一、課程導(dǎo)入：從生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)本質(zhì)的聯(lián)結(jié)演講人CONTENTS課程導(dǎo)入：從生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)本質(zhì)的聯(lián)結(jié)知識鋪墊：從點的對稱到圖像的對稱核心探究：二次函數(shù)關(guān)于原點對稱的解析式推導(dǎo)典型例題：從理論到實踐的跨越總結(jié)與升華：從“知其然”到“知其所以然”目錄2025九年級數(shù)學(xué)下冊二次函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱后的解析式課件01課程導(dǎo)入：從生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)本質(zhì)的聯(lián)結(jié)課程導(dǎo)入：從生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)本質(zhì)的聯(lián)結(jié)各位同學(xué)，當(dāng)我們在平靜的湖面投下一顆石子，漣漪會以落點為中心向四周對稱擴(kuò)散；當(dāng)我們站在鏡子前，鏡中的“自己”與現(xiàn)實中的“自己”關(guān)于鏡面成軸對稱。這些生活中的對稱現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)中被抽象為“圖形變換”的重要分支。今天，我們要探討的是二次函數(shù)圖像的一種特殊對稱變換——關(guān)于原點對稱。這不僅是對二次函數(shù)圖像性質(zhì)的深化理解，更是培養(yǎng)我們用代數(shù)方法研究幾何變換能力的關(guān)鍵一課。作為一線數(shù)學(xué)教師，我曾目睹許多同學(xué)在處理對稱變換時因符號混淆而卡殼，也見證過他們通過嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)突破難點后的雀躍。希望今天的課程能讓大家既掌握方法，又感受數(shù)學(xué)“數(shù)”與“形”交融的魅力。02知識鋪墊：從點的對稱到圖像的對稱1二次函數(shù)的基本形式與圖像特征回顧要研究二次函數(shù)圖像的對稱變換，首先需要明確二次函數(shù)的三種常見表達(dá)式及其圖像特征：一般式：(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)），圖像為拋物線，開口方向由(a)的正負(fù)決定（(a>0)向上，(a<0)向下），頂點坐標(biāo)為(\left(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))，對稱軸為直線(x=-\frac{2a})。頂點式：(y=a(x-h)^2+k)（(a\neq0)），其中((h,k))為頂點坐標(biāo)，(a)的意義與一般式相同，圖像可看作由(y=ax^2)平移得到（向右平移(h)個單位，向上平移(k)個單位）。1二次函數(shù)的基本形式與圖像特征回顧交點式：(y=a(x-x_1)(x-x_2))（(a\neq0)，(x_1,x_2)為拋物線與(x)軸交點的橫坐標(biāo)），圖像與(x)軸交于((x_1,0))和((x_2,0))，對稱軸為直線(x=\frac{x_1+x_2}{2})。2平面直角坐標(biāo)系中“關(guān)于原點對稱”的定義在平面直角坐標(biāo)系中，若點(P(x,y))關(guān)于原點對稱的點為(P'(x',y'))，則滿足(x'=-x)，(y'=-y)。這一關(guān)系可簡潔表述為：原點是點(P)和(P')的中點。例如，點((2,3))關(guān)于原點對稱的點是((-2,-3))，點((-1,-4))關(guān)于原點對稱的點是((1,4))。3圖像關(guān)于原點對稱的本質(zhì)一個圖形關(guān)于原點對稱，意味著圖形上每一個點關(guān)于原點的對稱點都在該圖形上。因此，二次函數(shù)(y=f(x))的圖像關(guān)于原點對稱后的新圖像，其對應(yīng)的函數(shù)解析式可通過以下步驟推導(dǎo)：設(shè)原圖像上任意一點((x,y))關(guān)于原點對稱的點為((x',y'))，則(x=-x')，(y=-y')。由于原函數(shù)滿足(y=f(x))，將(x=-x')，(y=-y')代入得：(-y'=f(-x'))，即(y'=-f(-x'))。因此，關(guān)于原點對稱后的函數(shù)解析式為(y=-f(-x))。這一結(jié)論是后續(xù)推導(dǎo)的核心依據(jù)。03核心探究：二次函數(shù)關(guān)于原點對稱的解析式推導(dǎo)1一般式的推導(dǎo)與規(guī)律總結(jié)設(shè)原二次函數(shù)為一般式(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)），根據(jù)上述結(jié)論，其關(guān)于原點對稱的函數(shù)解析式為(y=-f(-x))。代入原函數(shù)得：(y=-\left[a(-x)^2+b(-x)+c\right]=-\left(ax^2-bx+c\right)=-ax^2+bx-c)。結(jié)論：一般式(y=ax^2+bx+c)關(guān)于原點對稱后的解析式為(y=-ax^2+bx-c)。特征觀察：1一般式的推導(dǎo)與規(guī)律總結(jié)二次項系數(shù)由(a)變?yōu)?-a)（開口方向與原函數(shù)相反）；一次項系數(shù)由(b)變?yōu)?b)（注意符號：原一次項為(bx)，代入(-x)后變?yōu)?-bx)，再取負(fù)號得(bx)）；常數(shù)項由(c)變?yōu)?-c)。舉例驗證：原函數(shù)(y=2x^2+3x-1)，關(guān)于原點對稱后的解析式應(yīng)為(y=-2x^2+3x+1)。我們可以通過取特殊點驗證：原函數(shù)上點((1,2+3-1=4))，其關(guān)于原點對稱的點為((-1,-4))。將(x=-1)代入對稱后的解析式：(y=-2(-1)^2+3(-1)+1=-2-3+1=-4)，符合預(yù)期；1一般式的推導(dǎo)與規(guī)律總結(jié)原函數(shù)頂點坐標(biāo)為(\left(-\frac{3}{4},\frac{4\times2\times(-1)-3^2}{4\times2}\right)=\left(-\frac{3}{4},-\frac{17}{8}\right))，對稱后的頂點應(yīng)為(\left(\frac{3}{4},\frac{17}{8}\right))，代入對稱后的解析式計算頂點縱坐標(biāo)：(y=-2\times\left(\frac{3}{4}\right)^2+3\times\frac{3}{4}+1=-2\times\frac{9}{16}+\frac{9}{4}+1=-\frac{9}{8}+\frac{18}{8}+\frac{8}{8}=\frac{17}{8})，與預(yù)期一致。2頂點式的推導(dǎo)與幾何意義原二次函數(shù)為頂點式(y=a(x-h)^2+k)（(a\neq0)），其頂點為((h,k))。根據(jù)原點對稱的定義，頂點((h,k))關(guān)于原點的對稱點為((-h,-k))。同時，由于圖像關(guān)于原點對稱，拋物線的開口方向與原函數(shù)相反（原開口向上則對稱后向下，反之亦然），因此二次項系數(shù)變?yōu)?-a)。直接推導(dǎo)驗證：對稱后的解析式為(y=-f(-x)=-\left[a(-x-h)^2+k\right]=-\left[a(-(x+h))^2+k\right]=-\left[a(x+h)^2+k\right]=-a(x+h)^2-k)。2頂點式的推導(dǎo)與幾何意義結(jié)論：頂點式(y=a(x-h)^2+k)關(guān)于原點對稱后的解析式為(y=-a(x+h)^2-k)，其頂點為((-h,-k))，開口方向與原函數(shù)相反。幾何意義深化：這一結(jié)論直觀反映了“形”與“數(shù)”的對應(yīng)關(guān)系——頂點的位置變換（橫、縱坐標(biāo)取反）與開口方向的改變（系數(shù)取反），是理解對稱變換的關(guān)鍵視角。舉例驗證：原函數(shù)(y=3(x-2)^2+5)，頂點為((2,5))，對稱后的頂點應(yīng)為((-2,-5))，解析式應(yīng)為(y=-3(x+2)^2-5)。取原函數(shù)上點((2,5))（頂點），對稱點為((-2,-5))，2頂點式的推導(dǎo)與幾何意義代入對稱后的解析式：(y=-3(-2+2)^2-5=-5)，符合；原函數(shù)上點((3,3(1)^2+5=8))，對稱點為((-3,-8))，代入對稱后的解析式：(y=-3(-3+2)^2-5=-3(1)-5=-8)，正確。3交點式的推導(dǎo)與根的對稱性原二次函數(shù)為交點式(y=a(x-x_1)(x-x_2))（(a\neq0)），其與(x)軸交點為((x_1,0))和((x_2,0))。關(guān)于原點對稱后，這兩個交點的對稱點應(yīng)為((-x_1,0))和((-x_2,0))（因為(y=0)時，對稱點的(y'=-0=0)，故仍在(x)軸上）。同時，開口方向相反，系數(shù)變?yōu)?-a)。推導(dǎo)驗證：對稱后的解析式為(y=-f(-x)=-\left[a(-x-x_1)(-x-x_2)\right]=-\left[a(x+x_1)(x+x_2)\right]=-a(x+x_1)(x+x_2))。3交點式的推導(dǎo)與根的對稱性結(jié)論：交點式(y=a(x-x_1)(x-x_2))關(guān)于原點對稱后的解析式為(y=-a(x+x_1)(x+x_2))，與(x)軸的交點為((-x_1,0))和((-x_2,0))，開口方向與原函數(shù)相反。舉例驗證：原函數(shù)(y=2(x-1)(x+3))，與(x)軸交點為((1,0))和((-3,0))，對稱后的交點應(yīng)為((-1,0))和((3,0))，解析式應(yīng)為(y=-2(x+1)(x-3))（展開后為(y=-2x^2+4x+6)）。取原函數(shù)上點((0,2(-1)(3)=-6))，對稱點為((0,6))，3交點式的推導(dǎo)與根的對稱性代入對稱后的解析式：(y=-2(0+1)(0-3)=-2(-3)=6)，符合；原函數(shù)頂點橫坐標(biāo)為(\frac{1+(-3)}{2}=-1)，縱坐標(biāo)為(2(-1-1)(-1+3)=2(-2)(2)=-8)，對稱后的頂點應(yīng)為((1,8))，代入對稱后的解析式計算頂點縱坐標(biāo)：(y=-2(1+1)(1-3)=-2(2)(-2)=8)，正確。4對比其他對稱變換，強化理解為避免混淆，我們對比二次函數(shù)關(guān)于原點對稱與關(guān)于(x)軸、(y)軸對稱的解析式變換規(guī)律：|對稱類型|變換規(guī)則|解析式推導(dǎo)（原函數(shù)(y=f(x))）|系數(shù)變化（以一般式為例）||----------------|------------------------|------------------------------------|--------------------------------||關(guān)于(x)軸對稱|((x,y)\to(x,-y))|(-y=f(x))→(y=-f(x))|(y=-ax^2-bx-c)|4對比其他對稱變換，強化理解|關(guān)于(y)軸對稱|((x,y)\to(-x,y))|(y=f(-x))|(y=ax^2-bx+c)||關(guān)于原點對稱|((x,y)\to(-x,-y))|(-y=f(-x))→(y=-f(-x))|(y=-ax^2+bx-c)|通過表格對比可以發(fā)現(xiàn)，關(guān)于原點對稱是“雙變換”——既變換(x)又變換(y)，因此解析式是(-f(-x))，而其他對稱僅變換其中一個坐標(biāo)。這一對比能幫助同學(xué)們更清晰地記憶不同對稱變換的規(guī)律。04典型例題：從理論到實踐的跨越1基礎(chǔ)題：已知原函數(shù)求對稱后的解析式例1：求二次函數(shù)(y=-x^2+2x-5)關(guān)于原點對稱后的解析式。解析：根據(jù)一般式的變換規(guī)律，對稱后的解析式為(y=-(-x)^2+2(-x)-(-5))？不，這里需要注意，正確的推導(dǎo)應(yīng)是(y=-f(-x))。原函數(shù)(f(x)=-x^2+2x-5)，則(f(-x)=-(-x)^2+2(-x)-5=-x^2-2x-5)，因此(-f(-x)=x^2+2x+5)。答案：(y=x^2+2x+5)。例2：二次函數(shù)的頂點式為(y=\frac{1}{2}(x+4)^2-3)，求其關(guān)于原點對稱的解析式。1基礎(chǔ)題：已知原函數(shù)求對稱后的解析式解析：頂點式變換規(guī)律為(y=-a(x+h)^2-k)，原函數(shù)中(a=\frac{1}{2})，(h=-4)（注意頂點式中是((x-h))，原函數(shù)為((x+4)=(x-(-4)))，故(h=-4)），(k=-3)。代入得對稱后的解析式為(y=-\frac{1}{2}(x-(-4))^2-(-3))？不，更直接的方式是利用頂點對稱后的坐標(biāo)((-h,-k)=(4,3))，且開口方向相反（(a)變?yōu)?-\frac{1}{2})），因此解析式為(y=-\frac{1}{2}(x-4)^2+3)。展開驗證：(y=-\frac{1}{2}(x^2-8x+16)+3=-\frac{1}{2}x^2+4x-8+3=-\frac{1}{2}x^2+4x-5)。1基礎(chǔ)題：已知原函數(shù)求對稱后的解析式用(y=-f(-x))推導(dǎo)：原函數(shù)(f(x)=\frac{1}{2}(x+4)^2-3)，則(f(-x)=\frac{1}{2}(-x+4)^2-3=\frac{1}{2}(x^2-8x+16)-3=\frac{1}{2}x^2-4x+8-3=\frac{1}{2}x^2-4x+5)，故(-f(-x)=-\frac{1}{2}x^2+4x-5)，與頂點式推導(dǎo)結(jié)果一致。答案：(y=-\frac{1}{2}(x-4)^2+3)（或展開式(y=-\frac{1}{2}x^2+4x-5)）。2提升題：已知對稱后的函數(shù)求原函數(shù)例3：若二次函數(shù)(y=3x^2-6x+2)是某二次函數(shù)關(guān)于原點對稱后的解析式，求原函數(shù)的解析式。解析：設(shè)原函數(shù)為(y=f(x))，則對稱后的函數(shù)為(y=-f(-x)=3x^2-6x+2)。因此，(f(-x)=-3x^2+6x-2)，令(t=-x)，則(x=-t)，代入得(f(t)=-3(-t)^2+6(-t)-2=-3t^2-6t-2)，故原函數(shù)為(y=-3x^2-6x-2)。驗證：原函數(shù)關(guān)于原點對稱后的解析式應(yīng)為(y=-f(-x)=-[-3(-x)^2-6(-x)-2]=-[-3x^2+6x-2]=3x^2-6x+2)，與題目條件一致。答案：(y=-3x^2-6x-2)。3綜合題：對稱變換與平移變換的結(jié)合例4：將二次函數(shù)(y=2x^2)先向右平移3個單位，再向下平移1個單位，得到函數(shù)(y=f(x))，求(f(x))關(guān)于原點對稱的解析式。解析：先求平移后的函數(shù)(f(x))：原函數(shù)(y=2x^2)向右平移3個單位得(y=2(x-3)^2)，再向下平移1個單位得(y=2(x-3)^2-1)，即(f(x)=2(x-3)^2-1)。求(f(x))關(guān)于原點對稱的解析式：根據(jù)頂點式變換規(guī)律，頂點((3,-1))對稱后為((-3,1))，開口方向相反（(a=2)變?yōu)?-2)），故對稱后的解析式為(y=-2(x+3)^2+1)。3綜合題：對稱變換與平移變換的結(jié)合展開驗證：(y=-2(x^2+6x+9)+1=-2x^2-12x-18+1=-2x^2-12x-17)。用(y=-f(-x))推導(dǎo)：(f(-x)=2(-x-3)^2-1=2(x+3)^2-1=2x^2+12x+18-1=2x^2+12x+17)，故(-f(-x)=-2x^2-12x-17)，與頂點式推導(dǎo)一致。答案：(y=-2(x+3)^2+1)（或展開式(y=-2x^2-12x-17)）。05總結(jié)與升華：從“知其然”到“知其所以然”1核心方法總結(jié)二次函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱的解析式推導(dǎo)，本質(zhì)是利用“點的對稱坐標(biāo)變換”與“函數(shù)解析式的代數(shù)表達(dá)”的對應(yīng)關(guān)系。具體步驟可概括為：設(shè)原函數(shù)上任意一點((x,y))，其關(guān)于原點對稱的點為((-x,-y))；由于對稱后的點((-x,-y))在新函數(shù)圖像上，因此新函數(shù)滿足(-y=f(-x))；整理得新函數(shù)解析式為(y=-f(-x))。2關(guān)鍵規(guī)律提煉一般式