射洪中學(xué)高級(jí)高一上期強(qiáng)實(shí)班半期考試數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：分鐘滿分：分）注意事項(xiàng)：答卷前，考生務(wù)必將自己的班級(jí)、姓名、考號(hào)填寫在答題卡上.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)寫在本試卷上無(wú)效.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上寫在本試卷上無(wú)效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.第I卷選擇題（共分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列關(guān)系式中，正確的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】，所以A錯(cuò)誤；集合是點(diǎn)集，集合{2}數(shù)集，沒(méi)有包含關(guān)系，故B錯(cuò)誤；是有理數(shù)集，，所以C錯(cuò)誤；空集是任何集合的子集，所以D正確.故選：D.2.命題“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】第1頁(yè)/共17頁(yè)【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷即可.【詳解】命題“”為存在量詞命題，其否定為：.故選：C3.已知p：，q：，則p是q的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】解方程和，根據(jù)充分條件、必要條件即可求解.【詳解】由，得或，由，得或，因?yàn)榛虺闪⑼撇怀龌虺闪?，反之也不成立，所以既不是q的充分條件，也不是q的必要條件.故選：D4.若為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且，則的圖象大致為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得，即可求解解析式，通過(guò)排除可得答案．第2頁(yè)/共17頁(yè)【詳解】解：由得：，即，由解得：，由，排除BC．由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（指數(shù)爆炸性）排除D．故選：A5.函數(shù)的圖象大致為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性與正負(fù)值排除判定即可.【詳解】函數(shù),故函數(shù)是奇函數(shù),圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除C、D，當(dāng)，排除B.故選：A.6.下列不等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】的單調(diào)性即可判斷AB比第3頁(yè)/共17頁(yè)較即可判斷C；利用的單調(diào)性即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闉闇p函數(shù)，，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，，即比較與的大小，，，.故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，可以化為，由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增可知，因?yàn)椋?，故D錯(cuò)誤.故選：B.7.若函數(shù)的取值集合是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合不等式恒成立和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分與2的關(guān)系討論可得.【詳解】由可得，則當(dāng)時(shí)，不等式，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，第4頁(yè)/共17頁(yè)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即.綜上，實(shí)數(shù)的取值集合是.故選：D.8.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)滿足條件:①都在函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.則稱點(diǎn)對(duì)是函數(shù)的一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”(點(diǎn)對(duì)與看作同一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”).已知函數(shù)(且)，若此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有且只有一對(duì)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意求出當(dāng)時(shí)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)，條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)與可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為，即，，若此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有且只有一對(duì)，則等價(jià)為函數(shù)與只有一個(gè)交點(diǎn)，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖，第5頁(yè)/共17頁(yè)若，則與只有一個(gè)交點(diǎn)，滿足條件，當(dāng)時(shí)，；若，要使兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，則滿足（5），即得，得或，，，綜上可得的范圍是或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化為函數(shù)相交是解決本題的關(guān)鍵，屬于難題．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知實(shí)數(shù)滿足，則下列不等式中一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】AC第6頁(yè)/共17頁(yè)【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式性質(zhì)，結(jié)合作差法、特例法比較大小即得.【詳解】對(duì)于A，由，得，A正確；對(duì)于B，由，得，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，所以，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：AC10.已知關(guān)于的不等式的解集是，其中，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】由韋達(dá)定理得根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可得.【詳解】由題意可得，且，則，，即，故A、B正確；由，，故，，即，，又，，故，，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：ABD.已知函數(shù)實(shí)數(shù)滿足，且，則（）A.第7頁(yè)/共17頁(yè)B.C.D.函數(shù)有5個(gè)互不相等的零點(diǎn)【答案】ACD【解析】A的范圍判斷B的范圍求解判斷C，根據(jù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象分別與交點(diǎn)個(gè)數(shù)之和，數(shù)形結(jié)合即可判斷D.【詳解】函數(shù)，所以，所以，故A正確；由實(shí)數(shù)滿足，知函數(shù)圖象與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖象，如圖：結(jié)合圖象，可得，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性知，，又，所以，所以，故C正確；，由題意，所以函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為三個(gè)方程解的個(gè)數(shù)之和，即函數(shù)的圖象分別與，，交點(diǎn)個(gè)數(shù)之和，由C可知，，，結(jié)合圖象可知，第8頁(yè)/共17頁(yè)函數(shù)圖象與有一個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)的圖象與有三個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)的圖象與有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)有5個(gè)互不相等的零點(diǎn)，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，求解此類問(wèn)題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．第卷非選擇題（共分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.求函數(shù)的定義域______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)有意義，得，解對(duì)數(shù)不等式，即可求解.【詳解】要使原函數(shù)有意義，則，即，解得或．所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋?3.若時(shí)，，則a的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】通過(guò)分析函數(shù)和的圖象關(guān)系，結(jié)合已知條件確定的取值范圍.和時(shí)，的圖象在圖象下方，所以.第9頁(yè)/共17頁(yè)令，則，所以，解得.故答案為：.14.已知函數(shù)，的零點(diǎn)分別為，，且，，則______；若恒成立，則整數(shù)的最大值為______.（參考數(shù)據(jù)：，，，.）【答案】①.2②.6【解析】與圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系可知函數(shù)、的圖象關(guān)于對(duì)稱，作出圖象，利用對(duì)稱性可得第一空答案；由零點(diǎn)存在定理可得，且，從而得，即可得第二空答案.【詳解】解：令，由；令，則，所以與圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為兩函數(shù)的零點(diǎn).又因?yàn)椋鋱D象是將的圖象向右平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到的，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知曲線的圖象關(guān)于對(duì)稱，又因?yàn)榈膱D象也關(guān)于對(duì)稱，第10頁(yè)/共17頁(yè)當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，所以，可得，，令，則，因?yàn)樵谏暇鶠閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，即在上單調(diào)遞增，由，可得，，由零點(diǎn)存在定理可得，則，且，因?yàn)楹愠闪?，所以整?shù)的最大值為.故答案為：2；6.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是得出函數(shù)、的圖象關(guān)于對(duì)稱并作出第11頁(yè)/共17頁(yè)四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15（1）計(jì)算；（2）計(jì)算.【答案】（1）2）【解析】【分析】（1）直接根據(jù)對(duì)數(shù)求值求解即可；（2）利用指數(shù)的運(yùn)算法則即可得解.1）；（2）.16.已知集合.（1）求集合A；（2）若集合，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】1）求出函數(shù)的值域即可求解；（2）解一元二次不等式，再根據(jù)補(bǔ)集交集運(yùn)算求解即可.【小問(wèn)1詳解】第12頁(yè)/共17頁(yè)，所以.【小問(wèn)2詳解】，所以，，即，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?17.某路段需鋪設(shè)防滑瀝青，總長(zhǎng)度為，設(shè)施工隊(duì)每天鋪設(shè)的長(zhǎng)度為，每天的費(fèi)用為萬(wàn)元，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.（1）求完成該路段的鋪設(shè)工作的總費(fèi)用.（總費(fèi)用=每天的費(fèi)用施工天數(shù)）（2）當(dāng)為多少時(shí)，完成該路段的鋪設(shè)工作的總費(fèi)用最低？最低總費(fèi)用是多少？【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，總費(fèi)用最低，最低總費(fèi)用是8萬(wàn)元.【解析】1）由題意得鋪設(shè)完工所需時(shí)間為天，根據(jù)題意分析得出函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式利用函數(shù)單調(diào)性和基本不等式分析求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題意，鋪設(shè)完工所需時(shí)間為天，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，第13頁(yè)/共17頁(yè)所以.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，總費(fèi)用最低，最低總費(fèi)用是8萬(wàn)元.18.已知函數(shù)（a為實(shí)數(shù)）是奇函數(shù).（1）求a的值；（2）解不等式：；（3）若實(shí)數(shù)時(shí)，恒有，求t的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】1）結(jié)合指數(shù)運(yùn)算，根據(jù)奇函數(shù)的定義列式求解；（2）將不等式等價(jià)化簡(jiǎn)得，然后結(jié)合對(duì)數(shù)概念利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式即可；（3）結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)和單調(diào)性可得，，，進(jìn)一步即可求解【小問(wèn)1詳解】由題意函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，第14頁(yè)/共17頁(yè)所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，則，所以，由函數(shù)單調(diào)遞增得，所以原不等式的解集為；【小問(wèn)3詳解】，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，顯然的定義域?yàn)椋?dāng)增大時(shí)，增大，此時(shí)減小，也減小，此時(shí)也減小，所以是上的減函數(shù)，所以由，可得，由題意得，，所以，，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)，可知在上單調(diào)遞減，所以，即的取值范圍為.19.已知函數(shù)，其中.（1）證明：函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形；第15頁(yè)/共17頁(yè)（3）令，若，使得，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】1）計(jì)算出函數(shù)定義域后，驗(yàn)證是否為定值即可得；（2）結(jié)合函數(shù)定義域，計(jì)算大于是否恒成立即可得；（3）由題意可得，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得，利用換元法與對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得，解出即可得解.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，即，即，，故關(guān)于中心對(duì)稱；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，則，故當(dāng)時(shí)，；【小問(wèn)3詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，則單調(diào)遞減，又關(guān)于中心對(duì)稱，故在上單調(diào)遞減，則