2026屆北京市育英學校數(shù)學高三第一學期期末統(tǒng)考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．2019年10月1日，為了慶祝中華人民共和國成立70周年，小明、小紅、小金三人以國慶為主題各自獨立完成一幅十字繡贈送給當?shù)氐拇逦瘯?，這三幅十字繡分別命名為“鴻福齊天”、“國富民強”、“興國之路”，為了弄清“國富民強”這一作品是誰制作的，村支書對三人進行了問話，得到回復如下：小明說：“鴻福齊天”是我制作的；小紅說：“國富民強”不是小明制作的，就是我制作的；小金說：“興國之路”不是我制作的，若三人的說法有且僅有一人是正確的，則“鴻福齊天”的制作者是（）A．小明 B．小紅 C．小金 D．小金或小明2．將3個黑球3個白球和1個紅球排成一排，各小球除了顏色以外其他屬性均相同，則相同顏色的小球不相鄰的排法共有（）A．14種 B．15種 C．16種 D．18種3．若復數(shù)為虛數(shù)單位在復平面內所對應的點在虛軸上，則實數(shù)a為（）A． B．2 C． D．4．已知命題,；命題若，則，下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．5．某程序框圖如圖所示，若輸出的，則判斷框內為（）A． B． C． D．6．定義兩種運算“★”與“◆”，對任意，滿足下列運算性質：①★，◆；②（）★★，◆◆，則（◆2020）（2020★2018）的值為()A． B． C． D．7．已知函數(shù)f（x）＝sin2x+sin2（x），則f（x）的最小值為（）A． B． C． D．8．（）A． B． C． D．9．若復數(shù)滿足,則()A． B． C． D．10．復數(shù)為純虛數(shù)，則()A．i B．﹣2i C．2i D．﹣i11．正三棱錐底面邊長為3，側棱與底面成角，則正三棱錐的外接球的體積為（）A． B． C． D．12．已知復數(shù)，其中，，是虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則滿足的的取值范圍為_______．14．在中，角，，所對的邊分別邊，且，設角的角平分線交于點，則的值最小時，___.15．在直角坐標系中，已知點和點，若點在的平分線上，且，則向量的坐標為___________.16．設函數(shù)，若存在實數(shù)m，使得關于x的方程有4個不相等的實根，且這4個根的平方和存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，點的極坐標為.（1）求的直角坐標方程和的直角坐標；（2）設與交于，兩點，線段的中點為，求.18．（12分）已知函數(shù)f(x)=x-2a-x-a（Ⅰ）若f(1)>1，求a的取值范圍；（Ⅱ）若a<0，對?x，y∈-∞,a，都有不等式f(x)≤(y+2020)+19．（12分）已知函數(shù).若在定義域內存在，使得成立，則稱為函數(shù)的局部對稱點.（1）若a，且a≠0，證明：函數(shù)有局部對稱點；（2）若函數(shù)在定義域內有局部對稱點，求實數(shù)c的取值范圍；（3）若函數(shù)在R上有局部對稱點，求實數(shù)m的取值范圍.20．（12分）已知橢圓的左，右焦點分別為，直線與橢圓相交于兩點；當直線經過橢圓的下頂點和右焦點時，的周長為，且與橢圓的另一個交點的橫坐標為（1）求橢圓的方程；（2）點為內一點，為坐標原點，滿足，若點恰好在圓上，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知橢圓的離心率為，且過點，點在第一象限，為左頂點，為下頂點，交軸于點，交軸于點.（1）求橢圓的標準方程；（2）若，求點的坐標.22．（10分）如圖所示，在四面體中，，平面平面，，且.（1）證明：平面；（2）設為棱的中點，當四面體的體積取得最大值時，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

將三個人制作的所有情況列舉出來，再一一論證.【詳解】依題意，三個人制作的所有情況如下所示：123456鴻福齊天小明小明小紅小紅小金小金國富民強小紅小金小金小明小紅小明興國之路小金小紅小明小金小明小紅若小明的說法正確，則均不滿足；若小紅的說法正確，則4滿足；若小金的說法正確，則3滿足.故“鴻福齊天”的制作者是小紅，故選：B.【點睛】本題考查推理與證明，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于基礎題.2、D【解析】

采取分類計數(shù)和分步計數(shù)相結合的方法，分兩種情況具體討論，一種是黑白依次相間，一種是開始僅有兩個相同顏色的排在一起【詳解】首先將黑球和白球排列好，再插入紅球.情況1：黑球和白球按照黑白相間排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此時將紅球插入6個球組成的7個空中即可，因此共有2×7=14種；情況2：黑球或白球中僅有兩個相同顏色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此時紅球只能插入兩個相同顏色的球之中，共4種.綜上所述，共有14+4=18種.故選：D【點睛】本題考查排列組合公式的具體應用，插空法的應用，屬于基礎題3、D【解析】

利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由實部為求得值．【詳解】解：在復平面內所對應的點在虛軸上，，即．故選D．【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎題．4、B【解析】解：命題p：?x＞0，ln（x+1）＞0，則命題p為真命題，則￢p為假命題；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，則命題q是假命題，則￢q是真命題．∴p∧q是假命題，p∧￢q是真命題，￢p∧q是假命題，￢p∧￢q是假命題．故選B．5、C【解析】程序在運行過程中各變量值變化如下表：KS是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11第一圈24是第二圈311是第三圈426是第四圈557是第五圈6120否故退出循環(huán)的條件應為k>5?本題選擇C選項.點睛：使用循環(huán)結構尋數(shù)時，要明確數(shù)字的結構特征，決定循環(huán)的終止條件與數(shù)的結構特征的關系及循環(huán)次數(shù)．尤其是統(tǒng)計數(shù)時，注意要統(tǒng)計的數(shù)的出現(xiàn)次數(shù)與循環(huán)次數(shù)的區(qū)別．6、B【解析】

根據(jù)新運算的定義分別得出◆2020和2020★2018的值，可得選項.【詳解】由（）★★，得（+2）★★，又★，所以★，★，★，，以此類推，2020★2018★2018，又◆◆，◆，所以◆，◆，◆，，以此類推，◆2020，所以（◆2020）（2020★2018），故選：B.【點睛】本題考查定義新運算，關鍵在于理解，運用新定義進行求值，屬于中檔題.7、A【解析】

先通過降冪公式和輔助角法將函數(shù)轉化為，再求最值.【詳解】已知函數(shù)f（x）＝sin2x+sin2（x），=，=，因為，所以f（x）的最小值為.故選：A【點睛】本題主要考查倍角公式及兩角和與差的三角函數(shù)的逆用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.8、D【解析】

利用，根據(jù)誘導公式進行化簡，可得，然后利用兩角差的正弦定理，可得結果.【詳解】由所以，所以原式所以原式故故選：D【點睛】本題考查誘導公式以及兩角差的正弦公式，關鍵在于掌握公式，屬基礎題.9、C【解析】

把已知等式變形，利用復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡，再由復數(shù)模的計算公式求解．【詳解】解：由，得，∴．故選C．【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)模的求法，是基礎題．10、B【解析】

復數(shù)為純虛數(shù)，則實部為0，虛部不為0，求出，即得.【詳解】∵為純虛數(shù)，∴，解得..故選：.【點睛】本題考查復數(shù)的分類，屬于基礎題.11、D【解析】

由側棱與底面所成角及底面邊長求得正棱錐的高，再利用勾股定理求得球半徑后可得球體積．【詳解】如圖，正三棱錐中，是底面的中心，則是正棱錐的高，是側棱與底面所成的角，即＝60°，由底面邊長為3得，∴．正三棱錐外接球球心必在上，設球半徑為，則由得，解得，∴．故選：D．【點睛】本題考查球體積，考查正三棱錐與外接球的關系．掌握正棱錐性質是解題關鍵．12、D【解析】試題分析：由,得,則，故選D.考點：1、復數(shù)的運算；2、復數(shù)的模.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

將f（x）寫成分段函數(shù)形式，分析得f（x）為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，利用奇偶性和單調性解不等式即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，f（x）＝x|x|＝，則f（x）為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，則f（2x﹣1）+f（x）≥0?f（2x﹣1）≥﹣f（x）?f（2x﹣1）≥f（﹣x）?2x﹣1≥﹣x，解可得x≥，即x的取值范圍為[，+∞）；故答案為：[，+∞）．【點睛】本題考查分段函數(shù)的奇偶性與單調性的判定以及應用，注意分析f（x）的奇偶性與單調性．14、【解析】

根據(jù)題意，利用余弦定理和基本不等式得出，再利用正弦定理，即可得出.【詳解】因為，則，由余弦定理得：，當且僅當時取等號，又因為，，所以.故答案為：.【點睛】本題考查余弦定理和正弦定理的應用，以及基本不等式求最值，考查計算能力.15、【解析】

點在的平分線可知與向量共線，利用線性運算求解即可.【詳解】因為點在的平線上，所以存在使，而，可解得，所以，故答案為：【點睛】本題主要考查了向量的線性運算，利用向量的坐標求向量的模，屬于中檔題.16、【解析】

先確定關于x的方程當a為何值時有4個不相等的實根，再將這四個根的平方和表示出來，利用函數(shù)思想來判斷當a為何值時這4個根的平方和存在最小值即可.【詳解】由題意，當時，，此時，此時函數(shù)在單調遞減，在單調遞增，方程最多2個不相等的實根，舍；當時，函數(shù)圖象如下所示：從左到右方程，有4個不相等的實根，依次為，，，，即，由圖可知，故，且，，從而，令，顯然，，要使該式在時有最小值，則對稱軸，解得.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是.【點睛】本題考查了函數(shù)和方程的知識，但需要一定的邏輯思維能力，屬于較難題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】

（1）利用互化公式把曲線C化成直角坐標方程，把點P的極坐標化成直角坐標；（2）把直線l的參數(shù)方程的標準形式代入曲線C的直角坐標方程，根據(jù)韋達定理以及參數(shù)t的幾何意義可得．【詳解】（1）由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ＝2，將ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入上式并整理得曲線C的直角坐標方程為y2＝1，設點P的直角坐標為（x，y），因為P的極坐標為（，），所以x＝ρcosθcos1，y＝ρsinθsin1，所以點P的直角坐標為（1，1）．（2）將代入y2＝1，并整理得41t2+110t+25＝0，因為△＝1102﹣4×41×25＝8000＞0，故可設方程的兩根為t1，t2，則t1，t2為A，B對應的參數(shù)，且t1+t2，依題意，點M對應的參數(shù)為，所以|PM|＝||．【點睛】本題考查了簡單曲線的極坐標方程，屬中檔題．18、（Ⅰ）(-∞,-1)∪(1,+∞)；（Ⅱ）-1010,0.【解析】

（Ⅰ）由題意不等式化為|1-2a|-|1-a|>1，利用分類討論法去掉絕對值求出不等式的解集即可；（Ⅱ）由題意把問題轉化為[f(x)]max≤[|y+2020|+|y-a|]min，分別求出【詳解】（Ⅰ）由題意知，f(1)=|1-2a|-|1-a|>1，若a≤12，則不等式化為1-2a-1+a>1，解得若12<a<1，則不等式化為2a-1-(1-a)>1，解得若a≥1，則不等式化為2a-1+1-a>1，解得a>1，綜上所述，a的取值范圍是(-∞,-1)∪(1,+∞)；（Ⅱ）由題意知，要使得不等式f(x)≤|(y+2020)|+|y-a|恒成立，只需[f(x)]max當x∈(-∞,a]時，|x-2a|-|x-a|≤-a，[f(x)]max因為|y+2020|+|y-a|≥|a+2020|，所以當(y+2020)(y-a)≤0時，[|y+2020|+|y-a|]min即-a≤|a+2020|，解得a≥-1010，結合a<0，所以a的取值范圍是[-1010,0).【點睛】本題考查了絕對值不等式的求解問題，含有絕對值的不等式恒成立應用問題，以及絕對值三角不等式的應用，考查了分類討論思想，是中檔題．含有絕對值的不等式恒成立應用問題，關鍵是等價轉化為最值問題，再通過絕對值三角不等式求解最值，從而建立不等關系，求出參數(shù)范圍.19、（1）見解析（2）（3）【解析】

（1）若函數(shù)有局部對稱點,則,即有解,即可求證；（2）由題可得在內有解,即方程在區(qū)間上有解,則,設,利用導函數(shù)求得的范圍,即可求得的范圍；（3）由題可得在上有解,即在上有解,設,則可變形為方程在區(qū)間內有解,進而求解即可.【詳解】（1）證明:由得,代入得,則得到關于x的方程,由于且,所以,所以函數(shù)必有局部對稱點（2）解:由題,因為函數(shù)在定義域內有局部對稱點所以在內有解,即方程在區(qū)間上有解,所以,設,則,所以令,則,當時,,故函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,當時,,故函數(shù)在區(qū)間上單調遞增,所以,因為,,所以,所以,所以（3）解:由題,,由于,所以,所以（*）在R上有解,令,則,所以方程（*）變?yōu)樵趨^(qū)間內有解,需滿足條件：,即,得【點睛】本題考查函數(shù)的局部對稱點的理解,利用導函數(shù)研究函數(shù)的最值問題,考查轉化思想與運算能力.20、（1）；（2）或【解析】

（1）由橢圓的定義可知，焦點三角形的周長為，從而求出.寫出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)交點橫坐標為，求出和，從而寫出橢圓的方程；（2）設出P、Q兩點坐標，由可知點為的重心，根據(jù)重心坐標公式可將點用P、Q兩點坐標來表示.由點在圓O上，知點M的坐標滿足圓O的方程，得式.為直線l與橢圓的兩個交點，用韋達定理表示，將其代入方程，再利用求得的范圍，最終求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：（1）由題意知.，直線的方程為∵直線與橢圓的另一個交點的橫坐標為解得或(舍去)，∴橢圓的方程為（2）設.∴點為的重心，∵點在圓上，由得，代入方程，得，即由得解得.或【點睛】本題考查了橢圓的焦點三角形的周長，標準方程的求解，直線與橢圓的位置關系，其中重心坐標公式、韋達定理的應用是關鍵.考查了學生的運算能力，屬于較難的題.21、（1）；（2）【解析】

（1）由題意得，求出，進而可得到橢圓的方程；（2）由（1）知點，坐標，設直線的方程為，易知，可得點的坐標為，聯(lián)立方程，得到關于的一