生已能熟練：①用頂點式(y=a(x-h)^2+k)或一般式(y=ax^2+bx+c)表示二次函數(shù)；②通過配方法或公式法求頂點坐標((h,k))（其中(h=-\frac{2a},k=\frac{4ac-b^2}{4a})）；③理解點((x,y))關(guān)于原點對稱后的坐標為((-x,-y))。但學(xué)生可能存在的認知障礙在于：如何將“點的對稱”推廣到“圖像的對稱”？函數(shù)表達式會發(fā)生怎樣的變化？頂點坐標的變換規(guī)律是否與普通點一致？這些正是本節(jié)課需要突破的關(guān)鍵。02教學(xué)目標設(shè)計：三維目標的精準定位教學(xué)目標設(shè)計：三維目標的精準定位基于課程標準與學(xué)生實際，本節(jié)課的教學(xué)目標可細化為：1知識與技能目標STEP1STEP2STEP3理解二次函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱的幾何意義（即圖像上每一點關(guān)于原點的對稱點都在新圖像上）；掌握“原函數(shù)頂點坐標((h,k))與對稱后函數(shù)頂點坐標((h',k'))”的對應(yīng)關(guān)系（(h'=-h,k'=-k)）；能通過頂點式或一般式推導(dǎo)對稱后函數(shù)的表達式，并驗證頂點坐標的正確性。2過程與方法目標通過“具體函數(shù)→特殊點→圖像整體”的探究過程，體會從特殊到一般的歸納思想；通過“代數(shù)推導(dǎo)+幾何驗證”的雙重路徑，深化函數(shù)表達式與圖像變換的關(guān)聯(lián)理解；通過對比“關(guān)于x軸、y軸、原點對稱”的變換差異，提升分類討論能力。3情感態(tài)度與價值觀目標感受數(shù)學(xué)變換中的對稱美（原點對稱的圖像具有“旋轉(zhuǎn)180后與原圖重合”的幾何特性）；通過自主探究與合作交流，增強解決復(fù)雜問題的信心，體會數(shù)學(xué)知識的邏輯連貫性。03教學(xué)過程：從已知到未知的邏輯進階1溫故知新：喚醒已有知識儲備（課堂片段）“同學(xué)們，上節(jié)課我們學(xué)習了二次函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱的變換。請大家回憶：若原函數(shù)為(y=2(x-3)^2+4)，關(guān)于y軸對稱后的函數(shù)表達式是什么？頂點坐標如何變化？”學(xué)生思考后回答：“關(guān)于y軸對稱時，圖像左右翻轉(zhuǎn)，頂點橫坐標取相反數(shù)，縱坐標不變。所以新函數(shù)是(y=2(x+3)^2+4)，頂點從(3,4)變?yōu)?-3,4)?！弊穯枺骸澳顷P(guān)于x軸對稱呢？”學(xué)生補充：“關(guān)于x軸對稱時，圖像上下翻轉(zhuǎn)，頂點縱坐標取相反數(shù)，橫坐標不變。新函數(shù)是(y=-2(x-3)^2-4)，頂點變?yōu)?3,-4)。”設(shè)計意圖：通過復(fù)習“關(guān)于x軸、y軸對稱”的變換規(guī)律，強化“頂點坐標隨對稱變換變化”的直觀認知，為“關(guān)于原點對稱”的學(xué)習埋下伏筆。2問題驅(qū)動：提出核心探究任務(wù)“如果將拋物線繞原點旋轉(zhuǎn)180（即關(guān)于原點對稱），圖像會如何變化？頂點坐標又會怎樣？”展示幾何畫板動態(tài)演示：原拋物線(y=(x-2)^2+1)（頂點(2,1)），點擊“關(guān)于原點對稱”按鈕后，新拋物線頂點變?yōu)?-2,-1)，圖像開口方向相反（原開口向上，新開口向下）。學(xué)生觀察后提出猜想：“頂點坐標可能是原頂點的橫、縱坐標都取相反數(shù)？”“開口方向可能相反，因為旋轉(zhuǎn)180后，原來的‘向上’會變成‘向下’。”設(shè)計意圖：通過直觀演示激發(fā)興趣，引導(dǎo)學(xué)生從“觀察現(xiàn)象”到“提出猜想”，完成思維的第一次跳躍。3探究規(guī)律：從具體到一般的推導(dǎo)驗證3.1從特殊點出發(fā)：驗證猜想的合理性取原函數(shù)(y=a(x-h)^2+k)圖像上的任意一點((x,y))，其關(guān)于原點的對稱點為((-x,-y))。由于新圖像是原圖像關(guān)于原點的對稱圖形，因此點((-x,-y))必在新圖像上。設(shè)新函數(shù)表達式為(y'=a'(x-h')^2+k')，則對于任意(x)，有：(-y=a'(-x-h')^2+k')而原函數(shù)中(y=a(x-h)^2+k)，代入得：(-[a(x-h)^2+k]=a'(-x-h')^2+k')整理右邊：(a'(x+h')^2+k')3探究規(guī)律：從具體到一般的推導(dǎo)驗證3.1從特殊點出發(fā)：驗證猜想的合理性要使等式對所有(x)成立，需系數(shù)對應(yīng)相等：二次項系數(shù)：(-a=a')（即(a'=-a)）；一次項系數(shù)與常數(shù)項：展開后比較可得(h'=-h)（因((x-h)^2=(x+(-h))^2)，與右邊((x+h')^2)對比）；常數(shù)項：(-k=k')（即(k'=-k)）。因此，新函數(shù)表達式為(y=-a(x+h)^2-k)，其頂點坐標為((-h,-k))，與原頂點((h,k))關(guān)于原點對稱。3探究規(guī)律：從具體到一般的推導(dǎo)驗證3.2用一般式驗證：確保結(jié)論的普適性若原函數(shù)為一般式(y=ax^2+bx+c)，其頂點坐標為(\left(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))。設(shè)對稱后的函數(shù)為(y'=a'x^2+b'x+c')，根據(jù)原點對稱的定義，原函數(shù)上點((x,y))的對稱點((-x,-y))在新函數(shù)上，故：(-y=a'(-x)^2+b'(-x)+c')，即(-y=a'x^2-b'x+c')。又(y=ax^2+bx+c)，代入得：(-ax^2-bx-c=a'x^2-b'x+c')。3探究規(guī)律：從具體到一般的推導(dǎo)驗證3.2用一般式驗證：確保結(jié)論的普適性比較系數(shù)得：(a'=-a)，(-b'=-b)（即(b'=b)），(c'=-c)。因此，新函數(shù)為(y=-ax^2-bx-c)，其頂點坐標為：(h'=-\frac{b'}{2a'}=-\frac{2(-a)}=\frac{2a}=-\left(-\frac{2a}\right)=-h)，(k'=\frac{4a'c'-(b')^2}{4a'}=\frac{4(-a)(-c)-b^2}{4(-a)}=\frac{4ac-b^2}{-4a}=-\left(\frac{4ac-b^2}{4a}\right)=-k)。3探究規(guī)律：從具體到一般的推導(dǎo)驗證3.2用一般式驗證：確保結(jié)論的普適性這與頂點式推導(dǎo)的結(jié)論完全一致——對稱后的頂點坐標為原頂點的橫、縱坐標取相反數(shù)。3探究規(guī)律：從具體到一般的推導(dǎo)驗證3.3對比辨析：明確不同對稱變換的差異通過表格對比三種對稱變換的規(guī)律（表1），幫助學(xué)生系統(tǒng)記憶：|對稱類型|原頂點((h,k))|新頂點((h',k'))|新函數(shù)表達式（頂點式）|開口方向變化||----------|-------------------|----------------------|------------------------|--------------||關(guān)于x軸|((h,k))|((h,-k))|(y=-a(x-h)^2-k)|相反||關(guān)于y軸|((h,k))|((-h,k))|(y=a(x+h)^2+k)|相同|3探究規(guī)律：從具體到一般的推導(dǎo)驗證3.3對比辨析：明確不同對稱變換的差異|關(guān)于原點|((h,k))|((-h,-k))|(y=-a(x+h)^2-k)|相反|設(shè)計意圖：通過代數(shù)推導(dǎo)（頂點式、一般式）與幾何直觀（動態(tài)演示）的雙重驗證，以及與其他對稱變換的對比，深化學(xué)生對“原點對稱后頂點坐標變化規(guī)律”的理解，避免機械記憶。4示例講解：從規(guī)律到應(yīng)用的實踐轉(zhuǎn)化4.1基礎(chǔ)示例：已知頂點式求對稱后的頂點坐標例1：已知二次函數(shù)(y=3(x-2)^2+5)，求其圖像關(guān)于原點對稱后的頂點坐標及函數(shù)表達式。分析：原頂點為((2,5))，根據(jù)規(guī)律，對稱后頂點為((-2,-5))；原系數(shù)(a=3)，對稱后(a'=-3)。解答：新函數(shù)表達式為(y=-3(x+2)^2-5)，頂點坐標為((-2,-5))。驗證：取原函數(shù)上一點((2,5))（頂點），其對稱點為((-2,-5))，代入新函數(shù)得(y=-3(-2+2)^2-5=-5)，符合；再取原函數(shù)上一點((3,8))（當(x=3)時，(y=3(1)^2+5=8)），其對稱點為((-3,-8))，代入新函數(shù)得(y=-3(-3+2)^2-5=-3(1)-5=-8)，驗證成立。4示例講解：從規(guī)律到應(yīng)用的實踐轉(zhuǎn)化4.2提升示例：已知一般式求對稱后的頂點坐標例2：二次函數(shù)(y=-2x^2+4x-1)的圖像關(guān)于原點對稱后，求新函數(shù)的頂點坐標。分析：方法一（先求原頂點，再變換）：原頂點橫坐標(h=-\frac{2a}=-\frac{4}{2\times(-2)}=1)，縱坐標(k=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4\times(-2)\times(-1)-16}{4\times(-2)}=\frac{8-16}{-8}=1)，故原頂點為((1,1))，對稱后頂點為((-1,-1))。4示例講解：從規(guī)律到應(yīng)用的實踐轉(zhuǎn)化4.2提升示例：已知一般式求對稱后的頂點坐標方法二（直接求新函數(shù)的頂點）：新函數(shù)表達式為(y=2x^2-4x+1)（(a'=-a=2,b'=-b=-4,c'=-c=1)），其頂點橫坐標(h'=-\frac{b'}{2a'}=-\frac{-4}{2\times2}=1)？這里出現(xiàn)矛盾，說明學(xué)生可能在此處混淆符號。糾正：原一般式對稱后的函數(shù)表達式應(yīng)為(y=-a(-x)^2-b(-x)-c=-ax^2+bx-c)（之前的推導(dǎo)中，我可能犯了一個筆誤?。?。正確推導(dǎo)應(yīng)為：原函數(shù)上點((x,y))關(guān)于原點的對稱點是((-x,-y))，代入新函數(shù)得(-y=a'(-x)^2+b'(-x)+c')，即(-y=a'x^2-b'x+c')，4示例講解：從規(guī)律到應(yīng)用的實踐轉(zhuǎn)化4.2提升示例：已知一般式求對稱后的頂點坐標而原函數(shù)(y=ax^2+bx+c)，故(-(ax^2+bx+c)=a'x^2-b'x+c')，因此(a'=-a)，(-b'=-b)（即(b'=b)），(c'=-c)。所以新函數(shù)應(yīng)為(y=-ax^2+bx-c)（而非之前的(-ax^2-bx-c)），這是關(guān)鍵錯誤！重新計算例2：原函數(shù)(y=-2x^2+4x-1)，對稱后新函數(shù)為(y=2x^2+4x+1)（(a'=-(-2)=2)，(b'=4)，(c'=-(-1)=1)）。4示例講解：從規(guī)律到應(yīng)用的實踐轉(zhuǎn)化4.2提升示例：已知一般式求對稱后的頂點坐標其頂點橫坐標(h'=-\frac{b'}{2a'}=-\frac{4}{2\times2}=-1)，縱坐標(k'=\frac{4a'c'-(b')^2}{4a'}=\frac{4\times2\times1-16}{8}=\frac{8-16}{8}=-1)，即頂點((-1,-1))，與原頂點((1,1))關(guān)于原點對稱，驗證正確。教學(xué)反思：此處的筆誤暴露了“一般式對稱變換”中符號處理的復(fù)雜性，教師需強調(diào)：關(guān)于原點對稱時，(x)替換為(-x)，(y)替換為(-y)，因此正確的代入應(yīng)為(-y=a(-x)^2+b(-x)+c)，即(y=-ax^2+bx-c)。這一步的詳細推導(dǎo)能有效避免學(xué)生因符號錯誤導(dǎo)致的結(jié)論偏差。4示例講解：從規(guī)律到應(yīng)用的實踐轉(zhuǎn)化4.3綜合示例：結(jié)合圖像變換的實際問題例3：如圖（此處可插入示意圖），拋物線(C_1)的頂點為(A(1,3))，且過點(B(2,1))。將(C_1)關(guān)于原點對稱得到拋物線(C_2)，求(C_2)的頂點坐標及表達式。解答：求(C_1)的表達式：設(shè)(C_1)為(y=a(x-1)^2+3)，代入(B(2,1))得(1=a(1)^2+3)，解得(a=-2)，故(C_1:y=-2(x-1)^2+3)。求(C_2)的頂點：(A(1,3))關(guān)于原點對稱的點為(A'(-1,-3))。4示例講解：從規(guī)律到應(yīng)用的實踐轉(zhuǎn)化4.3綜合示例：結(jié)合圖像變換的實際問題求(C_2)的表達式：(a'=-a=2)，故(C_2:y=2(x+1)^2-3)。01驗證：取(C_1)上點(B(2,1))，其對稱點為(B'(-2,-1))，代入(C_2)得(y=2(-2+1)^2-3=2(1)-3=-1)，符合。02設(shè)計意圖：通過基礎(chǔ)、提升、綜合三類示例，覆蓋“頂點式→一般式→實際問題”的應(yīng)用場景，幫助學(xué)生在不同情境中靈活運用規(guī)律，同時暴露并糾正符號處理的常見錯誤。035課堂練習：分層鞏固，檢測學(xué)習效果基礎(chǔ)題：求下列二次函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱后的頂點坐標：①(y=4(x+5)^2-7)（答案：((-5,7))）；②(y=-\frac{1}{2}x^2+3x+2)（先求原頂點((3,\frac{13}{2}))，對稱后((-3,-\frac{13}{2}))）。拓展題：若二次函數(shù)(y=ax^2+bx+c)關(guān)于原點對稱后的圖像與原圖像重合，求(a,b,c)滿足的條件。（提示：重合意味著表達式相同，即(-ax^2+bx-c=ax^2+bx+c)，解得(a=0,c=0)，但(a=0)時不是二次函數(shù)，故不存在這樣的二次函數(shù)）。設(shè)計意圖：基礎(chǔ)題鞏固頂點坐標變換規(guī)律，拓展題深化對“對稱后圖像重合”的理解，培養(yǎng)逆向思維。04課堂總結(jié)：知識網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建與思想方法的提煉1核心知識回顧二次函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱的本質(zhì)：圖像上每一點((x,y))的對稱點((-x,-y))都在新圖像上；頂點坐標變換規(guī)律：原頂點((h,k))對稱后變?yōu)?(-h,-k))；函數(shù)表達式變換規(guī)律：頂點式(y=a(x-h)^2+k)變?yōu)?y=-a(x+h)^2-k)；一般式(y=ax^2