一、從相似到位似：概念的遞進(jìn)與核心要素演講人從相似到位似：概念的遞進(jìn)與核心要素01典型例題與易錯(cuò)點(diǎn)分析02坐標(biāo)系中的位似放大：從原理到公式03總結(jié)與升華：從計(jì)算到思維的跨越04目錄2025九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)相似三角形位似圖形放大后坐標(biāo)計(jì)算示例課件各位同學(xué)、老師們，大家好。作為一線數(shù)學(xué)教師，我常思考如何讓幾何知識(shí)從抽象走向具體。相似三角形是初中幾何的核心內(nèi)容，而位似圖形作為相似的特殊形式，不僅是相似理論的延伸，更是連接幾何圖形與坐標(biāo)系的重要橋梁。今天，我們就圍繞“相似三角形位似圖形放大后坐標(biāo)計(jì)算”展開(kāi)深入探討，從概念到操作，從理論到示例，一步步揭開(kāi)位似圖形在坐標(biāo)系中的變換規(guī)律。01從相似到位似：概念的遞進(jìn)與核心要素1相似三角形的“升級(jí)”：位似圖形的定義在學(xué)習(xí)相似三角形時(shí)，我們知道：對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形是相似三角形。但相似圖形的位置關(guān)系可以是任意的——它們可能“分散”在平面中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線沒(méi)有規(guī)律。而位似圖形則是相似的“特殊版本”：如果兩個(gè)圖形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于同一點(diǎn)（位似中心），對(duì)應(yīng)邊互相平行（或共線），那么這兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)交點(diǎn)叫做位似中心，相似比叫做位似比。舉個(gè)我在教學(xué)中的例子：用投影儀將一張三角形圖片放大投影到屏幕上，原圖與投影圖就是典型的位似圖形——光線從投影儀的鏡頭（位似中心）出發(fā)，穿過(guò)原圖各頂點(diǎn)，投射到屏幕上形成新頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊必然平行（因?yàn)楣饩€是平行的），且所有頂點(diǎn)連線交于鏡頭。2位似圖形的核心要素：中心、比、方向要準(zhǔn)確描述一個(gè)位似變換，必須明確三個(gè)要素：位似中心（O）：所有對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線的交點(diǎn)，是位似變換的“支點(diǎn)”；位似比（k）：新圖形與原圖形對(duì)應(yīng)邊的比值，k>1時(shí)是放大，0<k<1時(shí)是縮小；位似方向：若位似中心在對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線的同側(cè)（即原圖形與新圖形在位似中心的同一側(cè)），則位似比為正；若在異側(cè)（原圖形與新圖形在位似中心兩側(cè)），則位似比為負(fù)（k<0）。例如，若原圖形頂點(diǎn)A與新圖形頂點(diǎn)A'的連線經(jīng)過(guò)O，且OA':OA=2:1，且A'與A在O的同側(cè)，則k=2；若A'在O的另一側(cè)，則k=-2（此時(shí)圖形不僅放大，還關(guān)于O對(duì)稱(chēng)）。3位似與相似的聯(lián)系與區(qū)別相似是更廣泛的概念，位似是相似的“強(qiáng)約束版本”：聯(lián)系：位似圖形一定是相似圖形，位似比等于相似比；區(qū)別：位似圖形要求對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線共點(diǎn)（位似中心），對(duì)應(yīng)邊平行（或共線），而普通相似圖形無(wú)此限制。這一區(qū)別使得位似圖形在坐標(biāo)系中具有可預(yù)測(cè)的坐標(biāo)變換規(guī)律，這也是我們今天要重點(diǎn)研究的內(nèi)容。02坐標(biāo)系中的位似放大：從原理到公式1位似中心在原點(diǎn)時(shí)的坐標(biāo)計(jì)算當(dāng)位似中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0）時(shí)，位似變換的坐標(biāo)規(guī)律最為簡(jiǎn)潔。假設(shè)原圖形上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，位似比為k（k>1時(shí)放大），則新圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'的坐標(biāo)為(kx,ky)。原理分析：位似中心在原點(diǎn)時(shí)，OP'與OP共線，且OP'=kOP。根據(jù)向量的數(shù)乘性質(zhì)，若OP的坐標(biāo)向量為(x,y)，則OP'的向量為k(x,y)=(kx,ky)，因此P'的坐標(biāo)即為(kx,ky)。示例1：原三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,2)、B(3,4)、C(5,1)，以原點(diǎn)為位似中心，位似比k=2放大，求放大后的三角形A'B'C'的坐標(biāo)。1位似中心在原點(diǎn)時(shí)的坐標(biāo)計(jì)算計(jì)算過(guò)程：A'(2×1,2×2)=(2,4)B'(2×3,2×4)=(6,8)C'(2×5,2×1)=(10,2)驗(yàn)證：連接OA與OA'，OB與OB'，OC與OC'，可見(jiàn)三條連線均過(guò)原點(diǎn)，且A'B'的斜率=(8-4)/(6-2)=1，原AB的斜率=(4-2)/(3-1)=1，說(shuō)明A'B'∥AB，符合位似圖形的性質(zhì)。2位似中心不在原點(diǎn)時(shí)的坐標(biāo)計(jì)算實(shí)際問(wèn)題中，位似中心很少恰好是原點(diǎn)。此時(shí)需要分“兩步走”：先將位似中心平移至原點(diǎn)，應(yīng)用位似變換，再平移回原位置。設(shè)位似中心為O(h,k)，原圖形上一點(diǎn)P(x,y)，位似比為k（放大時(shí)k>1），則新圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'(x',y')的坐標(biāo)公式為：x'=h+k(x-h)y'=k+k(y-k)原理分析：第一步：將坐標(biāo)系平移，使O(h,k)變?yōu)樾略c(diǎn)O'(0,0)，則P在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(x-h,y-k)；2位似中心不在原點(diǎn)時(shí)的坐標(biāo)計(jì)算第二步：以O(shè)'為中心進(jìn)行位似變換，放大后的坐標(biāo)為(k(x-h),k(y-k))；第三步：將坐標(biāo)系平移回原位置，新坐標(biāo)需加上O的原坐標(biāo)(h,k)，因此P'(h+k(x-h),k+k(y-k))。示例2：原三角形DEF的頂點(diǎn)為D(2,3)、E(4,1)、F(1,5)，位似中心為O(1,2)，位似比k=3放大，求D'E'F'的坐標(biāo)。計(jì)算過(guò)程：對(duì)D(2,3)：x'=1+3×(2-1)=1+3×1=4；y'=2+3×(3-2)=2+3×1=5→D'(4,5)2位似中心不在原點(diǎn)時(shí)的坐標(biāo)計(jì)算對(duì)E(4,1)：x'=1+3×(4-1)=1+9=10；y'=2+3×(1-2)=2-3=-1→E'(10,-1)對(duì)F(1,5)：x'=1+3×(1-1)=1+0=1；y'=2+3×(5-2)=2+9=11→F'(1,11)驗(yàn)證：連接OD與OD'，OD的向量為(2-1,3-2)=(1,1)，OD'的向量為(4-1,5-2)=(3,3)=3×(1,1)，符合位似比k=3；E'F'的斜率=(-1-11)/(10-1)=(-12)/9=-4/3，原EF的斜率=(1-5)/(4-1)=(-4)/3，說(shuō)明E'F'∥EF，符合位似性質(zhì)。3位似比為負(fù)數(shù)時(shí)的“反向放大”當(dāng)位似比k為負(fù)數(shù)（如k=-2）時(shí)，新圖形不僅放大（|k|>1），還會(huì)關(guān)于位似中心對(duì)稱(chēng)。此時(shí)坐標(biāo)公式與k>0時(shí)一致，但結(jié)果會(huì)體現(xiàn)“反向”特征。示例3：原圖形點(diǎn)G(3,2)，位似中心在原點(diǎn)，k=-2，求G'的坐標(biāo)。計(jì)算：G'(-2×3,-2×2)=(-6,-4)。此時(shí)OG'的長(zhǎng)度是OG的2倍，但方向相反，G'與G在原點(diǎn)兩側(cè)。教學(xué)提醒：學(xué)生常疑惑“負(fù)位似比”是否合理，需強(qiáng)調(diào)位似比的符號(hào)表示方向，絕對(duì)值表示縮放比例，這與向量的方向、坐標(biāo)系的正負(fù)方向一致，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的體現(xiàn)。03典型例題與易錯(cuò)點(diǎn)分析1基礎(chǔ)題：位似中心在原點(diǎn)的放大題目：已知四邊形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0)、B(2,0)、C(2,1)、D(0,1)，以原點(diǎn)為位似中心，位似比k=3放大，求A'B'C'D'的坐標(biāo)，并判斷其形狀。解答：A'(0×3,0×3)=(0,0)（注：原點(diǎn)作為頂點(diǎn)時(shí)，放大后仍為原點(diǎn)）B'(2×3,0×3)=(6,0)C'(2×3,1×3)=(6,3)D'(0×3,1×3)=(0,3)形狀：原四邊形是矩形，放大后的四邊形也是矩形（對(duì)應(yīng)邊平行，角為直角），邊長(zhǎng)為原圖形的3倍。1基礎(chǔ)題：位似中心在原點(diǎn)的放大關(guān)鍵提醒：若原圖形的頂點(diǎn)恰好是位似中心（如A(0,0)），則放大后該點(diǎn)位置不變，因?yàn)镺A=0，OA'=k×0=0。3.2提升題：位似中心在非原點(diǎn)的綜合應(yīng)用題目：如圖（想象坐標(biāo)系），△PQR中，P(1,1)、Q(3,2)、R(2,4)，以O(shè)(0,1)為位似中心放大，得到△P'Q'R'，其中Q'(6,3)。求位似比k及P'、R'的坐標(biāo)。解答：1基礎(chǔ)題：位似中心在原點(diǎn)的放大第一步：利用Q和Q'求k。Q到O的坐標(biāo)差為(3-0,2-1)=(3,1)，Q'到O的坐標(biāo)差為(6-0,3-1)=(6,2)。因?yàn)槲凰谱儞Q中，坐標(biāo)差應(yīng)滿(mǎn)足(k×3,k×1)=(6,2)，解得k=2（驗(yàn)證：3×2=6，1×2=2，符合）。第二步：求P'的坐標(biāo)。P到O的坐標(biāo)差為(1-0,1-1)=(1,0)，放大后的坐標(biāo)差為(2×1,2×0)=(2,0)，因此P'=O+放大后的坐標(biāo)差=(0+2,1+0)=(2,1)。1基礎(chǔ)題：位似中心在原點(diǎn)的放大第三步：求R'的坐標(biāo)。R到O的坐標(biāo)差為(2-0,4-1)=(2,3)，放大后的坐標(biāo)差為(2×2,2×3)=(4,6)，因此R'=(0+4,1+6)=(4,7)。易錯(cuò)點(diǎn)：部分學(xué)生直接用Q'的坐標(biāo)除以Q的坐標(biāo)求k（如6/3=2，3/2=1.5），導(dǎo)致矛盾。需明確：位似變換的比例是相對(duì)于位似中心的“距離差”，而非絕對(duì)坐標(biāo)的比值。3.3拓展題：位似與相似三角形的綜合應(yīng)用題目：△ABC與△A'B'C'位似，位似中心為O，AB=2，A'B'=6，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2)，點(diǎn)A'的坐標(biāo)為(4,8)。求位似中心O的坐標(biāo)。解答：1基礎(chǔ)題：位似中心在原點(diǎn)的放大位似比k=A'B'/AB=6/2=3。設(shè)O的坐標(biāo)為(x,y)，根據(jù)位似中心的定義，O、A、A'共線，且OA':OA=3（或-3，需判斷方向）。1向量OA=(1-x,2-y)，向量OA'=(4-x,8-y)，因?yàn)镺A'=kOA，所以：24-x=3(1-x)→4-x=3-3x→2x=-1→x=-0.538-y=3(2-y)→8-y=6-3y→2y=41基礎(chǔ)題：位似中心在原點(diǎn)的放大-2→y=-1驗(yàn)證：若k=-3，則4-x=-3(1-x)→4-x=-3+3x→4x=7→x=1.75；8-y=-3(2-y)→8-y=-6+3y→4y=14→y=3.5。此時(shí)需檢查A'是否在O的另一側(cè)：原OA向量為(1-1.75,2-3.5)=(-0.75,-1.5)，OA'向量為(4-1.75,8-3.5)=(2.25,4.5)=-3×(-0.75,-1.5)，符合k=-3。但題目中A'B'=6>AB=2，通常默認(rèn)k>0（放大），因此O(-0.5,-1)更合理。關(guān)鍵思路：位似中心必在對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線上，利用向量的數(shù)乘關(guān)系列方程求解，需考慮k的正負(fù)兩種情況。04總結(jié)與升華：從計(jì)算到思維的跨越1核心知識(shí)回顧位似圖形：相似且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線共點(diǎn)（位似中心），對(duì)應(yīng)邊平行；坐標(biāo)計(jì)算：位似中心在原點(diǎn)時(shí)，P'(kx,ky)；位似中心在(h,k)時(shí)，P'(h+k(x-h),k+k(y-k))；位似比符號(hào)：正號(hào)表示同側(cè)放大，負(fù)號(hào)表示異側(cè)放大（含對(duì)稱(chēng)）。2思維能力提升通過(guò)位似圖形的坐標(biāo)計(jì)算，我們不僅掌握了具體的代數(shù)操作，更深化了“幾何變換與代數(shù)表示”的聯(lián)系——這是解析幾何的核心思想。從“看圖形”到“算坐標(biāo)”，從“直觀感知”到“定量分析”，這是數(shù)學(xué)思維從形象到抽象的重要跨越。3學(xué)習(xí)建議動(dòng)手畫(huà)圖：每做一道題，先在坐標(biāo)系中畫(huà)出原圖形和位似中心，標(biāo)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)，直觀感