高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1內(nèi)蒙古通遼市部分學(xué)校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.雙曲線E：（，）的離心率為，則雙曲線E的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意，雙曲線的離心率，可知該雙曲線焦點(diǎn)在軸上，則它的漸近線方程為，而，則，所以，故漸近線方程為，故選：D.2.已知，，，則點(diǎn)A到直線BC的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意有：，所以，所以點(diǎn)A到直線BC的距離為.故選：B.3.已知直線l：，當(dāng)點(diǎn)到直線l的距離最大時(shí)，直線l的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直線l：過(guò)定點(diǎn)，顯然點(diǎn)不在直線l上，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線l的距離最大，而直線斜率，因此直線的斜率，直線l的方程為.故選：C.4.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，與軸平行的直線與和拋物線分別交于兩點(diǎn)，且直線的傾斜角為，則（）A. B. C.8 D.4【答案】C【解析】如圖：因?yàn)閽佄锞€方程為，所以焦點(diǎn)，準(zhǔn)線：.因?yàn)橹本€的傾斜角為，且軸，所以.又點(diǎn)在拋物線上，所以，故為等邊三角形.過(guò)作軸的垂線，垂足為，則，且，所以.所以.故選：C.5.若橢圓的弦被點(diǎn)平分，則這條弦所在的直線方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】易知點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，則弦所在直線與橢圓必然有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)與橢圓相交于，兩點(diǎn)，則，兩式相減，得，又，，所以，即直線斜率為.所以直線的方程為：，即.故選：A.6.已知是圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，變形可得，則的幾何意義為為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)確定直線的斜率，方程化，圓心坐標(biāo)為，半徑，因?yàn)槭菆A上任意一點(diǎn)，則直線與圓相交或相切，故，解得，所以的最小值為.故選：B.7.已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，從點(diǎn)射出的一條光線經(jīng)直線反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且反射后的光線與在第四象限交于點(diǎn)．若，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)從點(diǎn)射出的一條光線射到直線的點(diǎn)為，反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以點(diǎn)，所以直線的斜率為，所以由，得，，中，根據(jù)余弦定理可知，整理為，即，，解得：.所以橢圓的離心率為.故選：B8.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.直線與直線所成的角為B.直線與平面所成角的余弦值為C.平面D.點(diǎn)到平面距離為【答案】D【解析】在正方體中，，以為原點(diǎn)，分別為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，所以，所以直線與直線所成的角為，故A正確；又，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，所以直線與平面所成角的余弦值為，故B正確；因?yàn)椋云矫?，故C正確；點(diǎn)到平面的距離為，故D錯(cuò)誤.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說(shuō)法中正確的有（）A.直線過(guò)定點(diǎn)B.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C.直線l：與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2D.方程（）能表示平行于x軸的直線【答案】BCD【解析】對(duì)于A，由，可得，則直線過(guò)直線與直線的交點(diǎn)，所以直線過(guò)定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，解得，所以點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，故B正確；對(duì)于C，令，則，令，則，所以直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，所以直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線平行于軸，故D正確.故選：BCD.10.已知P為曲線M：（）上的動(dòng)點(diǎn)，，，，，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.面積的最大值為C.直線PC與PD的斜率之積為定值D當(dāng)，時(shí)，【答案】ABC【解析】因?yàn)椋?所以點(diǎn)的軌跡為橢圓位于軸下方的部分，且，，.所以，為橢圓的焦點(diǎn)，，為橢圓的左右頂點(diǎn).如圖：根據(jù)橢圓的定義，，故A正確；當(dāng)點(diǎn)位于橢圓下頂點(diǎn)時(shí)，的面積最大，為，故B正確；設(shè)，則，，則為定值，故C正確；當(dāng)，時(shí)，，因?yàn)?，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.數(shù)學(xué)著作《圓錐曲線論》中給出了圓的一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)A，B距離之比是常數(shù)（，）的點(diǎn)M的軌跡是圓．若兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.圓方程為 B.點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積為C.點(diǎn)M的軌跡關(guān)于對(duì)稱(chēng) D.點(diǎn)在圓外【答案】ABD【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)可得.所以點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故A正確；因?yàn)閳A的面積為，故B正確；因?yàn)橹本€不經(jīng)過(guò)圓心，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知過(guò)點(diǎn)作直線l，若直線l與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，直線l的傾斜角的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【解析】由題意得，直線的傾斜角為，，直線的傾斜角為．如圖：由圖可知，的斜率的取值范圍為，則的傾斜角的取值范圍為．故答案為：.13.如圖，已知圓柱的斜截面是一個(gè)橢圓，該橢圓的長(zhǎng)軸為圓柱的軸截面對(duì)角線，短軸長(zhǎng)等于圓柱的底面直徑．將圓柱側(cè)面沿母線展開(kāi)，則橢圓曲線在展開(kāi)圖中恰好為一個(gè)周期的正弦曲線．若該段正弦曲線是函數(shù)圖象的一部分，且其對(duì)應(yīng)的橢圓曲線的離心率為，則______．【答案】或【解析】設(shè)圓柱的底面直徑為，由題意，橢圓曲線在展開(kāi)圖中恰好為函數(shù)圖象的一部分，可得，且，所以圓柱的底面直徑，則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，因?yàn)殡x心率為，可得，所以，所以，解得．故答案為：.14.在長(zhǎng)方體中，，分別是棱的中點(diǎn)，M是平面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面EFG平行，則的最小值為_(kāi)___.【答案】或【解析】如圖，分別以方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系可得：，，設(shè)平面的法向量，則，得，令，即.由于直線與平面平行，則，得：，即：.，，可知，由于，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.如圖，已知平行六面體的所有棱長(zhǎng)均相等，，記，，.（1）用向量，，表示；（2）若，求平行六面體的棱長(zhǎng).解：（1），又，所以.（2）由題意可知，，由（1）得，兩邊平方可得，所以即，解得.故平行六面體的棱長(zhǎng)為.16.已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為.（1）求C的方程；（2）若直線與C交于兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為，求t的值.解：（1）由題意，得，解得，則橢圓C的方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立，得，則，解得，且，所以，點(diǎn)到直線的距離為，則，解得或，滿足，則或.17.已知直線，半徑為的圓與相切，圓心在軸的正半軸上.（1）求圓的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)（在軸上方），在軸正半軸上是否存在定點(diǎn)，使得軸平分？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.解：（1）由已知可設(shè)圓心，則解得或（舍）所以圓.（2）由題知直線的斜率不為，可設(shè)直線的方程為，由.化簡(jiǎn)得顯然成立，所以①，若軸平分，則，故，即，整理得將①代入上式得，整理得對(duì)任意的恒成立，則.∴存在點(diǎn)為時(shí)，使得軸平分.18.如圖所示，正四棱錐中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）已知異面直線與所成角的余弦值為，（i）求二面角的正弦值；（ii）在線段上是否存在點(diǎn)，使平面．若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．（1）證明：連接，，連接，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．?）（i）解：因?yàn)槠矫?，，所以?xún)蓛纱怪?，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，又異面直線與所成角的余弦值為，所以，解得，故，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，得，取，得．設(shè)二面角的平面角為，觀察圖形可知為銳角，所以，；（ii）解：設(shè)線段上存在點(diǎn)，且，因?yàn)?，設(shè)，，因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，所以所以，?dāng)時(shí)，平面，所以平面，所以當(dāng)時(shí)，平面.19.已知橢圓的離心率為點(diǎn)在橢圓上，直線與x軸交于點(diǎn)B.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)B的直線交橢圓于C，D兩點(diǎn)（C在D的左側(cè)），直線AC，AD分別與直線交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線AC，AD的斜率記為.①求證：為定值；②點(diǎn)G為CF中點(diǎn)，若求實(shí)數(shù)