屆高三年級(jí)上學(xué)期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)本試卷滿分分，考試時(shí)間分鐘.一、單選題1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式，求出集合A和集合B，再取并集即可求解.【詳解】由解得，故集合，由解得，故集合，所以.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A.B.1C.3D.或1【答案】B【解析】【分析】利用純虛數(shù)的概念可得所滿足的條件，計(jì)算求解即可.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)純虛數(shù)，所以，解得.故選：B.3.函數(shù)在上單調(diào)遞增的必要不充分條件為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】第1頁(yè)/共19頁(yè)在在解即可.【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得在上恒成立，則，解得，因此A是充分條件，B是充要條件，C是既不充分也不必要條件，D是必要不充分條件.故選：D4.已知等比數(shù)列，則（）A.3B.±3C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列性質(zhì)計(jì)算得解.【詳解】在等比數(shù)列中，，由，得，而，因此，又，且同號(hào)，則，所以.故選：C5.已知，分別是正方體的棱，誤的是（）A.B.平面平面C.四面體的體積為定值D.平面【答案】C【解析】【分析】A，利用線面垂直的判定定理證明平面即可；B，根據(jù)平面平面第2頁(yè)/共19頁(yè)判斷；C，根據(jù)到平面的距離，到的距離為定值，的長(zhǎng)不是定值判斷；D，根據(jù)平面平面判斷.【詳解】如圖所示：，分別是正方體的棱，對(duì)于A，，，，、平面，平面，平面，，故A正確；對(duì)于B，∵平面平面，平面與平面重合，∴平面平面，故B正確；對(duì)于C，到平面的距離為定值，到的距離為定值，的長(zhǎng)不是定值，∴四面體的體積不為定值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，∵平面平面，平面，平面，故D正確．故選：C．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明直線和平面垂直的常用方法：①線面垂直的定義；②判定定理；③垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；④面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；⑤面面垂直的性質(zhì)．6.已知直線與：交于在上的投影向量的模為，則的值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成圓心到直線的距離為，利用點(diǎn)到線的距離公式，即可求解.第3頁(yè)/共19頁(yè)又易知直線過(guò)定點(diǎn)，如圖，過(guò)作于，因?yàn)樵谏贤队跋蛄康哪?，則，所以，則，解得，故選：D.7.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，對(duì)于恒成立，則的最小值為（）A.B.0C.1D.4【答案】B【解析】【分析】由累乘法求得，再結(jié)合錯(cuò)位相減求和，即可求解.【詳解】由題，，又符合上式，所以則，①，，②，由①②，得，第4頁(yè)/共19頁(yè)所以，若對(duì)于恒成立，即對(duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，所以，所以.故選：B8.已知函數(shù)，若方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的最大值是A1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作出圖像,由已知得，令t=,用t表示出兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，然后令g(t)，對(duì)函數(shù)g(t)求導(dǎo)即可得到所求最大值.【詳解】作出的函數(shù)圖像如圖所示：由可得，∴，即.不防設(shè)，則，令，則，，∴，令，則，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值.第5頁(yè)/共19頁(yè)【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用，屬于中檔題．二、多選題9.已知函數(shù)的部分圖象如圖，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.在區(qū)間上的最小值為C.是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D.將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱【答案】BCD【解析】正確答案.A的最小正周期A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題圖可知，，且函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，解得，所以.當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，第6頁(yè)/共19頁(yè)對(duì)于DD正確.故選：BCD.10.設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在的右支上，且不與的頂點(diǎn)重合，則下列命題中正確的是（）A.若且，則雙曲線的兩條漸近線的方程是B.若，則的面積等于C.若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則雙曲線的離心率大于3D.以為直徑的圓與以的實(shí)軸為直徑的圓外切【答案】BCD【解析】【分析】將且，帶入方程求解漸近線方程即可判斷A；，結(jié)合雙曲線的定義求解即可判斷B點(diǎn)坐標(biāo)代入的方程，然后計(jì)算離心率的取值范圍即可判斷C是的中位線，兩圓的半徑之和，故兩圓外切，即可判斷D.【詳解】當(dāng)且時(shí)，的漸近線斜率為，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)B正確；把點(diǎn)坐標(biāo)代入的方程得：，選項(xiàng)C正確；第7頁(yè)/共19頁(yè)如圖，兩圓的圓心距是的中位線，兩圓的半徑之和，故兩圓外切，選項(xiàng)D正確.故選：BCD已知是定義在上的偶函數(shù)，且，則（）A.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B.為奇函數(shù)C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.【答案】BCD【解析】，即可得函數(shù)的對(duì)稱性，從而判斷ABC，進(jìn)一步得函數(shù)的周期性，進(jìn)而根據(jù)周期性判斷D.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，且，所以，，因此的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即，即，所以為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤，B和C正確；因?yàn)?，所以，于是，所以，又，所以，故D正確．故選：BCD.三、填空題12.焦點(diǎn)在直線上拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．第8頁(yè)/共19頁(yè)【解析】【分析】先求出直線與坐標(biāo)軸的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線方程的定義求出結(jié)果即可.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，焦點(diǎn)必在坐標(biāo)軸上，先求直線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：直線與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，所以拋物線的焦點(diǎn)為或．當(dāng)焦點(diǎn)為時(shí)，拋物線方程為；當(dāng)焦點(diǎn)為時(shí)，拋物線方程為．綜上，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．故答案為：或．13.已知，且滿足，則________．【答案】【解析】【分析】應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合兩角差的余弦化簡(jiǎn)，應(yīng)用角的范圍或應(yīng)用三角恒等變換結(jié)合角的范圍得出，最后應(yīng)用二倍角余弦公式計(jì)算.【詳解】法一：由，則，因此，又因，所以，所以，則．法二：由，則，結(jié)合則，則．第9頁(yè)/共19頁(yè)故答案為：.14.已知三棱錐中，，為作三棱錐外接球的截面，則截面面積的最小值為______.【答案】【解析】【分析】取線段的中點(diǎn)，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系求出點(diǎn)為三棱錐的外接球球心，再根據(jù)的關(guān)系求出的最小值即可.【詳解】取線段的中點(diǎn)，連接，因，，，則由勾股定理可知，，，則，則點(diǎn)為三棱錐的外接球球心，外接球半徑為因，則由勾股定理可知，，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，則，設(shè)球心到過(guò)點(diǎn)的三棱錐外接球的截面的距離為，截面圓的半徑為，則，欲使截面面積最小，即最小，則要求最大，當(dāng)垂直截面時(shí)，最大，最大值為，則的最小值為，則截面面積的最小值為.故答案為：四、解答題第10頁(yè)/共19頁(yè)（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間和最值．【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程；（2）根據(jù)題意可得，可得，進(jìn)而求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，則，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.【小問(wèn)2詳解】由，，則，所以，則，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，所以，解得，此時(shí)，則，令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，第11頁(yè)/共19頁(yè)則時(shí)，函數(shù)取得極小值，滿足題意，即，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，無(wú)最大值.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，再由與的關(guān)系，即可得到結(jié)果；（2）由裂項(xiàng)相消法代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且滿足上式，所以.【小問(wèn)2詳解】，第12頁(yè)/共19頁(yè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.17.在平面四邊形中，，，，.（1）求的長(zhǎng).（2）若為銳角三角形，求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】1）在中求出，然后利用正弦定理可求出的長(zhǎng)；（2）先求出，然后由為銳角三角形，求出角的范圍，再利用正弦定理表示出，從而可表示出面積，化簡(jiǎn)后結(jié)合角的范圍可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】在中，，，則，由正弦定理得，，所以，因?yàn)榈?3頁(yè)/共19頁(yè)所以；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即，解得，在中，由正弦定理得，則，所以，因?yàn)?，所以，?4頁(yè)/共19頁(yè)所以，所以，所以，即.18.如圖，四棱錐中，底面，，，.（1）若G點(diǎn)為的重心，求；（2）若，證明：平面；（3）若，且二面角的正弦值為，求.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】1）設(shè)出空間的一組基向量，將用基向量表示，運(yùn)用數(shù)量積的運(yùn)算律即可求得；（2）利用題設(shè)條件，先由線線垂直證明平面，得出，再證，在底面上，可得，最后由線線平行證線面平行即得；（3）設(shè)，，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)和平面法向量的坐標(biāo)，利用向量夾角的坐標(biāo)公式列出方程，求得，即得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，，，則，，第15頁(yè)/共19頁(yè)如圖，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn),連接,則兩邊取平方得.∴，∴.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所?因?yàn)?，所以，在底面上，可知，又平面，平面，所以平?【小問(wèn)3詳解】設(shè)，，則①，因，如圖，第16頁(yè)/共19頁(yè)過(guò)點(diǎn)作的平行線，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.此時(shí)有因設(shè)平面的法向量為，則，故可取；又設(shè)平面的法向量為，則，故可??；則，由題意，，即②聯(lián)立①②，解得故【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查空間向量在證明線面關(guān)系，空間角等方面的應(yīng)用，屬于較難題.解題的關(guān)鍵在于結(jié)合圖形，要么選擇空間的一組基底，將相關(guān)向量用基底表示，通過(guò)向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算求得結(jié)論；要么建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決問(wèn)題.19.定義：若橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)，滿足，則稱A，B為該橢圓的一個(gè)“共軛點(diǎn)對(duì)”，記作．已知橢圓C：上一點(diǎn)．（1）求“共軛點(diǎn)對(duì)”中點(diǎn)B所在直線l的方程．（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P，Q在橢圓C上，且1）中的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)．①求點(diǎn)，的坐標(biāo)；②設(shè)四點(diǎn)，P，，Q在橢圓C上逆時(shí)針排列，證明：四邊形的面積小于．【答案】（1）（2）①，；②證明見(jiàn)解析第17頁(yè)/共19頁(yè)【解析】1）設(shè)，根據(jù)“共軛點(diǎn)對(duì)”得直線方程為，化簡(jiǎn)即可；（2）①聯(lián)立直線和橢圓的方程，解出即可；②設(shè)點(diǎn)，，利用點(diǎn)差法得，設(shè)過(guò)點(diǎn)P且與直線l平行的直線的方程為，計(jì)算直線與橢圓相切時(shí)的值，再檢驗(yàn)證明此時(shí)不滿足，則證明出面積小于.【小問(wèn)1詳解】設(shè)中點(diǎn)B的坐標(biāo)為，對(duì)于橢圓C：上的點(diǎn)，由“共軛點(diǎn)對(duì)”的定義，可知直線l的方程為，即l：．【小問(wèn)2詳解】①聯(lián)立直線l和橢圓C的方程，得解得或，所以直線l和橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，．②設(shè)點(diǎn)，，則，兩式相減得．又，所以，所以，即，線段PQ被直線l平分．設(shè)點(diǎn)到直線的距離為d，則四邊形的面積．第18頁(yè)/共19頁(yè)設(shè)過(guò)