高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省邵陽市“八校聯(lián)盟”2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期11月創(chuàng)新實驗班聯(lián)考試題一、單選題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意可得，，則.故選：D.2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，，故.故選：A.3.已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則與相交C.若，則與平行D.若，則不可能相交【答案】D【解析】若，則與可能平行或異面，錯誤，D正確；若，則與平行或相交，B錯誤；若，則與可能平行或相交，C錯誤.故選：D.4.若函數(shù)在上存在零點，則實數(shù)a取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，函數(shù)與的圖像在上有交點，當時，的圖像是由函數(shù)的圖像向左平移的，根據(jù)圖像可得只需要，即；當時，的圖像是由函數(shù)向右平移的，此時在上恒有交點，滿足條件，綜上可得：，即實數(shù)a的取值范圍是.故選：D.5.已知拋物線E:的準線交y軸于點M，過點M作直線l交E于A，B兩點，且，則直線l的斜率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】拋物線的準線為，所以，由題意可知直線的斜率存在，故設(shè)直線為，，，則，即，所以，，因為，即，所以，所以或，所以.故選：B.6.已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，當時，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】當時，，易得在上單調(diào)遞增，又，所以當時，，當時，，又是定義在上奇函數(shù)，當時，，當時，，當或時，.綜上，不等式解集為.故選：A.7.已知函數(shù)的圖象如圖所示，將的圖象向右平移個單位，使新函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由圖象可知：，；，，又，；，，解得：，；為偶函數(shù)，，解得：，又，當時，.故選：D.8.定義在上的函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)滿足，記，，，則，，大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，又，所以，令，則，故在上單調(diào)遞減，，，，，因為在上單調(diào)遞減，所以，即，又，所以，故選：A．二、多選題（本大題共3個小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.下列說法正確的是（）A.數(shù)據(jù)13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70%分位數(shù)是23B.若隨機變量，且，則C.在回歸分析中，可用決定系數(shù)的值判斷模型的擬合效果，越大，模型的擬合效果越好D.在回歸模型中，殘差點所在的帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸?，說明模型擬合精度越高【答案】BCD【解析】對于A：先將數(shù)據(jù)從小到大排列為：12，13，14，15，17，19，23，24，27，30共10個數(shù)據(jù)，因為，為整數(shù)，所以第70%分位數(shù)是第7項和第8項的平均值，即，所以A錯誤；對于B：因為，正態(tài)分布關(guān)于對稱，所以，所以，所以B正確；對于C：在回歸分析中，決定系數(shù)越接近1，說明模型對數(shù)據(jù)的擬合效果越好，即越大，模型的擬合效果越好，所以C正確；對于D：殘差點所在的帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸?，說明殘差越小，模型對數(shù)據(jù)的擬合精度越高，所以D正確.故選：BCD.10.已知數(shù)列滿足，則（）A.B.若，則C.D.若數(shù)列滿足，記為的前項和，則【答案】ABD【解析】由遞推公式得，，構(gòu)造新數(shù)列得，，所以是公比為3，首項為3等比數(shù)列，所以，所以，故A正確，C錯誤；因為，所以數(shù)列前項和為：，所以，故B正確；由得，，所以，故D正確；故選：ABD．11.在長方體中，分別為的中點，分別為棱上的動點，則下列說法正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.的最小值為C.若，則平面截長方體所得截面為五邊形D.若為中點，則三棱錐的外接球表面積為【答案】ACD【解析】A選項：在長方體中，在四邊形中，，且，故四邊形為平行四邊形，所以.平面，且平面，故平面，又因為在上，所以到平面的距離為定值，由的面積確定，所以三棱錐的體積為定值，即三棱錐的體積為定值，故A正確；B選項，將沿翻折，使得與長方形共面，當三點共線且時，取得最小值，即過作，垂足為，與交于點，此時.由等面積法，其中，可得，解得，故B錯誤；C選項，當時，即為棱上靠近點的三等分點，在棱上取靠近點的三等分點，連接，則，且，，故四點共面.如圖，以為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則，所以，令，則，所以，解得，即，即四點共面，則五點共面，故五邊形即為平面截長方體所得的截面，故C正確；D選項，設(shè)三棱錐的外接球球心為，半徑為，取中點，連接，設(shè)外心為，外接圓半徑為，由，可知.在中，，則由余弦定理得，所以，故外接圓半徑；由為直角三角形，則中點為的外心，連接.則，且，由平面，則平面，又平面，所以，同理可證，所以四邊形為平行四邊形，則；則，所以，三棱錐的外接球表面積為，故D正確．故選：ACD．三、填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分．）12.已知向量，且在上的投影向量的坐標為，則與的夾角為__________.【答案】或【解析】設(shè)與的夾角為，且，，則在上的投影向量為，即，所以，所以，故答案為：.13.一支醫(yī)療小隊由3名醫(yī)生和6名護士組成，將他們?nèi)糠峙涞饺裔t(yī)院，使每家醫(yī)院分到醫(yī)生1名和護士1至3名，其中護士甲和護士乙必須分到同一家醫(yī)院，則不同的分配方法有_________種.【答案】684【解析】根據(jù)題意，分3步完成：第一步：將6名護士分成3組，每組1至3人，其中護士甲和護士乙分到同一組，若甲和乙一組，將其他4人分成2組即可，有種分組方法；若甲乙組恰有3人，從其他4人中選1人分到甲乙組，剩下的3人分成2組，有種分組方法；則護士有種分組方法；第二步：將3名醫(yī)生分成3組，每組1人，有1種分組方法；第三步：將分好的三組護士和三組醫(yī)生安排到三家醫(yī)院，有種安排方法；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得種分配方法.故答案為：.14.已知點是雙曲線的右焦點，過的直線與交于兩點，點與點關(guān)于原點對稱，．若為線段上靠近點的四等分點，則的離心率為______．【答案】或【解析】取左焦點，設(shè)，則，由雙曲線定義可得，，由，點與點關(guān)于原點對稱，故四邊形為矩形，故，有，化簡可得得，故，，則在中，有，即，故.故答案為：.四、解答題（本大題共5個小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.記的內(nèi)角的對邊分別為，滿足.（1）求角；（2）若，求的值.解：（1）由，得到,整理得到，即，又，則，得到，又，解得.（2）由（1）知，由余弦定理得，又，所以，由正弦定理知（其中為外接圓的半徑），得到，所以.16.如圖，在三棱柱中，是正方形的中心，，平面，且．（1）求與平面所成角的正弦值；（2）在線段上是否存在一點，使得平面平面？若存在，求出的長；若不存在，說明理由．解：（1）以點為坐標在原點建立空間直角坐標系，如圖：則，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量則，即，令得，設(shè)與平面所成角為，，，（2）假設(shè)存在點，設(shè)，且，，，設(shè)平面的法向量，則，即，令得，平面平面，，即，得，存在這樣的點使得平面平面，且．17.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線在處的切線方程為，證明：恒成立；（1）解：由題意得的定義域為，因為，所以，令，，令，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）證明：由題意得，則，令，化簡得，則，令，，令，，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，得到，即成立，可得，故得證.18.已知橢圓的右頂點為，焦距為．（1）求的標準方程；（2）設(shè)的左焦點為，過點作斜率不為零的直線交于兩點，連接分別交直線于點，過點且垂直于的直線交直線于點，則：①求證：為線段的中點；②記的面積分別為，試探究：是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．（1）解：由題意知：，的標準方程為：.（2）①證明：由（1）知：，設(shè)直線的方程為，，由得：，，，直線，令，解得：，同理可得：；直線，令，解得：；，為線段中點.②解：，；，，，，假設(shè)存在滿足題意的，則，存在，使得.19.甲、乙、丙三人一起玩擲骰子的游戲，骰子質(zhì)地均勻.游戲規(guī)則如下：甲選擇數(shù)字1，乙選擇數(shù)字2、3，丙選擇數(shù)字4、5、6.每人擲一次骰子，當擲出自己所選的數(shù)字時，獲得對應(yīng)得分，否則其他人獲得對應(yīng)得分的一半.甲、乙、丙擲出所選數(shù)字時的對應(yīng)得分為6、4、2.比如：在乙投擲時，若擲出數(shù)字2、3，則乙獲得4分，甲、丙不得分；乙擲出1、4、5、6時，乙不得分，甲、丙各得2分.三人各投擲一次記為一輪.（1）一輪過后，記甲的得分為，求的分布列和期望；（2）一輪過后，甲因個人原因退出游戲，此時乙、丙重新制定規(guī)則：（i）兩人各投擲一次記為一輪，無論是誰投擲，當出現(xiàn)數(shù)字1時，需重新投擲，得分規(guī)則同上.求進行兩輪游戲后，乙的積分高于丙的積分的概率；（ii）不進行得分統(tǒng)計，通過擲出骰子的點數(shù)判定勝負，投擲一次為一輪，若一輪擲出1，2，3，乙勝，否則丙獲勝.兩人約定誰先獲勝的局數(shù)達到一定數(shù)目時，可以把獎品全部贏下來.但游戲在中途被打斷了，此時乙還需勝5輪才能贏下游戲，丙還需贏6輪才能贏下游戲.在這樣的情況下，如果要按照乙、丙最終獲勝概率大小分配獎品數(shù)量，求丙應(yīng)該得到獎品的數(shù)