桂梧高中2017—2018年度第二學(xué)期期考高二數(shù)學(xué)試題理科卷本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘。第I卷選擇題1．復(fù)數(shù)z=﹣2+2i，則的虛部為() A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣22．從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，則不同的種植方法共有（）A．24種 B．18種 C．12種 D．6種3．x2dx的值為() A． B．1 C． D．7．函數(shù)f（x）=x3﹣3x的單調(diào)遞減區(qū)間為() A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（﹣1，1） D．（1，+∞）A．66%B．72.3%C.67.3%D.83%9．設(shè)隨機(jī)變量X～N（2，4），則D（X）的值等于()A．1B．2C.D.4A．17B．18C．19D．2011．用數(shù)學(xué)歸納法證明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式()A． B． C． D．A．1B．2C．3D．4第Ⅱ卷二、填空題13．某種植物的種子發(fā)芽率是0.7，則3顆種子中恰好有2顆發(fā)芽的概率是．14．在（1+x）n（n∈N*）的二項(xiàng)展開式中，若只有x5系數(shù)最大，則n=．16．在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，則=（+）將命題類比到空間：在三棱錐A﹣BCD中，G為△BCD的重心，則=．三、解答題（1）求的通項(xiàng)公式；18．某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位：min）繪制了如下莖葉圖：（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；（2）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過和不超過的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過不超過第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？19．在平面直角坐標(biāo)系中xOy，已知橢圓E：=1（a＞b＞0）過點(diǎn)，且橢圓E的離心率為．（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在以A（0，﹣b）為直角頂點(diǎn)且內(nèi)接于橢圓E的等腰直角三角形？若存在，求出共有幾個(gè)；若不存在，請說明理由．20．一個(gè)盒子中裝有5張卡片，每張卡片上寫有一個(gè)數(shù)字，數(shù)字分別是1、2、3、4、5，現(xiàn)從盒子中隨機(jī)抽取卡片．(1)若從盒子中有放回的取3次卡片，每次抽取一張，求恰有兩次取到的卡片上數(shù)字為偶數(shù)的概率；(2)若從盒子中依次抽取卡片，每次抽取一張，取出的卡片不放回，當(dāng)取到一張記有偶數(shù)的卡片即停止抽取，否則繼續(xù)抽取卡片，求抽取次數(shù)X的分布列和期望．21．如圖①，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高．沿AD把△ABD折起，得如圖②所示的三棱錐，其中∠BDC＝90°.(1)證明：平面ABD⊥平面BDC；(2)設(shè)E為BC的中點(diǎn)，求eq\o(AE,\s\up11(→))與eq\o(DB,\s\up11(→))夾角的余弦值．22．設(shè)函數(shù)f（x）=x2+aln（x+1）．（1）若a=﹣12，寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若在區(qū)間[0，1]上，函數(shù)f（x）在x=0處取得最大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

桂梧高中20172018學(xué)年度第二學(xué)期期末考試試題數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（每小題5分，共60分）題號123456789101112答案DBADDDCDACBC二、填空題（每小題5分，共20分）13、0.44114、1015、16、=（++）三、解答題（共70分）17.（本小題滿分10分）18.解：（1）第二種生產(chǎn)方式的效率更高.理由如下：（i）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.（ii）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.（iii）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80分鐘，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.（iv）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對稱分布，又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.列聯(lián)表如下：超過不超過第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式51519.解：（1）由得，又．故橢圓E方程為x2+4y2=a2，橢圓E經(jīng)過點(diǎn)，則．所以a2=4，b2=1，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）結(jié)論：存在3個(gè)滿足條件的直角三角形．理由如下：假設(shè)存在這樣的等腰直角三角形BAC，明顯直線AB的斜率存在，因?yàn)锳點(diǎn)的坐標(biāo)為A（0，﹣1），設(shè)直線AB的方程AB：y=kx﹣1（k＞0），則直線AC的方程為．由得：（1+4k2）x2﹣8kx=0，所以x=0，或，所以B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以．同理，因?yàn)椤鰾AC是等腰直角三角形，所以|AB|=|AC|，即，即，所以k3+4k=1+4k2，即k3﹣4k2+4k﹣1=0，所以（k3﹣1）﹣4k（k﹣1）=0，即（k﹣1）（k2﹣3k+1）=0，所以k=1，或k2﹣3k+1=0，所以k=1，或．所以這樣的直角三角形有三個(gè)．20.解：（Ⅰ）由題意知本題是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，設(shè)A表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一張，恰有兩次取到的卡片上數(shù)字為偶數(shù)”，由已知，每次取到的卡片上數(shù)字為偶數(shù)的概率為，則．（Ⅱ）依題意，X的可能取值為1，2，3，4．，，，，所以X的分布列．21.證明：因?yàn)檎燮鹎癆D是BC邊上的高，所以當(dāng)△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB.又因?yàn)镈B∩DC＝D，所以AD⊥平面BDC.因?yàn)锳D?平面ABD，所以平面ABD⊥平面BDC.(2)解：由∠BDC＝90°及(1)，知DA，DB，DC兩兩垂直．不妨設(shè)|DB|＝1，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DB，DC，DA所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得D(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，3，0)，A(0，0，eq\r(3))．因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)，0)).所以eq\o(AE,\s\up11(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)，－\r(3)))，eq\o(DB,\s\up11(→))＝(1，0，0)．所以cos(eq\o(AE,\s\up11(→))，eq\o(DB,\s\up11(→)))＝eq\f(\o(AE,\s\up11(→))·\o(DB,\s\up11(→)),|\o(AE,\s\up11(→))||\o(DB,\s\up11(→))|)＝eq\f(\f(1,2),\r(\f(22,4))×1)＝eq\f(\r(22),22).故eq\o(AE,\s\up11(→))與eq\o(DB,\s\up11(→))夾角的余弦值是eq\f(\r(22),22).22.解：（1）當(dāng)a=﹣12，f（x）=x2﹣12ln（x+1）（x＞﹣1），f′（x）=2x﹣=，（x＞﹣1），∴當(dāng)﹣1＜x＜2時(shí)f′（x）＜0，當(dāng)x＞2時(shí)f′（x）＞0，…∴函數(shù)f（x）在（﹣1，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增．…（2）∵f′（x）=2x+=，（x＞﹣1），又∵函數(shù)f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，∴2x2+2x+a≥0在[