《向量在物理中的應(yīng)用舉例》教案教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點、難點教學(xué)目標(biāo)1.通過對具體問題的講解，讓學(xué)生了解用向量方法解決物理問題的“三步曲”；2.通過對具體問題的講解，讓學(xué)生體會向量方法在力、位移、速度的合成與分解，功的計算問題中的應(yīng)用；3．在用向量方法解決物理問題的過程中，讓學(xué)生體會向量方法的程序化步驟，體會類比思想以及化歸轉(zhuǎn)化思想，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).教學(xué)重點用向量方法解決物理問題的“三步曲”.教學(xué)難點將物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題.教學(xué)方法講授式.教學(xué)過程(表格描述)教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)活動設(shè)置意圖回顧回顧用平面向量解決平面幾何問題的“三步曲”：回顧舊知，鋪墊新課引入類比用平面向量解決平面幾何問題的“三步曲”，考慮如下三個問題：1.為什么要用平面向量來解決物理問題？2.平面向量可以解決哪些物理問題？3.如何運用平面向量來解決物理問題？提出問題，明確主線.新課教師首先提問：在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗：兩個人共提一個旅行包，夾角越大越費力；在單杠上做引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力.你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種形象嗎？分析上面的問題可以抽象為如圖所示的數(shù)學(xué)模型．只要分析清楚F,G,三者之間的關(guān)系（其中F為F1,F2的合力）,就得到了問題的數(shù)學(xué)解釋．解不妨設(shè)|F1|=|F2|，由向量加法的平行四邊形法則，力的平衡原理以及直角三角形的知識，可以得到|F1|=．通過上面的式子我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)由逐漸變大時，由逐漸變大，的值由大逐漸變小，因此，|F1|由小逐漸變大，即F1、F2之間的夾角越大越費力，夾角越小越省力．探究(1)q為何值時，最小，最小值是多少？分析當(dāng)q=0時，取到最大值1.此時最小，最小值為.(2)能等于嗎?為什么？分析當(dāng)時，.因為，所以q=.(3)F1，F(xiàn)2的方向能在同一條水平線上嗎？分析若F1,F2同向，且在同一條水平線上，則物體受力不平衡；若F1,F2反向，且在同一條水平線上，則F1，F(xiàn)2沒有豎直方向的分力與G平衡.綜上，F(xiàn)1,F2的方向不能在同一條水平線上.另外，從|F1|=來看，當(dāng)時，分母.因此，從數(shù)學(xué)的角度來看，F(xiàn)1,F2也不能反向，且在同一條水平線上.由此歸納，用向量方法解決物理問題的“三步曲”：（1）把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；（2）建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型，求出數(shù)學(xué)模型的有關(guān)解；（3）回到問題的初始狀態(tài)，解決相關(guān)物理問題，解釋相關(guān)物理現(xiàn)象.講解實例，歸納方法.例題應(yīng)用一用向量研究力的合成、分解例若平面上的三個力作用于一點，且處于平衡狀態(tài).已知，，與的夾角為，求：(1)的大小；(2)與的夾角大小.分析由力的平衡，可知0，從而借助公式來計算的大小，利用來計算與的夾角大小.解(1)由力的平衡，知0，解得.所以.因為所以.(2)設(shè)與的夾角為.因為.所以.因為，所以q=.即與的夾角大小為.應(yīng)用二用向量刻畫位移例A,B兩個粒子同時從原點O出發(fā)，粒子A先從O運動到P，再從P運動到Q停止，其位移依次是.粒子B從O運動到M停止，其位移為.當(dāng)A,B兩個粒子停止時，求：(1)粒子A從開始運動到停止的位移；(2)粒子B相對A的位移s.分析對于粒子A，其總位移為兩次位移的和，因此考慮用向量的加法；而粒子B相對A的位移s為向量，因此考慮用向量的減法.解(1)依題意，有，從而.(2)依題意，.粒子B相對A的位移s.應(yīng)用三利用向量進(jìn)行功的計算例一物體在力F的作用下，由點A(20,15)移動到點B(7,0).已知F=(4,?5)，求F對該物體所做的功.分析對功的計算，可以利用公式.其中F代表作用在物體上的力，代表物體的位移.解設(shè)物體在力F的作用下產(chǎn)生的位移為，F(xiàn)對該物體所做的功為.因為A(20,15)，B(7,0).所以.又因為F=，所以.即F對該物體所做的功為23.應(yīng)用四速度的分解與合成例如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d＝500m，一艘船從A處出發(fā)到河對岸.已知船的速度10km/h，水流速度2km/h，問行駛航程最短時，所用時間是多少（精確到0.1min）？思考:1.“行駛最短航程”是什么意思？直線外一點與直線上一點的連線中，垂線段最短；船的實際航行路線與河岸垂直.2.怎樣才能使航程最短？船的實際航行方向與船的合速度方向一致；船的合速度與河岸垂直，即與水流速度垂直.解如圖，設(shè)的合速度為.依題意，.所以.所用時間(min).答:行駛航程最短時，所用時間是3.1min.例如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d＝500m，一艘船從A處出發(fā)到河對岸.已知船的速度10km/h，水流速度2km/h，問行駛時間最短時，所用時間是多少？思考:1.“行駛時間最短”是什么意思？如果要使船行駛的時間最短，那么船行駛的距離與合速度的大小的比值必須最小.2.怎樣才能使行駛時間最短？我們分三種情況討論：(1)當(dāng)船速與水流速度成鈍角時；(2)當(dāng)船速與水流速度成直角時；(3)當(dāng)船速與水流速度成銳角時.解設(shè)與的夾角為，與的合速度為.(1)當(dāng)船速與水流速度成鈍角，即為鈍角時，小船朝著合速度的方向航行.設(shè)合速度在AB(垂直于河岸方向)上的分速度為，則小船行駛的時間.注意到也相當(dāng)于船速在AB上的分速度.因為船速與分速度的夾角為，所以.從而小船行駛的時間().值得注意的是，當(dāng)船速與水流速度成鈍角時，合速度并不一定與成鈍角，但是合速度以及船速在AB上的分速度大小均為.(2)當(dāng)船速與水流速度成直角，即為直角時，合速度在AB(垂直于河岸方向)上的分速度和船速相等.從而小船行駛的時間.(3)當(dāng)船速與水流速度成銳角，即為銳角時，小船朝著合速度的方向航行.因為船速與分速度的夾角為，所以分速度的大小.從而小船行駛的時間().綜上，小船行駛時間為，所以當(dāng)，即船速與水流速度成直角時，小船行駛時間最短，為(min).進(jìn)一步我們還知道，小船以最短路徑過河時，過河時間不是最短，為3.1min.過河時間最短時，合速度的大小.設(shè)小船過河行駛的距離為，則，即510(m).分類講解，多題歸一.總結(jié)總結(jié)知識、提煉升華.作業(yè)一條東西方向的河流兩岸平行，河寬250m，河水的速度為向東.一艘小貨船準(zhǔn)備從河的這一邊的碼頭A處出發(fā)，航行到位于河對岸B（AB與河的方向垂直）的正西方向并且與B相距的碼頭C處卸貨.若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為，則當(dāng)小貨船的航程最短時，求合速度的方向，并求此時小貨船航行的速度的大小.布置作業(yè)、課堂延申.課后篇鞏固提升合格考達(dá)標(biāo)練1.如圖,一同學(xué)表演蕩秋千。已知秋千的兩根繩長均為10m,該同學(xué)和秋千踏板的總質(zhì)量約為50kg。繩的質(zhì)量忽略不計。當(dāng)該同學(xué)蕩到秋千支架的正下方時,速度大小為8m/s,此時每根繩子平均承受的拉力約為()A.200NB.400NC.600N D.800N答案B解析該同學(xué)身高相對于秋千的繩長可忽略不計,可以把該同學(xué)看成質(zhì)點。當(dāng)該同學(xué)蕩到秋千支架的正下方時,由牛頓第二定律有2F-mg=mv2L(式中F為每根繩子平均承受的拉力,L為繩長),代入數(shù)據(jù)解得F=410N,2.如圖所示,某公園里的過山車駛過軌道的最高點時,乘客在座椅里面頭朝下,人體顛倒,若軌道半徑為R,人體重為mg,要使乘客經(jīng)過軌道最高點時對座椅的壓力等于自身的重力,則過山車在最高點時的速度大小為()A.0 B.gR C.2gR D.答案C解析由題意知F+mg=2mg=mv2R,故速度大小v=23.(多選)如圖所示,用細(xì)繩拴著質(zhì)量為m的物體,在豎直面內(nèi)做圓周運動,圓周半徑為R,則下列說法正確的是()A.小球過最高點時,繩子張力可以為零B.小球過最高點時的最小速度為零C.小球剛好過最高點時的速度是RgD.小球過最高點時,繩子對小球的作用力可以與球所受的重力方向相反答案AC解析小球在最高點時,受重力mg、繩子豎直向下的拉力F(注意:繩子不能產(chǎn)生豎直向上的支持力),向心力為F向=mg+F,根據(jù)牛頓第二定律得mg+F=mv2R?？梢?v越大,F越大;v越小,F越小。當(dāng)F=0時,mg=mv2R,得v臨界=Rg。因此,選項A、C正確4.如圖,一長l=0.5m的輕桿,一端固定在水平轉(zhuǎn)軸上,另一端固定一質(zhì)量m=0.5kg的小球,輕桿隨轉(zhuǎn)軸在豎直平面內(nèi)做角速度ω=4rad/s的勻速圓周運動,其中A為最高點,C為最低點,B、D兩點和圓心O在同一水平線上,重力加速度g取10m/s2。則()A.小球在A點時,桿對小球的作用力方向豎直向下B.小球在B點時,桿對小球的作用力方向指向圓心C.小球在C點時,桿對小球的作用力大小為4ND.小球在D點時,桿對小球的作用力大小為41N答案D解析小球做勻速圓周運動,合力提供向心力,當(dāng)小球在A點時,mg+FA=mω2l,解得FA=-1N,桿對小球的作用力方向豎直向上,A錯誤;小球在B點時,合力提供向心力,則桿對小球的作用力方向斜向右上方,B錯誤;當(dāng)小球在C點時,FC-mg=mω2l,解得FC=9N,C錯誤;小球在D點時,桿對小球的作用力方向斜向左上方,FD=(mg)25.質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)的圓形軌道內(nèi)側(cè)運動,若經(jīng)最高點不脫離軌道的臨界速度為v,則當(dāng)小球以2v速度經(jīng)過最高點時,小球?qū)壍赖膲毫Υ笮?)A.0 B.mg C.3mg D.5mg答案C解析當(dāng)小球以速度v經(jīng)內(nèi)軌道最高點時,小球僅受重力,重力充當(dāng)向心力,有mg=mv2r;當(dāng)小球以速度2v經(jīng)內(nèi)軌道最高點時,小球受重力mg和向下的支持力FN,如圖所示,合力充當(dāng)向心力,有mg+FN=m(2v)2r;又由牛頓第三定律得到,小球?qū)壍赖膲毫εc軌道對小球的支持力相等,FN'=FN。由以上三式得到,FN6.如圖所示,在圓柱形房屋的天花板中心O點懸掛一根長為L的細(xì)繩,繩的下端掛一個質(zhì)量為m的小球,重力加速度為g。已知繩能承受的最大拉力為2mg,小球在水平面內(nèi)做圓周運動,當(dāng)速度逐漸增大時,繩發(fā)生斷裂,求繩斷裂瞬間小球的速度v1。答案3解析小球在繩斷前瞬間受力如圖所示由牛頓第二定律得豎直方向上,有FTmcosθ-mg=0水平方向上,有FTmsinθ=mv由幾何關(guān)系得r=Lsinθ又知FTm=2mg聯(lián)立解得v1=3gL等級考提升練7.如圖所示,乘坐游樂園的翻滾過山車時,質(zhì)量為m的人隨車在豎直平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),下列說法正確的是()A.人在最高點時處于倒坐狀態(tài),全靠保險帶拉住,沒有保險帶,人就會掉下來B.人在最高點時對座位不可能產(chǎn)生大小為mg的壓力C.人在最低點時對座位的壓力等于mgD.人在最低點時對座位的壓力大于mg答案D解析人過最高點時,FN+mg=mv2R,當(dāng)v≥gR時,不用保險帶,人也不會掉下來,當(dāng)v=2gR時,人在最高點時對座位產(chǎn)生的壓力為mg,A、B均錯誤;人在最低點具有豎直向上的加速度,處于超重狀態(tài),故人此時對座位的壓力大于mg,C8.(多選)如圖所示,小球在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓周運動,內(nèi)側(cè)壁半徑為R,小球半徑為r,重力加速度為g。下列說法正確的是()A.小球通過最高點時的最小速度vmin=gB.小球通過最高點時的最小速度vmin=0C.小球在水平線ab以下的管道中運動時,內(nèi)側(cè)管壁對小球一定有作用力D.小球在水平線ab以下的管道中運動時,外側(cè)管壁對小球一定有作用力答案BD解析小球在最高點時,由于管道內(nèi)側(cè)能提供支持力,其通過的速度可以為零,選項A錯誤,選項B正確;小球在水平線ab以下的管道中運動時,由外側(cè)管壁對小球的作用力FN與小球的重力在背離圓心方向的分力FG的合力提供向心力,即FN-FG=mv2R+r,因此,外側(cè)管壁對球一定有作用力,而內(nèi)側(cè)管壁對球無作用力,選項9.某興趣小組設(shè)計了一個滾筒式炒栗子機(jī)器,滾筒內(nèi)表面粗糙,直徑為D。工作時滾筒繞固定的水平中心軸轉(zhuǎn)動。為使栗子受熱均勻,要求栗子到達(dá)滾筒最高處前與筒壁脫離,則(重力加速度為g)()A.滾筒的角速度ω應(yīng)滿足ω<2B.滾筒的角速度ω應(yīng)滿足ω>2C.栗子脫離滾筒的位置與其質(zhì)量有關(guān)D.若栗子到達(dá)最高點時脫離滾筒,栗子將自由下落答案A解析栗子在最高點恰好不脫離時,有mg=mD2ω2,解得ω=2gD,要求栗子到達(dá)滾筒最高處前與筒壁脫離,則ω<2gD,故A正確,B錯誤;栗子脫離滾筒的位置與其質(zhì)量無關(guān),故C錯誤;若栗子到達(dá)最高點時脫離滾筒,由于栗子此時的速度不為零,10.如圖所示,可視為質(zhì)點的木塊A、B疊放在一起,放在水平轉(zhuǎn)臺上隨轉(zhuǎn)臺一起繞固定轉(zhuǎn)軸OO'勻速轉(zhuǎn)動,木塊A、B與轉(zhuǎn)軸OO'的距離為1m,A的質(zhì)量為5kg,B的質(zhì)量為10kg。已知A與B間的動摩擦因數(shù)為0.2,B與轉(zhuǎn)臺間的動摩擦因數(shù)為0.3,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,g取10m/s2。若木塊A、B與轉(zhuǎn)臺始終保持相對靜止,則轉(zhuǎn)臺角速度ω的最大值為()A.1rad/s B.2rad/sC.3rad/s D.3rad/s答案B解析由于A和A、B整體受到的靜摩擦力均提供向心力,故對A,有μ1mAg≥mAω2r,對A、B整體,有(mA+mB)ω2r≤μ2(mA+mB)g,解得ω≤2rad/s,故選項B正確。11.如圖所示,一位同學(xué)做