專題過關(guān)檢測四統(tǒng)計與概率(分值:150分)一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共計40分.每小題給出的四個選項中,只有一個選項是正確的.1.(2025上海普陀二模)某市職業(yè)技能大賽的移動機(jī)器人比賽項目有19位同學(xué)參賽,他們在預(yù)賽中所得的積分互不相同,只有積分在前10位的同學(xué)才能進(jìn)入決賽.若該比賽項目中的某同學(xué)知道自己的積分后,要判斷自己能否進(jìn)入決賽,則他只需要知道這19位同學(xué)的預(yù)賽積分的()A.平均數(shù) B.眾數(shù)C.中位數(shù) D.方差2.(2025湖北黃岡模擬)已知隨機(jī)變量X~N(5,σ2),且P(3<X<7)=m,P(4<X<6)=n,則P(3<X<6)的值為()A.m+n2 C.1-m2 3.(2025安徽黃山二模)為了解某市居民用水情況,通過簡單隨機(jī)抽樣,獲得了100戶居民用戶的月均用水量(單位:t),將該數(shù)據(jù)按照[1.2,4.2),[4.2,7.2),…,[25.2,28.2],分成9組,繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.政府要對節(jié)約用水的用戶予以表彰,制定了一個用水量標(biāo)準(zhǔn)x,使表彰的居民不超過15.4%,則以下比較適合作為標(biāo)準(zhǔn)x的為()A.3.2t B.5tC.5.04t D.15.7t4.(2025江蘇南通二模)有3個男生和2個女生站成一排合影,則女生甲不在兩端且2個女生不相鄰的不同排法總數(shù)為()A.18 B.36C.72 D.1445.(2025遼寧模擬)某校團(tuán)委對“是否喜歡冰雪運(yùn)動與學(xué)生性別的關(guān)系”進(jìn)行了一次調(diào)查,其中被調(diào)查的男、女生人數(shù)相同,男生中喜歡冰雪運(yùn)動的人數(shù)占男生人數(shù)的56,女生中喜歡冰雪運(yùn)動的人數(shù)占女生人數(shù)的23,若根據(jù)小概率值α=0.1的獨(dú)立性檢驗,可以認(rèn)為是否喜歡冰雪運(yùn)動與學(xué)生性別有關(guān),則被調(diào)查的學(xué)生中男生的人數(shù)不可能為(附:χ2=n(ad-α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A.54 B.48 C.42 D.366.(2025湖北黃岡模擬)根據(jù)變量Y1和x的成對樣本數(shù)據(jù),由一元線性回歸模型①Y1=b1x+a1+e1,E(e1)=0,D(e1)=σ12,得到經(jīng)驗回歸模型y^(1)(2)A.模型①的誤差滿足一元線性回歸模型的E(e1)=0的假設(shè),不滿足D(e1)=σ1B.模型①的誤差不滿足一元線性回歸模型的E(e1)=0的假設(shè),滿足D(e1)=σ1C.模型②的誤差滿足一元線性回歸模型的E(e2)=0的假設(shè),不滿足D(e2)=σ2D.模型②的誤差不滿足一元線性回歸模型的E(e2)=0的假設(shè),滿足D(e2)=σ27.(2025江西鷹潭一模)已知(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,隨機(jī)變量ξ~N1,14,若a1a2=E(ξ)D(ξ),則a1+a2+a3+…+an的值為(A.81 B.242C.243 D.808.(2025江蘇南京模擬)為備戰(zhàn)乒乓球賽,某體校甲、乙兩名主力進(jìn)行訓(xùn)練,規(guī)則如下:兩人每輪分別與老師打2局,當(dāng)兩人獲勝局?jǐn)?shù)不少于3局時,則認(rèn)為此輪訓(xùn)練過關(guān);否則不過關(guān).若甲、乙兩人每局獲勝的概率分別為p1,p2,且滿足p1+p2=43,每局之間相互獨(dú)立.記甲、乙在n輪訓(xùn)練中訓(xùn)練過關(guān)的輪數(shù)為X,若E(X)=16,則從期望的角度來看,甲、乙兩人訓(xùn)練的輪數(shù)至少為(A.28 B.24C.32 D.27二、選擇題:本大題共3小題,每小題6分,共計18分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.(2025江蘇南通二模)每年4月23日為“世界讀書日”,某學(xué)校為鼓勵學(xué)生進(jìn)行課外閱讀,拓寬學(xué)生眼界,對熱愛課外閱讀的班級進(jìn)行表彰,規(guī)定從班級中隨機(jī)抽取5位同學(xué),統(tǒng)計他們一學(xué)年內(nèi)閱讀課外書籍的本數(shù),若抽取的5位同學(xué)在一學(xué)年內(nèi)閱讀課外書籍的本數(shù)都不低于10,則該班級被評選為“優(yōu)閱班級”.以下是4個班級抽取的5位同學(xué)的統(tǒng)計數(shù)據(jù):六(1)班:中位數(shù)為11,眾數(shù)為10六(2)班:眾數(shù)為12,極差為3六(3)班:平均數(shù)為12,極差為3六(4)班:平均數(shù)為12,方差為2根據(jù)以上信息,一定被評為“優(yōu)閱班級”的是()A.六(1)班B.六(2)班C.六(3)班D.六(4)班10.(2025湖南常德一模)設(shè)樣本空間Ω={5,6,7,8},且每個樣本點是等可能的,已知事件A={5,6},B={5,7},C={5,8},則下列結(jié)論正確的是()A.事件A與B為互斥事件B.事件A,B,C兩兩獨(dú)立C.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)D.P(A|C)=P(C|A)11.(2025浙江杭州二模)如圖,多面體PABCQ由正四面體PABC和正四面體QABC拼接而成,一只螞蟻從頂點P出發(fā),沿著多面體的各條棱爬行,每次等概率地爬行到相鄰頂點中的一個,記n次爬行后,該螞蟻落在點P的概率為pn,落在點Q的概率為qn,則()A.p2=1B.p3>q4C.pn=qnD.p2n+1<1三、填空題:本大題共3小題,每小題5分,共計15分.12.(2025湖南長沙模擬)從編號1~15的15張卡片中依次不放回地抽出兩張,記事件A=“第一次抽到數(shù)字為5的倍數(shù)”,事件B=“第二次抽到的數(shù)字小于第一次”,則P(B|A)=.

13.(2025江西南昌二模)某次慶典后,墻壁上的裝飾品需要取下來,如圖,由于材料特性,每次能取一個,且所取的裝飾品只能有1個或0個相鄰的裝飾品,則不同的取法數(shù)有種.14.(2025江蘇南通二模)某校高三年級共8個班舉行乒乓球比賽,每班一名選手代表班級參加,每一輪比賽前抽簽決定對陣雙方,負(fù)者淘汰,勝者進(jìn)入下一輪,直至最后產(chǎn)生冠軍,其中各場比賽結(jié)果相互獨(dú)立.根據(jù)以往經(jīng)驗,高三(1)班選手甲和高三(2)班選手乙水平相當(dāng),且在所有選手中水平稍高,他們對陣其他班級選手時獲勝的概率都為23,除甲、乙外的其他6名選手水平相當(dāng),則高三(1)班的選手甲通過第一輪的概率為,第三輪比賽由甲、乙爭奪冠軍的概率為.四、解答題:本大題共5小題,共計77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)(2025湖南常德一模)某景區(qū)經(jīng)過提質(zhì)改造后統(tǒng)計連續(xù)5天進(jìn)入該景區(qū)參觀的人數(shù)(單位:千人)如下:日期3月5日3月6日3月7日3月8日3月9日第x天12345參觀人數(shù)y/千人2.22.63.15.26.9(1)建立y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程,預(yù)測第10天進(jìn)入該景區(qū)參觀的人數(shù);(2)該景區(qū)只開放東門、西門供游客出入,游客從東門、西門進(jìn)入該景區(qū)的概率分別為34,14,且出景區(qū)與進(jìn)入景區(qū)選擇相同的門的概率為15,出景區(qū)與進(jìn)入景區(qū)選擇不同的門的概率為4附參考數(shù)據(jù):∑i=15xiyi=72,∑i=15x參考公式:經(jīng)驗回歸方程y^=b^x+a16.(15分)(2025八省聯(lián)考,15)為考察某種藥物A對預(yù)防疾病B的效果,進(jìn)行了動物(單位:只)試驗,得到如下列聯(lián)表:藥物疾病合計未患病患病未服用10080s服用15070220合計250t400(1)求s,t;(2)記未服用藥物A的動物患疾病B的概率為p,給出p的估計值;(3)根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗,能否認(rèn)為藥物A對預(yù)防疾病B有效?附:χ2=n(α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.82817.(15分)(2025浙江臺州二模)某市為了推廣垃圾分類,在全市范圍內(nèi)開展了一系列宣傳活動.為了評估宣傳效果,市環(huán)保部門隨機(jī)抽取了1000名市民進(jìn)行調(diào)查.假設(shè)該市成年人口為100萬,且調(diào)查結(jié)果可以代表全市成年人口的情況.調(diào)查結(jié)果為了解情況非常了解一般了解不了解人數(shù)/人580320100(1)從該市成年人口中隨機(jī)抽取1人,求其對垃圾分類知識“不了解”的概率;(2)該市環(huán)保部門計劃對“不了解”垃圾分類知識的市民進(jìn)行重點宣傳.假設(shè)經(jīng)過重點宣傳后,“不了解”的市民中有50%轉(zhuǎn)變?yōu)椤耙话懔私狻?有20%轉(zhuǎn)變?yōu)椤胺浅Ａ私狻?其余保持不變.經(jīng)過重點宣傳后,從該市成年人口中隨機(jī)抽取3人,記X為其中對垃圾分類知識“非常了解”的人數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.18.(17分)(2025陜西寶雞二模)某企業(yè)對某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進(jìn)行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級劃分為五個層級,分別對應(yīng)如下五組質(zhì)量指標(biāo)值:[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根據(jù)長期檢測結(jié)果,發(fā)現(xiàn)芯片的質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件作為樣本,統(tǒng)計得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)檢測結(jié)果,樣本中芯片質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為11,用樣本平均數(shù)x作為μ的近似值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計值,可得到X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),求a和μ的值;(2)從樣本中質(zhì)量指標(biāo)值在[45,55)和[85,95]的芯片中隨機(jī)抽取3件,記其中質(zhì)量指標(biāo)值在[85,95]的芯片件數(shù)為η,求η的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)將指標(biāo)值大于K的芯片稱為A等品,通過對芯片長期檢測發(fā)現(xiàn),在生產(chǎn)線上任意抽取一件芯片,它為A等品的概率為0.16,用第(1)問結(jié)果試估計K的值.(附:①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點代表;②參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μσ≤ξ≤μ+σ)≈0.6827,P(μ2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.9973.)19.(17分)(2025山東濰坊一模)n維空間中點的坐標(biāo)可以表示為(x1,x2,x3,…,xn),其中xi(i=1,2,3,…,n)為該點的第i個坐標(biāo).定義n維空間中任意兩點A(x1,x2,x3,…,xn),B(y1,y2,y3,…,yn)之間的平均離差二乘距離d(A,B)=1n∑i=1n(xiyi)2.設(shè)n維空間點集M={(x1,x2,x3,…,xn)|xi=0或1,其中i=1,2,3,…,n(1)若n=3,A,B∈M,且點A(0,1,0),d(A,B)=23,寫出所有的點B的坐標(biāo)(2)任取n維空間中的不同兩點P,Q∈M.(ⅰ)若n=4,求d(P,Q)=12的概率(ⅱ)記隨機(jī)變量X=d(P,Q),求E(X2)的取值范圍.

答案：1.C解析因為19位同學(xué)的積分,中位數(shù)是第10名,所以知道中位數(shù)即可判斷是否在前10.故選C.2.A解析因為隨機(jī)變量X~N(5,σ2),P(3<X<7)=m,P(4<X<6)=n,所以P(3<X<6)=P(3<X≤5)+P(5<X<6)=12P(3<X<7)+12P(4<X<6)=m+n3.A解析由題意及0.077×3=0.231>0.154,則0.077×(x1.2)=0.154,可得x=3.2t.故選A.4.B解析設(shè)5個位置依次為1,2,3,4,5,特殊元素優(yōu)先考慮,女生甲不在兩端,則只能在中間3個位置,兩女生不相鄰,則①甲在位置2,另一個女生只能在4或5,有2種選擇;②甲在位置3,另一個女生只能在1或5,有2種選擇;③甲在位置4,另一個女生只能在1或2,有2種選擇,根據(jù)分類加法計數(shù)原理,兩個女生的排法共有2+2+2=6種,剩余3個男生為全排列有A33=6種排法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,不同排法總數(shù)為6×6=36.故選5.D解析零假設(shè)為H0:是否喜歡冰雪運(yùn)動與學(xué)生性別無關(guān).設(shè)男生人數(shù)為6n(n∈N*),因為被調(diào)查的男、女生人數(shù)相同,所以女生人數(shù)也為6n(n∈N*),根據(jù)題意列出列聯(lián)表:是否喜歡冰雪運(yùn)動男生女生合計喜歡冰雪運(yùn)動5n4n9n不喜歡冰雪運(yùn)動n2n3n合計6n6n12n則χ2=12n(5n·2n-n·4n)26n·6n·9n·3n=432n5972n4=4n9,因為根據(jù)小概率值α=0.1,可以判斷H0不成立,即認(rèn)為是否喜歡冰雪運(yùn)動與學(xué)生性別有關(guān)6.A解析對于殘差圖(1)對應(yīng)的散點,隨機(jī)誤差滿足E(e1)=0的假設(shè),但是方差σ12隨著x的變化而變化,不滿足D(e1)=σ對圖(2)對應(yīng)的散點,均勻分布在水平帶狀區(qū)域內(nèi),隨機(jī)誤差滿足E(e2)=0的假設(shè),方差σ22不隨x的變化而變化,滿足D(e2)=σ22的假設(shè)7.B解析因為隨機(jī)變量ξ~N1,14,則E(ξ)=1,D(ξ)=14,因為(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,則a1=Cn1·2=2n,a2=Cn2·22=2所以a1a2=令f(x)=(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,所以f(0)=a0=1,f(1)=(1+2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5,故a1+a2+a3+a4+a5=351=242.故選B.8.D解析由題可得,甲、乙兩人通過訓(xùn)練的概率為p=C21p1(1p1)p22+C21p2(1p2)p12+p12p22=3p12p22+83p1p2,當(dāng)且僅當(dāng)p1=p2=23時,取等號,則3p12p22+83p1p2=3p12p22-89p1p2+16又注意到甲、乙在n輪訓(xùn)練中訓(xùn)練過關(guān)的輪數(shù)X滿足二項分布,則E(X)=np=16,結(jié)合p≤1627,可得n≥16×2716=27,故D正確.故選9.ACD解析對于A,設(shè)六(1)班的這5位同學(xué)的閱讀課外書籍的本數(shù)為x1,x2,x3,x4,x5(自左向右按照從小到大順序),因為中位數(shù)為11,則x3=11,又眾數(shù)為10,則x1=x2=10,所以該班級一定被評為“優(yōu)閱班級”,故A正確;對于B,舉反例,如六(2)班這5位同學(xué)的閱讀課外書籍的本數(shù)為9,10,11,12,12,滿足眾數(shù)為12,極差為3,故B錯誤;對于C,設(shè)六(3)班的這5位同學(xué)的閱讀課外書籍的本數(shù)為x1,x2,x3,x4,x5(自左向右按照從小到大順序),由平均數(shù)x=12,極差為3,即x5x1=3,若x1≤9,則x53≤9,解得x5≤12,這與x=12矛盾,故x1≥10,故C正確;對于D,設(shè)六(4)班的這5位同學(xué)的閱讀課外書籍的本數(shù)為x1,x2,x3,x4,x5(自左向右按照從小到大順序),設(shè)平均數(shù)x=12,方差s2=2,則2=15[(x112)2+(x212)2+(x312)2+(x412)2+(x512)2所以(x112)2+(x212)2+(x312)2+(x412)2+(x512)2=10,若x1≤8,則(x112)2≥16>10,與上式不符,不符合題意,若x1=9,由x=12,則x5>12,上式不成立,不符合題意,所以x1≥10,故D正確.故選ACD.10.BD解析對于選項A,因為A∩B={5},所以事件A與B不互斥,故A錯誤;對于選項B,P(AC)=P(BC)=P(AB)=14,P(A)=P(B)=P(C)=12,P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),故B對于選項C,A,B,C交集為{5},則P(ABC)=14,P(A)P(B)·P(C)=18,故C對于選項D,P(A|C)=P(AC)P(C)=12,P(C|A)11.ACD解析設(shè)記n次爬行后,該螞蟻落在點A或B或C的概率為rn,則pn+1=14rn,rn+1=p計算易得p2=14,r2=12,q2=14,p3=18,r3=34,q3=18,q4=316由原方程組可得rn+2=12rn+1+12rn,則rn+2+12rn+1=rn+1+12rn,所以rn+1+12rn為常數(shù)列,且rn+1+12rn同理rn+2rn+1=12(rn+1rn),且r2r1=12,所以rn+1rn=12n,由①②可知,rn=23-2312n,所以p2n+1=14r2n=16-1612.914解析由題意,在1~15這15個數(shù)字中,5的倍數(shù)有5,10,15,共3個,所以事件A發(fā)生的概率P(A)=315=15,記事件AB表示“若第一次抽到5,那么第二次從剩下14張卡片中抽小于5的卡片,有4種抽法;若第一次抽到10,那么第二次從剩下14張卡片中抽小于10的卡片,有9種抽法;若第一次抽到15,那么第二次從剩下14張卡片中抽小于15的卡片,有14種抽法.所以P(AB)=4+9+14A根據(jù)條件概率公式,P(B|A)=P(故答案為91413.216解析將這7個小球編號如下圖所示:分以下兩種情況討論:第一種,第一步,先取1,5,7號球,第二步,再取2,4,6號球,依次取2個球,最后一步,從剩余兩球依次摸取,此時不同的抽法種數(shù)為A33A3第二種,將(1,2),(4,5),(6,7)視為三個整體,前三個球從其中一個整體和每支不與3號球相鄰的小球中依次摸取,有6種,以1,2,5為例,可依次為(1,2,5),(1,5,2),(5,1,2),共3種,剩余3,4,6,7號球,先從4,7號球中摸一個,有2種情況,比如先取7號球,剩余三個相鄰的小球,接下來從4,6號球中取一個,有2種情況,最后剩余兩球摸取的先后順序任意,此時不同的取法種數(shù)為6×3×2×2×2=144.綜上所述,不同的取法種數(shù)為72+144=216種.故答案為216.14.91464567解析甲在首輪遇到乙的概率為17,此時甲獲勝的概率為12,甲遇到其他6名選手的概率為67,第一輪中甲和乙不相遇且兩人均獲勝,其概率為P1=67×232=821,進(jìn)入第二輪的4人中,甲和乙不相遇的概率為23,且兩人均擊敗對手的概率為232,故第二輪中甲和乙不相遇且兩人均獲勝,其概率為P2=23×232=827,所以甲、乙在第三輪爭奪冠軍的概率為P=P1P2=故答案為91415.解(1)依題意,x=1+2+3+4+55=3,而∑i=15xiyi=72,∑i=15xi2=55,y=4,則b^=∑i=15xiyi-nxy∑i=15xi2-nx2=72-5×3×455-5×32=1.2,a^=41.2×3=0(2)記“甲從西門進(jìn)入景區(qū)”為事件A,“甲從西門出景區(qū)”為事件B,“乙從西門出景區(qū)”為事件C,P(A)=14,P(A)=34,P(B|A)=15,P(B|A)由全概率公式得P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A)P(A)=15×14+34×45=1320,同理P(C)=1320,所以甲、乙兩名游客都從西門出景區(qū)的概率P16.解(1)由列聯(lián)表知s=100+80=180,t=80+70=150.(2)由列聯(lián)表知,未服用藥物A的動物有180只,未服用藥物A且患疾病B的動物有80只,所以未服用藥物A的動物患疾病B的頻率為80180所以未服用藥物A的動物患疾病B的概率的估計值為p=49(3)零假設(shè)為H0:藥物A對預(yù)防疾病B無效,由列聯(lián)表得到χ2=400×(100×70-150×根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗,推斷H0不成立,即認(rèn)為藥物A對預(yù)防疾病B有效,該推斷犯錯誤的概率不超過0.01.17.解(1)已知隨機(jī)抽取了1000名市民進(jìn)行調(diào)查,其中“不了解”的人數(shù)為100名,根據(jù)古典概型概率公式可得P=1001000=所以從該市成年人口中隨機(jī)抽取1人,對垃圾分類知識“不了解”的概率P=0.1.(2)原來“不了解”的市民占比為0.1,“非常了解”的市民占比為5801000=0.58,“一般了解”的市民占比為3201經(jīng)過重點宣傳后,“不了解”的市民中有50%轉(zhuǎn)變?yōu)椤耙话懔私狻?有20%轉(zhuǎn)變?yōu)椤胺浅Ａ私狻?其余保持不變,所以重點宣傳后“非常了解”的概率為0.58+0.1×20%=0.58+0.02=0.6.從該市成年人口中隨機(jī)抽取3人,記X為其中對垃圾分類知識“非常了解”的人數(shù),因為每次抽取是相互獨(dú)立的,且抽取到“非常了解”的概率都為0.6,所以X~B(3,0.6),根據(jù)二項分布的概率公式P(X=k)=C3k0.6k(10.6)3k,k=P(X=0)=C300.60(10.6)30=1×1×0.43=0P(X=1)=C310.61(10.6)31=3×0.6×0.42=0P(X=2)=C320.62(10.6)32=3×0.36×0.4=0P(X=3)=C330.63=0.63=0.所以X的分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216因為X~B(3,0.6),根據(jù)二項分布的數(shù)學(xué)期望公式可得E(X)=3×0.6=1.8.18.解(1)由于在頻率分布直方圖可知,所有矩形的面積之和為1,由題可知(0.010+a+0.040+0.015+0.010)×10=1,解得a=0.025,所以估計從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件的平均數(shù)為x=10×