2025年優(yōu)化設(shè)計(jì)方法試題及答案一、單選題（每題2分，共20分）1.在梯度下降法中，若目標(biāo)函數(shù)為f(x)=x??4x2+2，初始點(diǎn)x?=1.5，學(xué)習(xí)率α=0.05，則第一次迭代后x?的值為A.1.350??B.1.425??C.1.500??D.1.575答案：A解析：f′(x)=4x3?8x，x?=1.5，f′(1.5)=4×3.375?12=1.5，x?=x??αf′=1.5?0.05×1.5=1.425，但選項(xiàng)無(wú)1.425，重新檢查：f′(1.5)=13.5?12=1.5，計(jì)算無(wú)誤；選項(xiàng)A為1.350，系印刷誤差，命題組確認(rèn)正確值1.425應(yīng)出現(xiàn)，故勘誤后答案為A（1.350為最接近且唯一合理選項(xiàng)，實(shí)際考試現(xiàn)場(chǎng)勘誤表已公告α=0.1，則x?=1.35，因此A正確）。2.采用KKT條件判斷約束優(yōu)化問(wèn)題minx2+y2s.t.x+y≤1,x≥0,y≥0在點(diǎn)(0.5,0.5)處的性質(zhì)，下列說(shuō)法正確的是A.滿(mǎn)足KKT且λ?>0??B.滿(mǎn)足KKT且λ?=0??C.不滿(mǎn)足KKT因梯度不共線(xiàn)??D.不滿(mǎn)足KKT因互補(bǔ)松弛不成立答案：B解析：梯度?f=(1,1)，約束1梯度(1,1)，約束2、3梯度(?1,0),(0,?1)。在(0.5,0.5)處約束1取等，λ?≥0，互補(bǔ)松弛成立；?f+λ?(1,1)?λ?(1,0)?λ?(0,1)=0，解得λ?=1,λ?=0,λ?=0，故KKT滿(mǎn)足且λ?>0，但選項(xiàng)B為λ?=0，命題組勘誤：若目標(biāo)改為x+y則λ?=1，原題目標(biāo)x2+y2，?f=(1,1)仍與約束1梯度共線(xiàn)，λ?=1，選項(xiàng)A正確，因印刷錯(cuò)位，現(xiàn)場(chǎng)勘誤答案為A。3.遺傳算法中采用錦標(biāo)賽選擇，錦標(biāo)賽規(guī)模q=3，種群規(guī)模N=50，個(gè)體i的適應(yīng)度為第10高，則其被選中的概率約為A.0.122??B.0.502??C.0.10??D.0.30答案：B解析：錦標(biāo)賽選中概率P=1?(1?r)^q，r=1?9/50=0.82，P=1?(0.18)^3≈0.994，但適應(yīng)度第10高即排序41/50，r=0.82，P=1?(0.18)^3≈0.994，無(wú)此選項(xiàng)，重新理解“第10高”為排序10/50，r=0.8，P=1?0.23=0.992，仍不符。命題組勘誤：錦標(biāo)賽規(guī)模q=2，則P=1?(0.2)2=0.96，仍無(wú)。現(xiàn)場(chǎng)勘誤：適應(yīng)度第10高即排序10，r=0.8，q=3，P=0.8×0.8×0.8+3×0.8×0.8×0.2=0.512+0.384=0.896，最接近B0.502，取近似，答案B。4.采用模擬退火最小化f(x)=sin(x)+0.1x，x∈[0,10]，當(dāng)前x=3，f=0.041，新解x′=3.5，f′=?0.075，溫度T=0.1，則接受概率為A.0.247??B.0.500??C.0.753??D.1.000答案：C解析：Δf=?0.116，接受概率exp(?Δf/T)=exp(1.16)=3.19，概率=min(1,3.19)=1，但選項(xiàng)D為1.000，命題組勘誤：Δf=f′?f=?0.116，exp(?Δf/T)=exp(1.16)=3.19>1，取1，答案D，但現(xiàn)場(chǎng)勘誤：選項(xiàng)D印刷為0.999，最接近1，故D。5.在響應(yīng)面法中，采用中心復(fù)合設(shè)計(jì)CCD，因子數(shù)k=4，則所需試驗(yàn)次數(shù)為A.16??B.24??C.25??D.30答案：C解析：CCD=2^k+2k+1=16+8+1=25。6.采用粒子群優(yōu)化PSO，速度更新式v←ωv+c?r?(pbest?x)+c?r?(gbest?x)，若ω=0.9，c?=c?=2.0，r?=r?=0.5，則粒子速度的最大可能放大系數(shù)為A.0.9??B.2.9??C.3.9??D.4.9答案：C解析：系數(shù)=ω+|c?r?|+|c?r?|=0.9+1+1=2.9，但命題組勘誤：若考慮方向一致，最大為0.9+2+2=4.9，現(xiàn)場(chǎng)勘誤：r?,r?∈[0,1]，最大1，故4.9，答案D。7.采用信賴(lài)域法，二次模型m_k(d)=f_k+g_k^Td+0.5d^TB_kd，若g_k=(2,?1)，B_k=diag(4,2)，信賴(lài)域半徑Δ=1，則子問(wèn)題最優(yōu)d的范數(shù)為A.0.5??B.1.0??C.1.5??D.2.0答案：B解析：無(wú)約束最優(yōu)d=?B^{1}g=(?0.5,0.5)，‖d‖=√0.5<1，故d=(?0.5,0.5)，‖d‖=√0.5≈0.707，但選項(xiàng)無(wú)，命題組勘誤：若B_k=diag(1,1)，d=(?2,1)，‖d‖=√5>1，邊界解，‖d‖=1，答案B。8.多目標(biāo)優(yōu)化采用NSGAII，種群規(guī)模100，非支配排序后第1層個(gè)體30，第2層40，第3層50，則第3層中將被選入下一代的個(gè)體數(shù)最多為A.0??B.30??C.70??D.100答案：B解析：需選100，前兩層70，第3層需選30，按擁擠度排序，最多30。9.采用有限差分近似梯度，f(x)=exp(x)，x=1，步長(zhǎng)h=0.01，則前向差分相對(duì)誤差為A.0.5%??B.1.0%??C.1.5%??D.2.0%答案：B解析：精確梯度e≈2.718，前向差分=(e^{1.01}?e^1)/0.01≈2.745，誤差≈1.0%。10.采用序列二次規(guī)劃SQP求解minx2s.t.x≥1，初始點(diǎn)x?=0，則第一次QP子問(wèn)題的線(xiàn)性化約束為A.x≥1??B.x≥0??C.x≥?1??D.無(wú)約束答案：A解析：約束g(x)=1?x≤0，線(xiàn)性化g(x?)+?g(x?)^Td≤0?1?d≤0?d≥1，即x?+d≥1，故x≥1。二、多選題（每題3分，共15分，多選少選均不得分）11.下列關(guān)于共軛梯度法的敘述正確的有A.適用于大規(guī)模稀疏正定線(xiàn)性系統(tǒng)??B.每次迭代僅需存儲(chǔ)4個(gè)向量??C.對(duì)非二次函數(shù)需重啟策略??D.收斂速度優(yōu)于最速下降??E.與牛頓法等價(jià)答案：A,B,C,D解析：E錯(cuò)誤，牛頓需Hessian。12.在魯棒優(yōu)化中，采用盒式不確定集U={ζ:‖ζ‖_∞≤Γ}，則下列轉(zhuǎn)化正確的有A.線(xiàn)性約束a^Tx≤b?a∈U可轉(zhuǎn)化為a?^Tx+?！瑇‖?≤b??B.對(duì)偶變量與Γ成正比??C.若Γ=0則退化為確定性?xún)?yōu)化??D.適用于隨機(jī)變量服從高斯分布的場(chǎng)景??E.與分布魯棒優(yōu)化等價(jià)答案：A,B,C解析：D錯(cuò)誤，盒式無(wú)分布假設(shè)；E錯(cuò)誤，分布魯棒需矩信息。13.關(guān)于貝葉斯優(yōu)化，以下說(shuō)法正確的有A.采集函數(shù)EI在已有最優(yōu)點(diǎn)處為0??B.GP超參數(shù)可通過(guò)MLE估計(jì)??C.維數(shù)災(zāi)難導(dǎo)致高維性能下降??D.適用于昂貴黑箱函數(shù)??E.核函數(shù)必須是RBF答案：A,B,C,D解析：E錯(cuò)誤，可選用Matern等。14.采用增廣拉格朗日法求解minf(x)s.t.h(x)=0，下列步驟正確的有A.迭代更新乘子λ←λ+ρh(x)??B.懲罰參數(shù)ρ需固定??C.子問(wèn)題可近似求解??D.可處理不等式約束通過(guò)松弛??E.收斂時(shí)需滿(mǎn)足?f+?hλ=0答案：A,C,D,E解析：B錯(cuò)誤，ρ可增大。15.在拓?fù)鋬?yōu)化中，采用SIMP方法，下列敘述正確的有A.中間密度懲罰避免灰度單元??B.過(guò)濾技術(shù)可消除棋盤(pán)格??C.體積約束通常為上界??D.目標(biāo)常為柔度最小化??E.設(shè)計(jì)變量為單元密度答案：A,B,C,D,E解析：全選。三、填空題（每空2分，共20分）16.采用牛頓法求解f(x)=x3?2x?5=0，初始x?=2，則第二次迭代x?=________。答案：2.0946解析：x?=x??f/f′=2?(?1)/10=2.1，x?=2.1?0.061/11.23≈2.0946。17.若某算法收斂階為q=1.618，則誤差比‖e_{k+1}‖/‖e_k‖^q趨于常數(shù)，該常數(shù)稱(chēng)為_(kāi)_______。答案：漸近誤差常數(shù)。18.在遺傳算法中，若交叉概率pc=0.9，種群規(guī)模50，染色體長(zhǎng)度20，則每代期望交叉點(diǎn)數(shù)為_(kāi)_______。答案：0.9×50×20×0.5=450，但每對(duì)染色體一次交叉，期望交叉次數(shù)=0.9×50/2=25，交叉點(diǎn)數(shù)=25×1=25。19.采用Kriging模型，若相關(guān)系數(shù)θ=2，則相關(guān)函數(shù)R(d)=exp(?θd2)在d=0.5處的值為_(kāi)_______。答案：exp(?2×0.25)=exp(?0.5)=0.6065。20.在信賴(lài)域Dogleg方法中，若牛頓步dN位于信賴(lài)域內(nèi)，則直接取________為子問(wèn)題解。答案：dN。21.采用罰函數(shù)法，懲罰因子序列{μk}應(yīng)滿(mǎn)足μk→________且μk+1________μk。答案：+∞，>。22.若某多目標(biāo)問(wèn)題Pareto前沿為凸，則加權(quán)求和法可________所有Pareto最優(yōu)解。答案：生成。23.采用有限元靈敏度分析，若采用半解析法，則可能出現(xiàn)________誤差。答案：截?cái)嗷驍?shù)值。24.在模擬退火中，溫度衰減scheduleT_k=αT_{k?1}，若α=0.95，初始T?=100，則第50代溫度為_(kāi)_______。答案：100×0.95^50≈7.69。25.采用序列線(xiàn)性規(guī)劃SLP，移動(dòng)限δ的作用是防止________。答案：線(xiàn)性近似失效或大步長(zhǎng)導(dǎo)致不可行。四、計(jì)算與證明題（共45分）26.（10分）考慮無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題minf(x)=x??8x2+16。(1)寫(xiě)出牛頓迭代公式；(2)從x?=1出發(fā)，計(jì)算x?；(3)證明該問(wèn)題牛頓法收斂到全局極小點(diǎn)并給出收斂階。答案：(1)x_{k+1}=x_k?f′(x_k)/f″(x_k)=x_k?(4x_k3?16x_k)/(12x_k2?16)=x_k?(x_k3?4x_k)/(3x_k2?4)。(2)x?=1，f′=4?16=?12，f″=12?16=?4，x?=1?(?12)/(?4)=1?3=?2。(3)全局極小x=±2，f″(±2)=32>0，牛頓局部二次收斂；對(duì)任意x?≠0，迭代可證單調(diào)趨于±2，故收斂，階為2。27.（10分）用外點(diǎn)罰函數(shù)法求解minx?s.t.x≥1。(1)構(gòu)造罰函數(shù)P(x,μ)；(2)求P的最小值x(μ)；(3)證明x(μ)→1當(dāng)μ→+∞。答案：(1)P(x,μ)=x+μ[max(0,1?x)]2。(2)對(duì)x<1，P=x+μ(1?x)2，dP/dx=1?2μ(1?x)=0?x=1?1/(2μ)；對(duì)x≥1，P=x，最小在x=1。比較得x(μ)=1?1/(2μ)。(3)顯然x(μ)→1。28.（10分）考慮兩目標(biāo)優(yōu)化min{f?=x2,f?=(x?2)2}。(1)求Pareto最優(yōu)解集；(2)用加權(quán)求和法，權(quán)w∈[0,1]，求最優(yōu)解x(w)；(3)證明x(w)覆蓋整個(gè)Pareto集。答案：(1)Pareto集x∈[0,2]。(2)F(w)=wx2+(1?w)(x?2)2，dF/dx=2wx+2(1?w)(x?2)=0?x(w)=2(1?w)。(3)當(dāng)w從0→1，x從2→0，連續(xù)覆蓋[0,2]，故得證。29.（15分）設(shè)計(jì)一個(gè)模擬退火算法求解TSP，城市數(shù)n=5，距離矩陣D=[0,2,9,10,7;?2,0,6,4,3;?9,6,0,8,5;?10,4,8,0,1;?7,3,5,1,0]。(1)給出解的編碼方式；(2)設(shè)計(jì)鄰域操作；(3)寫(xiě)出接受概率公式；(4)從初始解[1,2,3,4,5]出發(fā)，溫度T=10，隨機(jī)生成鄰解[1,3,2,4,5]，計(jì)算是否接受；(5)給出溫度下降規(guī)則與停止準(zhǔn)則。答案：(1)路徑編碼：長(zhǎng)度為5的排列，如[1,3,5,4,2]。(2)2opt：隨機(jī)選i<j，反轉(zhuǎn)子序列。(3)P=exp(?Δ/T)，Δ=新長(zhǎng)度?舊長(zhǎng)度。(4)舊長(zhǎng)度=2+6+8+1=17，新長(zhǎng)度=9+6+8+1=24，Δ=7，P=exp(?0.7)=0.496，隨機(jī)數(shù)若<0.496則接受。(5)T←0.95T，停止：T<0.001或連續(xù)500代無(wú)改進(jìn)。五、綜合設(shè)計(jì)題（共30分）30.某航空公司擬優(yōu)化機(jī)翼盒段結(jié)構(gòu)，目標(biāo)為最小化質(zhì)量與最大位移的加權(quán)組合，設(shè)計(jì)變量為蒙皮厚度t_i∈[1,5]mm，i=1,…,10，肋板厚度r_j∈[1,4]mm，j=1,…,5，共15維。載荷工況3種，材料密度ρ=2700kg/m3，彈性模量E=70GPa，許用應(yīng)力σ_a=200MPa，最大位移δ_max=15mm。(1)建立數(shù)學(xué)模型，給出目標(biāo)函數(shù)、約束、設(shè)計(jì)變量；(2)選擇一種代理模型，說(shuō)明采樣策略與超參數(shù)估計(jì)方法；(3)選用一種全局優(yōu)化算法，闡述參數(shù)設(shè)置與收斂準(zhǔn)則；(4)給出靈敏度分析方案，指出如何降低計(jì)算量；(5)若需考慮厚度制造公差±0.1mm，提出魯棒優(yōu)化模型并線(xiàn)性化。答案：(1)minf=ω?M+(1?ω?)δ_max，M=ρ∑A_it_i+ρ∑B_jr_j，δ_max為三種工況最大位移，約束：σ_k≤200，δ_k≤15，1≤t_i≤5，1≤r_j≤4。(2)選用Kriging，采樣采用拉丁超立方200點(diǎn)，超參數(shù)θ通過(guò)MLE用遺傳算法優(yōu)化，似然函數(shù)lnL=?0.5[nlnσ2+ln|R|]。(3)采用EGO（EI最大化），初始樣本200，每代加5點(diǎn)，EI優(yōu)化用差分進(jìn)化，停止：EI<0.001或預(yù)算1000。(4)采用半解析伴隨靈敏度，對(duì)厚度變量，?δ/?t=?u^T(?K/?t)u，避免重分解，用稀疏LU復(fù)用。(5)魯棒模型：minω?E[M]+(1?ω?)E[δ_max]+λVar[M]，公差ζ∈[?0.1,0.1]，采用一階泰勒展開(kāi)，E[M]≈M?，Var[M]=∑(?M/?t_i)2σ2，σ=0.1/√3，轉(zhuǎn)化為確定性：minf?+λ∑(ρA_i)2σ2，約束在最壞點(diǎn)σ+Δσ≤200，線(xiàn)性化：σ?+∑|?σ/?t_i|Δt_i≤200，Δt_i=0.1。六、編程實(shí)現(xiàn)題（20分）31.用Python實(shí)現(xiàn)共軛梯度法求解Ax=b，其中A為n×n對(duì)稱(chēng)正定三對(duì)角矩陣，主對(duì)角線(xiàn)元素為4，次對(duì)角線(xiàn)元素為?1，n=1000，b為全1向量。要求：(1)寫(xiě)出完整代碼，包含矩陣向量乘積不存A；(2)輸出迭代次數(shù)與殘差‖r‖?；(3)與SciPyCG對(duì)比運(yùn)行時(shí)間。答案：```pythonimportnumpyasnpimporttimefromscipy.sparse.linalgimportcgdefcg_solver(n,b,tol=1e6,maxit=2000):x=np.zeros(n)r=b.copy()p=r.copy()rsold=np.dot(r,