一、從相似到位似：概念的遞進與核心特征演講人01從相似到位似：概念的遞進與核心特征02縮小位似圖形的坐標計算：核心公式與推導03縮小位似圖形坐標計算的易錯點與應(yīng)對策略04從課堂到生活：位似圖形縮小的實際應(yīng)用與拓展05總結(jié)與升華：位似坐標計算的核心思想目錄2025九年級數(shù)學下冊相似三角形位似圖形縮小后坐標計算課件各位同學、老師們：今天我們要共同探討的內(nèi)容，是九年級數(shù)學下冊中“相似三角形與位似圖形”單元的核心難點之一——位似圖形縮小后坐標的計算。作為相似圖形的特殊形式，位似圖形在生活中有著廣泛的應(yīng)用（如地圖縮放、建筑圖紙比例設(shè)計），而縮小后坐標的精準計算，既是對相似三角形性質(zhì)的深化應(yīng)用，也是培養(yǎng)我們空間想象能力與坐標運算能力的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。接下來，我將結(jié)合多年教學實踐中的觀察與思考，帶領(lǐng)大家由淺入深、循序漸進地展開學習。01從相似到位似：概念的遞進與核心特征從相似到位似：概念的遞進與核心特征要理解位似圖形縮小后的坐標計算，首先需要明確“位似”與“相似”的聯(lián)系與區(qū)別。1位似圖形的定義與本質(zhì)位似圖形是相似圖形的特殊情形。根據(jù)教材定義：如果兩個圖形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于同一點，對應(yīng)邊互相平行（或在同一直線上），那么這兩個圖形叫做位似圖形，這個交點叫做位似中心，相似比又叫做位似比。這里的“特殊”體現(xiàn)在兩點：共點性：所有對應(yīng)頂點的連線必過同一點（位似中心），這是位似圖形區(qū)別于一般相似圖形的核心特征；方向性：對應(yīng)邊要么平行，要么共線，因此位似圖形的位置關(guān)系是“輻射狀”的，由位似中心向外（或向內(nèi)）延伸。舉個生活中的例子：用放大鏡看報紙時，放大后的字與原字是位似圖形，放大鏡的中心點（或虛擬的中心點）即位似中心；而地圖上的城市位置與實際城市位置，也是典型的位似圖形，比例尺即為位似比。2位似與相似的聯(lián)系與區(qū)別為了避免混淆，我們可以通過表格對比二者的關(guān)系：|特征|相似圖形|位似圖形||---------------|---------------------------|---------------------------||相似性|必須滿足（對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例）|必須滿足（是相似的特殊情形）||位置關(guān)系|無特殊要求|對應(yīng)頂點連線共點（位似中心）||對應(yīng)邊關(guān)系|無特殊要求|對應(yīng)邊平行或共線||坐標變換規(guī)律|無統(tǒng)一規(guī)律|可通過位似中心與位似比推導|通過對比可知，位似圖形是“帶位置約束的相似圖形”，這種約束恰恰為我們計算坐標提供了關(guān)鍵依據(jù)。3位似比的符號與方向位似比（記為k）是位似圖形中對應(yīng)邊的比值。需要注意：當k>1時，位似圖形是原圖形的放大；當0<k<1時，是原圖形的縮??；位似比的符號隱含了位似圖形的方向：若位似中心在兩圖形之間（即對應(yīng)點在位似中心兩側(cè)），則k為負；若位似中心在兩圖形同側(cè)（對應(yīng)點在位似中心同側(cè)），則k為正（九年級階段通常研究k>0的情形）。例如，若原圖形與縮小后的圖形在位似中心同側(cè)，且位似比為1/2，則縮小后的圖形各頂點到中心的距離是原頂點的1/2；若在異側(cè)，則距離為原頂點的1/2，但方向相反（坐標符號可能改變）。02縮小位似圖形的坐標計算：核心公式與推導縮小位似圖形的坐標計算：核心公式與推導掌握了位似圖形的基本概念后，我們需要解決核心問題：已知原圖形各頂點坐標、位似中心坐標及位似比（0<k<1），如何計算縮小后的圖形頂點坐標？1位似中心在坐標原點的情形這是最基礎(chǔ)的情況，也是考試中最常見的考點。1位似中心在坐標原點的情形1.1公式推導假設(shè)位似中心為坐標原點O(0,0)，原圖形的一個頂點為P(x,y)，縮小后的對應(yīng)頂點為P’(x’,y’)，位似比為k（0<k<1）。根據(jù)位似圖形的定義，OP’=kOP（向量關(guān)系），且P’在射線OP上（因為k>0，方向相同）。因此：橫坐標：x’=kx縱坐標：y’=ky結(jié)論：當位似中心在原點時，縮小后的頂點坐標為原坐標的k倍，即P’(kx,ky)。1位似中心在坐標原點的情形1.2典型例題驗證例1：已知△ABC的頂點坐標為A(4,6)、B(8,2)、C(2,-4)，以原點O為位似中心，位似比k=1/2縮小，求縮小后的△A’B’C’的頂點坐標。解：根據(jù)公式，直接計算各頂點坐標：A’(4×1/2,6×1/2)=(2,3)B’(8×1/2,2×1/2)=(4,1)C’(2×1/2,-4×1/2)=(1,-2)驗證：連接OA、OA’，OB、OB’，OC、OC’，可發(fā)現(xiàn)三條連線均過原點，且OA’=1/2OA，OB’=1/2OB，OC’=1/2OC，符合位似圖形定義。2位似中心不在坐標原點的情形實際問題中，位似中心往往不在原點（如地圖的縮放中心可能是某個城市，而非坐標原點），此時需要更復雜的坐標變換。2位似中心不在坐標原點的情形2.1公式推導設(shè)位似中心為點H(h,j)，原圖形頂點為P(x,y)，縮小后的對應(yīng)頂點為P’(x’,y’)，位似比為k（0<k<1）。根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，向量HP’=k向量HP（因為P’在HP連線上，且HP’=kHP）。向量HP的坐標為(x-h,y-j)，因此向量HP’的坐標為k(x-h,y-j)=(k(x-h),k(y-j))。而P’的坐標=H的坐標+向量HP’的坐標，即：x’=h+k(x-h)y’=j+k(y-j)結(jié)論：當位似中心為H(h,j)時，縮小后的頂點坐標公式為：2位似中心不在坐標原點的情形2.1公式推導[x’=h+k(x-h)][y’=j+k(y-j)]2位似中心不在坐標原點的情形2.2公式的直觀理解上述公式可變形為：[x’=kx+(1-k)h][y’=ky+(1-k)j]這表明，縮小后的坐標是原坐標與位似中心坐標的加權(quán)平均，權(quán)重分別為k（原坐標）和(1-k)（位似中心坐標）。當k=1時，x’=x、y’=y（圖形不變）；當k=0時，x’=h、y’=j（所有頂點收縮到位似中心），這符合縮小過程的直觀認知。2位似中心不在坐標原點的情形2.3典型例題解析例2：如圖（假設(shè)課件中配有示意圖），四邊形DEFG的頂點坐標為D(1,3)、E(5,5)、F(7,1)、G(3,-1)，位似中心為H(2,2)，位似比k=1/3，求縮小后的四邊形D’E’F’G’的頂點坐標。解：應(yīng)用公式計算各頂點：D’：x’=2+(1/3)(1-2)=2-1/3=5/3；y’=2+(1/3)(3-2)=2+1/3=7/3→D’(5/3,7/3)E’：x’=2+(1/3)(5-2)=2+1=3；y’=2+(1/3)(5-2)=2+1=3→E’(3,3)2位似中心不在坐標原點的情形2.3典型例題解析F’：x’=2+(1/3)(7-2)=2+5/3=11/3；y’=2+(1/3)(1-2)=2-1/3=5/3→F’(11/3,5/3)G’：x’=2+(1/3)(3-2)=2+1/3=7/3；y’=2+(1/3)(-1-2)=2-1=1→G’(7/3,1)驗證：連接HD與HD’，計算HD的長度：√[(1-2)2+(3-2)2]=√2；HD’的長度：√[(5/3-2)2+(7/3-2)2]=√[(-1/3)2+(1/3)2]=√(2/9)=√2/3，確實等于kHD（1/3×√2），符合位似比要求。03縮小位似圖形坐標計算的易錯點與應(yīng)對策略縮小位似圖形坐標計算的易錯點與應(yīng)對策略在教學實踐中，我發(fā)現(xiàn)學生在計算縮小位似圖形坐標時，容易出現(xiàn)以下幾類錯誤，需要重點關(guān)注：1位似比的方向混淆錯誤表現(xiàn)：將“原圖形到縮小圖形的位似比”與“縮小圖形到原圖形的位似比”顛倒。例如，原圖形邊長為6，縮小后為3，正確位似比k=1/2，但部分學生誤算為k=2。應(yīng)對策略：明確位似比的定義是“縮小圖形的對應(yīng)邊長度÷原圖形的對應(yīng)邊長度”（或“對應(yīng)頂點到位似中心的距離之比”）?？赏ㄟ^“前項是結(jié)果，后項是原”的口訣記憶：k=縮小后長度/原長度。2位似中心不在原點時的公式誤用錯誤表現(xiàn)：直接套用原點位似的公式（x’=kx,y’=ky），忽略位似中心的偏移量。例如，位似中心為(2,2)時，將P(4,6)的縮小坐標錯誤計算為(4×1/2,6×1/2)=(2,3)，而正確結(jié)果應(yīng)為(2+1/2×(4-2),2+1/2×(6-2))=(3,4)。應(yīng)對策略：牢記非原點位似的坐標公式本質(zhì)是“先平移坐標系至位似中心，再縮放，最后平移回原坐標系”。可分解為三步：將原坐標P(x,y)減去位似中心H(h,j)，得到相對坐標(x-h,y-j)；對相對坐標縮放k倍，得到(k(x-h),k(y-j))；將縮放后的相對坐標加回位似中心H(h,j)，得到最終坐標(h+k(x-h),j+k(y-j))。3符號錯誤（位似中心在異側(cè)時）錯誤表現(xiàn)：當位似中心在原圖形與縮小圖形之間（即對應(yīng)點在位似中心兩側(cè)）時，位似比k應(yīng)為負數(shù)，但學生可能忽略符號，導致坐標符號錯誤。應(yīng)對策略：九年級階段雖以k>0為主，但可通過簡單例子滲透符號規(guī)則。例如，若位似中心H(0,0)，原頂點P(4,6)，位似比k=-1/2（異側(cè)縮?。瑒tP’坐標為(-2,-3)，此時OP’的長度是OP的1/2，但方向相反。4圖形整體縮小的驗證缺失STEP1STEP2STEP3STEP4錯誤表現(xiàn)：計算完所有頂點坐標后，未驗證是否滿足“對應(yīng)邊平行”或“對應(yīng)頂點連線共點”的位似性質(zhì)，導致因計算失誤得到非位似圖形。應(yīng)對策略：完成坐標計算后，至少選擇兩組對應(yīng)頂點驗證：驗證對應(yīng)頂點連線是否經(jīng)過位似中心（如計算直線P’P是否經(jīng)過H）；驗證對應(yīng)邊的斜率是否相等（如計算AB與A’B’的斜率是否相等，確認平行）。04從課堂到生活：位似圖形縮小的實際應(yīng)用與拓展從課堂到生活：位似圖形縮小的實際應(yīng)用與拓展位似圖形縮小的坐標計算不僅是數(shù)學問題，更是解決實際問題的工具。以下是幾個典型應(yīng)用場景：1地圖與導航中的比例縮放地圖是現(xiàn)實地理的位似縮小圖形，比例尺即為位似比，地圖的中心點（如城市廣場）即位似中心。通過坐標計算，我們可以將實際地點的經(jīng)緯度轉(zhuǎn)換為地圖上的坐標，或反向推算實際距離。2建筑圖紙的設(shè)計建筑圖紙中，平面圖是實際建筑的位似縮小圖形。設(shè)計師通過確定位似中心（如圖紙的某一角）和比例尺（位似比），將實際建筑的長、寬、高等參數(shù)轉(zhuǎn)換為圖紙上的坐標，方便施工人員理解。3數(shù)字圖像處理在PhotoShop等軟件中，“縮放”功能本質(zhì)上是對位似變換的應(yīng)用。用戶選擇縮放中心（即位似中心）和縮放比例（位似比），軟件即可自動計算每個像素點的新坐標，生成縮小后的圖像。05總結(jié)與升華：位似坐標計算的核心思想總結(jié)與升華：位似坐標計算的核心思想回顧本節(jié)課的學習，我們從位似圖形的概念出發(fā)，逐步推導了縮小后坐標的計算方法，并通過例題與易錯點分析深化了理解。核心要點可總結(jié)為：位似的本質(zhì)：帶位置約束的相似圖形，關(guān)鍵特征是對應(yīng)頂點連線共點（位似中心）、對應(yīng)邊平行；坐標計算的關(guān)鍵：根據(jù)位似中心位置選擇公式——原點位似直接縮放坐標，非原點位似需結(jié)合位似中心坐標進行平移-縮放-平移變換；應(yīng)用的核心：通過坐標計算將抽象的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)值運算，體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學思想。同學們，位似圖形縮小的坐標計算，既是對相似三角