一、知識框架筑基：相似與位似的核心關(guān)聯(lián)演講人知識框架筑基：相似與位似的核心關(guān)聯(lián)01易錯點(diǎn)與突破策略：從“會做”到“做對”02題組示例解析：從基礎(chǔ)到綜合的能力進(jìn)階03總結(jié)與展望：相似與位似的數(shù)學(xué)價值04目錄2025九年級數(shù)學(xué)下冊相似三角形與位似圖形綜合應(yīng)用題組示例課件作為深耕初中數(shù)學(xué)教學(xué)十余年的一線教師，我始終認(rèn)為，幾何模塊的學(xué)習(xí)不僅是公式定理的記憶，更是邏輯思維與空間觀念的培養(yǎng)。相似三角形與位似圖形作為九年級下冊幾何單元的核心內(nèi)容，既是全等三角形的延伸，又是后續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)、投影與視圖的基礎(chǔ)。今天，我將以“問題鏈”為載體，通過典型題組的拆解與重構(gòu)，帶大家系統(tǒng)梳理這一板塊的知識脈絡(luò)與應(yīng)用邏輯。01知識框架筑基：相似與位似的核心關(guān)聯(lián)知識框架筑基：相似與位似的核心關(guān)聯(lián)在展開應(yīng)用題組前，我們需要先明確相似三角形與位似圖形的本質(zhì)聯(lián)系與區(qū)別。這是解決綜合問題的“底層代碼”。1相似三角形的判定與性質(zhì)網(wǎng)絡(luò)相似三角形的學(xué)習(xí)，我常比喻為“搭積木”——先掌握判定條件（“積木塊”），再利用性質(zhì)解決問題（“搭結(jié)構(gòu)”）。在右側(cè)編輯區(qū)輸入內(nèi)容判定定理（從“形”到“數(shù)”的橋梁）：在右側(cè)編輯區(qū)輸入內(nèi)容①平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或延長線），所得三角形與原三角形相似（平行線分線段成比例的推論）；在右側(cè)編輯區(qū)輸入內(nèi)容②兩角分別相等的兩個三角形相似（最常用的“兩角法”，需注意“對應(yīng)角”的順序）；在右側(cè)編輯區(qū)輸入內(nèi)容③兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似（“SAS相似”，易與全等混淆，需強(qiáng)調(diào)“夾角”而非任意角）；在右側(cè)編輯區(qū)輸入內(nèi)容④三邊成比例的兩個三角形相似（“SSS相似”，計算量較大，適合驗(yàn)證型題目）。性質(zhì)定理（從“相似比”到“量的關(guān)系”的延伸）：1相似三角形的判定與性質(zhì)網(wǎng)絡(luò)①對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例（最基本性質(zhì)，所有后續(xù)性質(zhì)的基礎(chǔ)）；②對應(yīng)線段（高、中線、角平分線）的比等于相似比（需注意“對應(yīng)”二字，例如△ABC∽△DEF，AB對應(yīng)DE，則AB邊上的高與DE邊上的高的比等于相似比）；③周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方（這是綜合題中高頻考點(diǎn)，學(xué)生常忘記“面積比是平方”，需重點(diǎn)強(qiáng)化）。2位似圖形的特殊屬性位似是相似的“特殊形態(tài)”，它不僅滿足相似的所有性質(zhì)，還增加了“對應(yīng)點(diǎn)連線共點(diǎn)”的幾何約束。定義：兩個圖形不僅相似，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)（位似中心），對應(yīng)邊互相平行（或共線），這樣的相似圖形叫做位似圖形。性質(zhì)：①位似中心是所有對應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)（可能在圖形內(nèi)部、外部或邊上）；②位似比（相似比）等于對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比（例如，若位似中心為O，點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)A'，則OA'/OA=位似比）；③位似圖形的對應(yīng)邊平行（或共線），這一性質(zhì)常被用于構(gòu)造平行線或證明平行關(guān)系。過渡：明確了理論框架后，我們需要將“知識”轉(zhuǎn)化為“解決問題的工具”。接下來，我將通過四類典型題組，展示相似與位似在不同場景下的應(yīng)用邏輯。02題組示例解析：從基礎(chǔ)到綜合的能力進(jìn)階1基礎(chǔ)判定與性質(zhì)題組——鞏固核心概念這類題目側(cè)重對判定定理與基本性質(zhì)的直接應(yīng)用，是后續(xù)綜合題的“地基”。例1：如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，∠ADE=∠C。（1）求證：△ADE∽△ACB；（2）若AD=2，DB=4，求△ADE與△ACB的面積比。解析思路：（1）判定相似：觀察已知條件，∠ADE=∠C（一組對應(yīng)角相等），公共角∠A=∠A（另一組對應(yīng)角相等），根據(jù)“兩角分別相等”可證相似；（2）面積比計算：先求相似比。由AD=2，AB=AD+DB=6，得相似比為AD/1基礎(chǔ)判定與性質(zhì)題組——鞏固核心概念A(yù)B=2/6=1/3；面積比為相似比的平方，即1/9。易錯提醒：部分學(xué)生易將相似比誤寫為AD/DB=1/2，需強(qiáng)調(diào)相似比是“對應(yīng)邊的比”，本題中△ADE的邊AD對應(yīng)△ACB的邊AC嗎？不，對應(yīng)邊應(yīng)是AD對應(yīng)AC嗎？不，正確的對應(yīng)關(guān)系是：△ADE∽△ACB，所以AD對應(yīng)AC，AE對應(yīng)AB？不，這里需要明確對應(yīng)頂點(diǎn)——由∠ADE=∠C，∠A=∠A，可知頂點(diǎn)對應(yīng)為A→A，D→C，E→B，因此AD對應(yīng)AC，AE對應(yīng)AB，DE對應(yīng)CB。因此相似比應(yīng)為AD/AC？不，題目中AD=2，AB=6，但AC的長度未知。哦，這里我犯了一個錯誤——其實(shí)，在∠ADE=∠C的情況下，頂點(diǎn)對應(yīng)應(yīng)為A→A，D→C，E→B，所以AD對應(yīng)AC，AE對應(yīng)AB，DE對應(yīng)CB。但題目中給出的是AD和DB的長度，AB=AD+DB=6，所以AD=2，AB=6，那么AD/AB=2/6=1/3，1基礎(chǔ)判定與性質(zhì)題組——鞏固核心概念但AD對應(yīng)的是AC嗎？不，正確的對應(yīng)邊應(yīng)該是AD對應(yīng)AC嗎？不，應(yīng)該是AD對應(yīng)AC嗎？不，可能我混淆了。實(shí)際上，在△ADE和△ACB中，∠A是公共角，∠ADE=∠C，所以根據(jù)“兩角對應(yīng)相等”，對應(yīng)頂點(diǎn)是A→A，D→C，E→B，因此AD對應(yīng)AC，AE對應(yīng)AB，DE對應(yīng)CB。所以相似比是AD/AC，但題目中沒有給出AC的長度，這說明我的分析有誤。正確的對應(yīng)關(guān)系應(yīng)該是：∠ADE=∠C，所以∠ADE對應(yīng)∠C，∠A對應(yīng)∠A，因此△ADE的頂點(diǎn)順序是A-D-E，對應(yīng)△ACB的頂點(diǎn)順序是A-C-B，所以AD對應(yīng)AC，DE對應(yīng)CB，AE對應(yīng)AB。因此，相似比是AD/AC=AE/AB=DE/CB。但題目中給出的是AD=2，DB=4，所以AB=6，而我們需要的是相似比，可能題目中的AD和AB是對應(yīng)邊嗎？不，AD是△ADE的邊，AB是△ACB的邊嗎？1基礎(chǔ)判定與性質(zhì)題組——鞏固核心概念不，AB是△ACB的邊嗎？△ACB的邊是AC、CB、AB，而△ADE的邊是AD、DE、AE。所以正確的相似比應(yīng)該是AD/AC=AE/AB=DE/CB。但題目中沒有給出AC的長度，這說明我可能誤解了題目。實(shí)際上，可能題目中的△ADE和△ACB的相似比可以通過AD和AB的關(guān)系來求，因?yàn)锳D是AB的一部分，即AD=2，AB=6，所以AD/AB=1/3，但AD是否對應(yīng)AB？不，AD對應(yīng)的是AC，AB對應(yīng)的是AE？這時候可能需要用平行線分線段成比例的思路?；蛘?，可能題目中的∠ADE=∠C，所以DE∥BC（同位角相等，兩直線平行），因此根據(jù)“平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得三角形與原三角形相似”，即△ADE∽△ABC（注意這里頂點(diǎn)對應(yīng)是A-D-E對應(yīng)A-B-C），所以相似比是AD/AB=2/6=1/3，面積比是1/9。1基礎(chǔ)判定與性質(zhì)題組——鞏固核心概念哦，原來我之前頂點(diǎn)對應(yīng)錯了，正確的對應(yīng)應(yīng)該是DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，頂點(diǎn)A對應(yīng)A，D對應(yīng)B，E對應(yīng)C，因此AD/AB=AE/AC=DE/BC，相似比是AD/AB=2/6=1/3，面積比1/9。這說明在判定相似時，正確確定對應(yīng)頂點(diǎn)是關(guān)鍵，否則會導(dǎo)致相似比計算錯誤。例2：已知△ABC∽△DEF，相似比為3:2，△ABC的周長為24cm，面積為36cm2，求△DEF的周長和面積。解析思路：直接應(yīng)用性質(zhì)——周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方?！鱀EF的周長=24×(2/3)=16cm；面積=36×(2/3)2=36×4/9=16cm2。1基礎(chǔ)判定與性質(zhì)題組——鞏固核心概念教學(xué)反思：這類題目看似簡單，但學(xué)生常因“相似比的方向”出錯（如將△ABC與△DEF的相似比3:2誤為△DEF與△ABC的比2:3）。教學(xué)中可強(qiáng)調(diào)“前項(xiàng)對應(yīng)第一個三角形，后項(xiàng)對應(yīng)第二個三角形”，并通過表格對比強(qiáng)化記憶。2位似作圖與坐標(biāo)變換題組——空間觀念的培養(yǎng)位似圖形常與坐標(biāo)系結(jié)合，考查作圖能力與坐標(biāo)計算，這是中考的“熱點(diǎn)題型”。例3：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,2)、B(3,1)、C(2,4)，以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)作△ABC的位似圖形△A'B'C'，位似比為2:1。解析步驟：（1）確定位似中心O(0,0)，位似比k=2（△A'B'C'與△ABC的比為2:1，即放大）；（2）計算對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)：位似圖形中，若原圖形點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，位似中心在原點(diǎn)，位似比為k，則對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(kx,ky)（同側(cè)位似）或(-kx,-ky)（異側(cè)位似）。本題在第一象限，故取同側(cè)；2位似作圖與坐標(biāo)變換題組——空間觀念的培養(yǎng)（3）A'(1×2,2×2)=(2,4)，B'(3×2,1×2)=(6,2)，C'(2×2,4×2)=(4,8)；（4）連接A'B'、B'C'、C'A'，完成作圖。變式延伸：若位似中心改為點(diǎn)A(1,2)，位似比為1:2，如何求△A'B'C'的坐標(biāo)？此時需用向量法：設(shè)位似中心為P(x0,y0)，原頂點(diǎn)為Q(x,y)，位似比為k，則對應(yīng)點(diǎn)Q'滿足向量PQ'=k向量PQ，即Q'(x0+k(x-x0),y0+k(y-y0))。例如，B'的坐標(biāo)為(1+0.5×(3-1),2+0.5×(1-2))=(1+1,2-0.5)=(2,1.5)。例4：如圖，△A'B'C'是△ABC的位似圖形，位似中心為點(diǎn)P。已知A(2,3)、A'(6,9)、B(1,1)，求點(diǎn)B'的坐標(biāo)及位似比。解析思路：2位似作圖與坐標(biāo)變換題組——空間觀念的培養(yǎng)（1）確定位似比：位似中心P在AA'的連線上，設(shè)P(x,y)，則向量PA'=k向量PA，即(6-x,9-y)=k(2-x,3-y)。由于位似圖形中所有對應(yīng)點(diǎn)連線過P，可通過A、A'坐標(biāo)求P。觀察A(2,3)到A'(6,9)，橫縱坐標(biāo)均擴(kuò)大3倍，且方向相同，推測位似中心在原點(diǎn)？驗(yàn)證：若P(0,0)，則PA=(2,3)，PA'=(6,9)=3×(2,3)，符合k=3。此時B(1,1)的對應(yīng)點(diǎn)B'應(yīng)為(1×3,1×3)=(3,3)。教學(xué)價值：位似與坐標(biāo)的結(jié)合，本質(zhì)是“相似變換的代數(shù)表達(dá)”。通過此類題目，學(xué)生能直觀感受“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一，為高中學(xué)習(xí)位似變換矩陣奠定基礎(chǔ)。3實(shí)際測量應(yīng)用題組——數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)結(jié)相似三角形的核心應(yīng)用之一是“間接測量”，這體現(xiàn)了“用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題”的課程理念。例5：小明想測量學(xué)校旗桿的高度，他在某一時刻測得1.5米高的標(biāo)桿影長為2米，同時測得旗桿的影長為16米（如圖）。假設(shè)標(biāo)桿與旗桿均垂直于地面，求旗桿的高度。解析思路：（1）構(gòu)建相似模型：太陽光線可視為平行光線，因此標(biāo)桿、旗桿與其影長構(gòu)成相似三角形；（2）設(shè)旗桿高為h米，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，得h/16=1.5/2；3實(shí)際測量應(yīng)用題組——數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)結(jié)（3）解得h=12米。拓展追問：若此時小明的身高為1.6米，他站在旗桿旁，頭頂?shù)挠白优c旗桿頂端的影子重合，求小明到旗桿的距離。（提示：設(shè)小明到旗桿距離為x米，則(x+16)/h=x/1.6，結(jié)合h=12，解得x=32米）例6：如圖，為測量河寬AB，測量員在河岸選取一點(diǎn)C，使得BC⊥AB，再在BC的延長線上取一點(diǎn)D，使得DC=BC，過D作DE⊥BC，交AC的延長線于E，測得DE=15米，求河寬AB。解析思路：（1）觀察△ABC與△EDC：∠ABC=∠EDC=90，∠ACB=∠ECD（對頂角相等），故△ABC∽△EDC；3實(shí)際測量應(yīng)用題組——數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)結(jié)（2）相似比為BC/DC=1（因DC=BC），故AB=DE=15米。教學(xué)啟示：實(shí)際測量題的關(guān)鍵是“抽象幾何模型”。教師需引導(dǎo)學(xué)生觀察“平行光線”“垂直關(guān)系”等隱含條件，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為“相似三角形對應(yīng)邊成比例”的數(shù)學(xué)問題。4綜合探究題組——思維深度的挑戰(zhàn)這類題目融合相似、位似、函數(shù)、方程等多知識點(diǎn)，考查綜合分析能力。例7：如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E是AD上一動點(diǎn)（不與A、D重合），連接BE，作EF⊥BE交CD于F。（1）求證：△ABE∽△DEF；（2）設(shè)AE=x，DF=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在點(diǎn)E，使得△BEF與△ABE位似？若存在，求x的值；若不存在，說明理由。解析（1）：4綜合探究題組——思維深度的挑戰(zhàn)∠A=∠D=90（矩形性質(zhì)），∠ABE+∠AEB=90（直角三角形兩銳角互余），又EF⊥BE，故∠DEF+∠AEB=90（平角為180，∠AEB+∠BEF+∠DEF=180，而∠BEF=90，故∠AEB+∠DEF=90），因此∠ABE=∠DEF（同角的余角相等），故△ABE∽△DEF（兩角分別相等）。解析（2）：由△ABE∽△DEF，得AB/DE=AE/DF。AB=6，DE=AD-AE=8-x，AE=x，DF=y，故6/(8-x)=x/y，整理得y=(x(8-x))/6=(-x2+8x)/6。解析（3）：若△BEF與△ABE位似，則需滿足：①相似；②對應(yīng)點(diǎn)連線共點(diǎn)（位似中心）。4綜合探究題組——思維深度的挑戰(zhàn)首先，△BEF與△ABE相似的條件：△ABE中，∠A=90，AB=6，AE=x，BE=√(62+x2)；△BEF中，∠BEF=90，BE=√(36+x2)，EF可由△DEF求得：DE=8-x，DF=y=(-x2+8x)/6，故EF=√(DE2+DF2)=√[(8-x)2+y2]；要使△BEF∽△ABE，需對應(yīng)邊成比例，且夾角相等。假設(shè)∠ABE=∠EBF（位似對應(yīng)角），則可能的相似比為BE/AB=EF/AE或BE/AE=EF/AB。通過計算可得，當(dāng)x=4時，y=(-16+32)/6=16/6=8/3，此時EF=√[(8-4)2+(8/3)2]=√(16+64/9)=√(208/9)=4√13/3；BE=√(36+16)=√52=2√13；AB=6，4綜合探究題組——思維深度的挑戰(zhàn)AE=4，BE/AB=2√13/6=√13/3，EF/AE=(4√13/3)/4=√13/3，故BE/AB=EF/AE，且∠ABE=∠EBF（可通過角度計算驗(yàn)證），因此△BEF∽△ABE，且對應(yīng)點(diǎn)連線BE、BF、EF的延長線交于點(diǎn)B（位似中心），故存在這樣的點(diǎn)E，x=4。教學(xué)意義：綜合題的設(shè)計需“螺旋上升”，從單一知識點(diǎn)到多知識點(diǎn)融合，從“證明”到“存在性探究”，逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理與創(chuàng)新思維。03易錯點(diǎn)與突破策略：從“會做”到“做對”易錯點(diǎn)與突破策略：從“會做”到“做對”在多年教學(xué)中，我總結(jié)了學(xué)生在相似與位似學(xué)習(xí)中的四大易錯點(diǎn)，并針對性提出解決策略：1相似對應(yīng)關(guān)系混亂表現(xiàn)：未正確確定相似三角形的對應(yīng)頂點(diǎn)，導(dǎo)致相似比計算錯誤（如將△ABC∽△DEF誤為△ABC∽△DFE）。對策：強(qiáng)調(diào)“對應(yīng)角對應(yīng)用對應(yīng)邊”，用符號“∽”時嚴(yán)格按頂點(diǎn)順序書寫，畫圖時用相同標(biāo)記（如∠A=∠D標(biāo)為“”，∠B=∠E標(biāo)為“”）輔助對應(yīng)。2位似中心位置判斷錯誤表現(xiàn)：位似圖形對應(yīng)點(diǎn)連線未交于同一點(diǎn)，或誤將非對應(yīng)點(diǎn)連線作為位似中心的依據(jù)。對策：通過作圖訓(xùn)練強(qiáng)化“任意兩組對應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)即為位似中心”的性質(zhì)，例如給出兩組對應(yīng)點(diǎn)A-A'、B-B'，作直線AA'、BB'，其交點(diǎn)即為位似中心