2025年概率論b考試試題及答案一、單項選擇題（每題4分，共20分）1.設(shè)事件A與B滿足P(A)=0.6，P(B)=0.5，P(A∪B)=0.8，則P(A|B)的值為（）A.0.4B.0.5C.0.6D.0.72.隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且E[(X-1)(X-2)]=1，則λ=（）A.1B.2C.3D.43.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，則P(X≤a,Y>b)等于（）A.F(a,b)B.F(a,+∞)-F(a,b)C.F(+∞,b)-F(a,b)D.1-F(a,b)4.設(shè)X~N(μ,σ2)，Y=2X-3，則Y的分布為（）A.N(2μ-3,4σ2)B.N(2μ-3,2σ2-3)C.N(μ-3,4σ2)D.N(2μ,σ2)5.設(shè)X?,X?,…,X?為獨立同分布的隨機(jī)變量，E(X?)=μ，Var(X?)=σ2>0，記S?=X?+X?+…+X?，則當(dāng)n→∞時，(S?-nμ)/(σ√n)依分布收斂于（）A.N(0,1)B.N(μ,σ2)C.泊松分布P(λ)D.均勻分布U(0,1)二、填空題（每題5分，共25分）6.袋中有3個紅球和2個白球，不放回地取兩次，每次取一個。已知第一次取到紅球，則第二次取到白球的概率為________。7.隨機(jī)變量X服從參數(shù)p=0.3的幾何分布，即P(X=k)=(1-p)??1p，k=1,2,…，則E(X)=________。8.設(shè)X~N(1,4)，則P(X≤3)=________（已知Φ(1)=0.8413，Φ(0.5)=0.6915）。9.二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律如下：|Y\X|0|1||||||0|0.2|0.3||1|0.1|0.4|則P(X+Y≤1)=________。10.設(shè)X與Y獨立，X~N(2,1)，Y~N(3,4)，則Var(2X-Y+5)=________。三、計算題（每題12分，共48分）11.某工廠有三條生產(chǎn)線，分別生產(chǎn)產(chǎn)品的30%、50%、20%，各生產(chǎn)線的次品率分別為2%、1%、3%?，F(xiàn)從該廠產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，求：（1）該產(chǎn)品是次品的概率；（2）若抽到次品，該次品來自第一條生產(chǎn)線的概率。12.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為：f?(x)={2x,0<x<1；0,其他}令Y=X2，求Y的概率密度函數(shù)f?(y)。13.設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為：f(x,y)={6xy,0<x<1,0<y<1-x；0,其他}（1）求X的邊緣概率密度f?(x)；（2）求E(XY)。14.某保險公司有10000份同類型保單，每份保單的年賠付額X（單位：萬元）服從參數(shù)λ=0.1的指數(shù)分布，且各保單賠付相互獨立。利用中心極限定理近似計算該公司年賠付總額超過1100萬元的概率（Φ(1)=0.8413，Φ(2)=0.9772）。四、證明題（7分）15.證明切比雪夫不等式：對任意隨機(jī)變量X，若E(X)=μ，Var(X)=σ2，則對任意ε>0，有P(|X-μ|≥ε)≤σ2/ε2。答案及解析一、單項選擇題1.答案：C解析：由P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)得P(AB)=0.6+0.5-0.8=0.3，故P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.3/0.5=0.6。2.答案：A解析：E[(X-1)(X-2)]=E(X2-3X+2)=E(X2)-3E(X)+2。泊松分布中E(X)=λ，Var(X)=λ，故E(X2)=λ2+λ。代入得λ2+λ-3λ+2=λ2-2λ+2=1，解得λ=1。3.答案：B解析：P(X≤a,Y>b)=P(X≤a)-P(X≤a,Y≤b)=F(a,+∞)-F(a,b)。4.答案：A解析：正態(tài)分布的線性變換保持正態(tài)性，E(Y)=2μ-3，Var(Y)=4σ2，故Y~N(2μ-3,4σ2)。5.答案：A解析：中心極限定理表明，標(biāo)準(zhǔn)化后的和收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。二、填空題6.答案：2/4=0.5解析：第一次取到紅球后，袋中剩余2紅2白，共4個球，故第二次取白球的概率為2/4=0.5。7.答案：1/p=10/3≈3.333解析：幾何分布的期望E(X)=1/p=1/0.3=10/3。8.答案：Φ((3-1)/2)=Φ(1)=0.8413解析：X~N(1,4)，則(X-1)/2~N(0,1)，P(X≤3)=P((X-1)/2≤(3-1)/2)=Φ(1)=0.8413。9.答案：0.2+0.3+0.1=0.6解析：X+Y≤1的情況包括(0,0),(1,0),(0,1)，對應(yīng)概率0.2+0.3+0.1=0.6。10.答案：22×1+(-1)2×4=4+4=8解析：Var(2X-Y+5)=4Var(X)+Var(Y)=4×1+4=8（常數(shù)方差為0）。三、計算題11.解：（1）設(shè)A?表示“產(chǎn)品來自第i條生產(chǎn)線”（i=1,2,3），B表示“產(chǎn)品是次品”。P(A?)=0.3，P(A?)=0.5，P(A?)=0.2；P(B|A?)=0.02，P(B|A?)=0.01，P(B|A?)=0.03。由全概率公式：P(B)=ΣP(A?)P(B|A?)=0.3×0.02+0.5×0.01+0.2×0.03=0.006+0.005+0.006=0.017。（2）由貝葉斯公式：P(A?|B)=P(A?)P(B|A?)/P(B)=0.3×0.02/0.017≈0.3529。12.解：Y=X2的取值范圍為(0,1)（因X∈(0,1)）。當(dāng)y∈(0,1)時，Y的分布函數(shù)F?(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)=P(X≤√y)=∫?^√y2xdx=[x2]?^√y=y。對y求導(dǎo)得f?(y)=dF?(y)/dy=1（0<y<1），其他情況f?(y)=0。13.解：（1）X的邊緣密度f?(x)=∫?∞^∞f(x,y)dy。當(dāng)0<x<1時，y的范圍是0到1-x，故：f?(x)=∫?^(1-x)6xydy=6x·[y2/2]?^(1-x)=3x(1-x)2（0<x<1）；其他情況f?(x)=0。（2）E(XY)=∫∫xy·f(x,y)dxdy=∫?1∫?^(1-x)xy·6xydydx=6∫?1x2[∫?^(1-x)y2dy]dx=6∫?1x2·[(1-x)3/3]dx=2∫?1x2(1-x)3dx令t=1-x，則x=1-t，dx=-dt，積分變?yōu)?∫?1(1-t)2t3dt=2[∫?1(t3-2t?+t?)dt]=2[(1/42/5+1/6)]=2[(15/6024/60+10/60)]=2×(1/60)=1/30≈0.0333。14.解：每份保單賠付X~Exp(λ=0.1)，則E(X)=1/λ=10，Var(X)=1/λ2=100。設(shè)總賠付S=X?+X?+…+X?????，由中心極限定理，S近似服從N(nμ,nσ2)=N(10000×10,10000×100)=N(100000,1000000)。要求P(S>1100)=P(S>1100)=P((S-100000)/√1000000>(1100-100000)/1000)但此處單位可能有誤，實際應(yīng)為年賠付總額超過1100萬元，即S>1100（萬元），而n=10000份，每份期望10萬元，總期望為10000×10=100000萬元=10億元，顯然題目中“1100萬元”應(yīng)為“11000萬元”（1.1億元）更合理，可能是筆誤。假設(shè)題目為“超過11000萬元”，則：標(biāo)準(zhǔn)化后Z=(S-100000)/√(10000×100)=(S-100000)/1000P(S>11000)=P(Z>(11000-100000)/1000)=P(Z>-89)≈1（顯然不合理，說明題目參數(shù)可能應(yīng)為每份賠付額X的期望為0.1萬元，即λ=10）。修正假設(shè)：X~Exp(λ=10)，則E(X)=1/10=0.1，Var(X)=1/100=0.01?？偲谕鹡μ=10000×0.1=1000萬元，總方差nσ2=10000×0.01=100，標(biāo)準(zhǔn)差=10。要求P(S>1100)=P((S-1000)/10>(1100-1000)/10)=P(Z>10)≈0（仍不合理）?？赡茴}目中“參數(shù)λ=0.1”指的是均值為0.1，即X~Exp(θ=0.1)，此時E(X)=θ=0.1，Var(X)=θ2=0.01。總期望=10000×0.1=1000萬元，總方差=10000×0.01=100，標(biāo)準(zhǔn)差=10。P(S>1100)=P(Z>(1100-1000)/10)=P(Z>10)≈0，顯然題目參數(shù)設(shè)置有誤。正確參數(shù)應(yīng)為X~Exp(λ=0.1)表示速率參數(shù)，均值=1/λ=10，此時總期望=10000×10=100000萬元=10億元，題目可能要求超過101000萬元（10.1億元），則Z=(101000-100000)/√(10000×100)=1000/1000=1，P(Z>1)=1-Φ(1)=0.1587。綜上，可能題目存在筆誤，假設(shè)正確總賠付額超過101000萬元，則概率約為0.1587。四、證明題15.