一、解答題1．在平面直角坐標系中，點坐標為，點坐標為，過點作直線軸，垂足為，交線段于點.（1）如圖1，過點作，垂足為，連接.①填空：的面積為______；②點為直線上一動點，當時，求點的坐標；（2）如圖2，點為線段延長線上一點，連接，，線段交于點，若，請直接寫出點的坐標為______.2．已知AB∥CD，∠ABE與∠CDE的角分線相交于點F．（1）如圖1，若BM、DM分別是∠ABF和∠CDF的角平分線，且∠BED＝100°，求∠M的度數；（2）如圖2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度數；（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，請直接寫出∠M與∠BED之間的數量關系3．如圖1，把一塊含30°的直角三角板ABC的BC邊放置于長方形直尺DEFG的EF邊上．（1）根據圖1填空：∠1＝°，∠2＝°；（2）現(xiàn)把三角板繞B點逆時針旋轉n°．①如圖2，當n＝25°，且點C恰好落在DG邊上時，求∠1、∠2的度數；②當0°＜n＜180°時，是否會存在三角板某一邊所在的直線與直尺（有四條邊）某一邊所在的直線垂直？如果存在，請直接寫出所有n的值和對應的那兩條垂線；如果不存在，請說明理由．4．如圖，已知，是的平分線．（1）若平分，求的度數；（2）若在的內部，且于，求證：平分；（3）在（2）的條件下，過點作，分別交、于點、，繞著點旋轉，但與、始終有交點，問：的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，求其變化范圍．5．綜合與探究（問題情境）王老師組織同學們開展了探究三角之間數量關系的數學活動（1）如圖1，，點、分別為直線、上的一點，點為平行線間一點，請直接寫出、和之間的數量關系；（問題遷移）（2）如圖2，射線與射線交于點，直線，直線分別交、于點、，直線分別交、于點、，點在射線上運動，①當點在、（不與、重合）兩點之間運動時，設，．則，，之間有何數量關系？請說明理由．②若點不在線段上運動時（點與點、、三點都不重合），請你畫出滿足條件的所有圖形并直接寫出，，之間的數量關系．6．已知：直線AB∥CD，直線MN分別交AB、CD于點E、F，作射線EG平分∠BEF交CD于G，過點F作FH⊥MN交EG于H．（1）當點H在線段EG上時，如圖1①當∠BEG＝時，則∠HFG＝．②猜想并證明：∠BEG與∠HFG之間的數量關系．（2）當點H在線段EG的延長線上時，請先在圖2中補全圖形，猜想并證明：∠BEG與∠HFG之間的數量關系．7．小學的時候我們已經學過分數的加減法法則：“同分母分數相加減，分母不變，分子相加減；異分母分數相加減，先通分，轉化為同分母分數，再加減．”如：，反之，這個式子仍然成立，即：.（1）問題發(fā)現(xiàn)觀察下列等式：①，②，③，…，猜想并寫出第個式子的結果：．（直接寫出結果，不說明理由）（2）類比探究將（1）中的的三個等式左右兩邊分別相加得：，類比該問題的做法，請直接寫出下列各式的結果：①；②；（3）拓展延伸計算：．8．對任意一個三位數n，如果n滿足各數位上的數字互不相同，且都不為零，那么稱這個數為“夢幻數”，將一個“夢幻數”任意兩個數位上的數字對調后可以得到三個不同的新三數，把這三個新三位數的和與111的商記為K（n），例如，對調百位與十位上的數字得到213，對調百位與個位上的數字得到321，對調十位與個位上的數字得到132，這三個新三位數的和為，，所以．（1）計算：和；（2）若x是“夢幻數”，說明：等于x的各數位上的數字之和；（3）若x，y都是“夢幻數”，且，猜想：________，并說明你猜想的正確性．9．給定一個十進制下的自然數，對于每個數位上的數，求出它除以的余數，再把每一個余數按照原來的數位順序排列，得到一個新的數，定義這個新數為原數的“模二數”，記為.如.對于“模二數”的加法規(guī)定如下:將兩數末位對齊，從右往左依次將相應數位.上的數分別相加，規(guī)定:與相加得;與相加得與相加得，并向左邊一位進.如的“模二數”相加的運算過程如下圖所示.根據以上材料，解決下列問題:(1)的值為______，的值為_(2)如果兩個自然數的和的“模二數”與它們的“模二數”的和相等，則稱這兩個數“模二相加不變”.如，因為，所以，即與滿足“模二相加不變”.①判斷這三個數中哪些與“模二相加不變”，并說明理由；②與“模二相加不變”的兩位數有______個10．在已有運算的基礎上定義一種新運算：，的運算級別高于加減乘除運算，即的運算順序要優(yōu)先于運算，試根據條件回答下列問題．（1）計算：；（2）若，則；（3）在數軸上，數的位置如下圖所示，試化簡：；（4）如圖所示，在數軸上，點分別以1個單位每秒的速度從表示數-1和3的點開始運動，點向正方向運動，點向負方向運動，秒后點分別運動到表示數和的點所在的位置，當時，求的值．11．定義：如果，那么稱b為n的布谷數，記為.例如：因為，所以，因為，所以.（1）根據布谷數的定義填空：g（2）=________________,g（32）=___________________.（2）布谷數有如下運算性質：若m，n為正整數，則，.根據運算性質解答下列各題：①已知，求和的值；②已知.求和的值.12．閱讀下列材料：小明為了計算的值，采用以下方法：設①則②②-①得，請仿照小明的方法解決以下問題：（1）________；（2）_________；（3）求的和（，是正整數，請寫出計算過程）.13．已知，在平面直角坐標系中，AB⊥x軸于點B，點A滿足，平移線段AB使點A與原點重合，點B的對應點為點C．（1）則a＝，b＝，點C坐標為；（2）如圖1，點D（m，n）在線段BC上，求m，n滿足的關系式；（3）如圖2，E是線段OB上一動點，以OB為邊作∠BOG＝∠AOB，交BC于點G，連CE交OG于點F，當點E在線段OB上運動過程中，的值是否會發(fā)生變化？若變化請說明理由，若不變，請求出其值．14．如圖1，//，點、分別在、上，點在直線、之間，且．（1）求的值；（2）如圖2，直線分別交、的角平分線于點、，直接寫出的值；（3）如圖3，在內，；在內，，直線分別交、分別于點、，且，直接寫出的值．15．如圖，平面直角坐標系中，點的坐標是，點在軸的正半軸上，的面積等于18．（1）求點的坐標；（2）如圖，點從點出發(fā)，沿軸正方向運動，點運動至點停止，同時點從點出發(fā)，沿軸正方向運動，點運動至點停止，點、點的速度都為每秒1個單位，設運動時間為秒，的面積為，求用含的式子表示，并直接寫出的取值范圍；（3）在（2）的條件下，過點作，連接并延長交于，連接交于點，若，求值及點的坐標．16．對于三個數，，，表示，，這三個數的平均數，表示，，這三個數中最小的數，如：，；，．解決下列問題：（1）填空：______；（2）若，求的取值范圍；（3）①若，那么______；②根據①，你發(fā)現(xiàn)結論“若，那么______”（填，，大小關系）；③運用②解決問題：若，求的值．17．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點，其中滿足，D為直線AB與軸的交點，C為線段AB上一點，其縱坐標為.（1）求的值；（2）當為何值時，和面積的相等；（3）若點C坐標為（-2,1），點M（m，-3）在第三象限內，滿足，求m的取值范圍.（注：表示的面積）18．如圖1，以直角的直角頂點為原點，以，所在直線為軸和軸建立平面直角坐標系，點，，并且滿足．（1）直接寫出點，點的坐標；（2）如圖1，坐標軸上有兩動點，同時出發(fā)，點從點出發(fā)沿軸負方向以每秒2個單位長度的速度勻速運動，點從點出發(fā)沿軸正方向以每秒個單位長度的速度勻速運動，當點到達點整個運動隨之結束；線段的中點的坐標是，設運動時間為秒．是否存在，使得與的面積相等？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；（3）如圖2，在（2）的條件下，若，點是第二象限中一點，并且平分，點是線段上一動點，連接交于點，當點在上運動的過程中，探究，，之間的數量關系，直接寫出結論．19．如圖，和的度數滿足方程組，且，．（1）用解方程的方法求和的度數；（2）求的度數．20．閱讀下列文字，請仔細體會其中的數學思想．（1）解方程組，我們利用加減消元法，很快可以求得此方程組的解為；（2）如何解方程組呢？我們可以把m+5，n+3看成一個整體，設m+5＝x，n+3＝y(tǒng)，很快可以求出原方程組的解為；（3）由此請你解決下列問題：若關于m，n的方程組與有相同的解，求a、b的值．21．學校計劃為“我和我的祖國”演講比賽購買獎品．已知購買3個A獎品和2個B獎品共需120元；購買5個A獎品和4個B獎品共需210元．（1）求A，B兩種獎品的單價；（2）學校準備購買A，B兩種獎品共30個，且A獎品的數量不少于B獎品數量的．請設計出最省錢的購買方案，并說明理由．22．我市某包裝生產企業(yè)承接了一批上海世博會的禮品盒制作業(yè)務，為了確保質量，該企業(yè)進行試生產．他們購得規(guī)格是的標準板材作為原材料，每張標準板材再按照裁法一或裁法二裁下A型與B型兩種板材．如圖甲，（單位：）（1）列出方程（組），求出圖甲中a與b的值；（2）在試生產階段，若將30張標準板材用裁法一裁剪，4張標準板材用裁法二裁剪，再將得到的A型與B型板材做側面和底面，做成圖乙的豎式與橫式兩種禮品盒．①兩種裁法共產生A型板材________張，B型板材_______張；②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成豎式有蓋禮品盒x個，橫式無蓋禮品盒的y個，求x、y的值．23．如圖，平面直角坐標系中，已知點A（a，0），B（0，b），其中a，b滿足．將點B向右平移24個單位長度得到點C．點D，E分別為線段BC，OA上一動點，點D從點C以2個單位長度/秒的速度向點B運動，同時點E從點O以3個單位長度/秒的速度向點A運動，在D，E運動的過程中，DE交四邊形BOAC的對角線OC于點F．設運動的時間為t秒（0＜t＜10），四邊形BOED的面積記為S四邊形BOED（以下面積的表示方式相同）．（1）求點A和點C的坐標；（2）若S四邊形BOED≥S四邊形ACDE，求t的取值范圍；（3）求證：在D，E運動的過程中，S△OEF＞S△DCF總成立．24．某治污公司決定購買10臺污水處理設備．現(xiàn)有甲、乙兩種型號的設備可供選擇，其中每臺的價格與月處理污水量如下表：甲型乙型價格(萬元/臺)xy處理污水量(噸/月)300260經調查：購買一臺甲型設備比購買一臺乙型設備多2萬元，購買3臺甲型設備比購買4臺乙型設備少2萬元．（1）求x，y的值；（2）如果治污公司購買污水處理設備的資金不超過91萬元，求該治污公司有哪幾種購買方案；（3）在（2）的條件下，如果月處理污水量不低于2750噸，為了節(jié)約資金，請為該公司設計一種最省錢的購買方案．25．若任意一個代數式，在給定的范圍內求得的最大值和最小值恰好也在該范圍內，則稱這個代數式是這個范圍的“湘一代數式”．例如：關于x的代數式，當1x1時，代數式在x1時有最大值，最大值為1；在x0時有最小值，最小值為0，此時最值1，0均在1x1這個范圍內，則稱代數式是1x1的“湘一代數式”．（1）若關于的代數式，當時，取得的最大值為，最小值為，所以代數式（填“是”或“不是”）的“湘一代數式”．（2）若關于的代數式是的“湘一代數式”，求a的最大值與最小值．（3）若關于的代數式是的“湘一代數式”，求m的取值范圍．26．如圖，正方形ABCD的邊長是2厘米，E為CD的中點，Q為正方形ABCD邊上的一個動點，動點Q以每秒1厘米的速度從A出發(fā)沿運動，最終到達點D，若點Q運動時間為秒．（1）當時，平方厘米；當時，平方厘米；（2）在點Q的運動路線上，當點Q與點E相距的路程不超過厘米時，求的取值范圍；（3）若的面積為平方厘米，直接寫出值．27．材料1：我們把形如（、、為常數）的方程叫二元一次方程．若、、為整數，則稱二元一次方程為整系數方程．若是，的最大公約數的整倍數，則方程有整數解．例如方程都有整數解；反過來也成立．方程都沒有整數解，因為6，3的最大公約數是3，而10不是3的整倍數；4，2的最大公約數是2，而1不是2的整倍數．材料2：求方程的正整數解．解：由已知得：……①設（為整數），則……②把②代入①得：．所以方程組的解為，根據題意得：．解不等式組得0＜＜．所以的整數解是1，2，3．所以方程的正整數解是：，，．根據以上材料回答下列問題：（1）下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥．沒有整數解的方程是（填方程前面的編號）；（2）仿照上面的方法，求方程的正整數解；（3）若要把一根長30的鋼絲截成2長和3長兩種規(guī)格的鋼絲（兩種規(guī)格都要有），問怎樣截才不浪費材料？你有幾種不同的截法？（直接寫出截法，不要求解題過程）28．在平面直角坐標系xOy中．點A，B，P不在同一條直線上．對于點P和線段AB給出如下定義：過點P向線段AB所在直線作垂線，若垂足Q落在線段AB上，則稱點P為線段AB的內垂點．若垂足Q滿足|AQ-BQ|最小，則稱點P為線段AB的最佳內垂點．已知點A（﹣2，1），B（1，1），C（﹣4，3）．（1）在點P1（2，3）、P2（﹣5，0）、P3（﹣1，﹣2），P4（﹣，4）中，線段AB的內垂點為；（2）點M是線段AB的最佳內垂點且到線段AB的距離是2，則點M的坐標為；（3）點N在y軸上且為線段AC的內垂點，則點N的縱坐標n的取值范圍是；（4）已知點D（m，0），E（m+4，0），F(xiàn)（2m，3）．若線段CF上存在線段DE的最佳內垂點，求m的取值范圍．29．如圖，已知點，，．（1）求的面積；（2）點是在坐標軸上異于點的一點，且的面積等于的面積，求滿足條件的點的坐標；（3）若點的坐標為，且，連接交于點，在軸上有一點，使的面積等于的面積，請直接寫出點的坐標__________（用含的式子表示）．30．閱讀以下內容：已知有理數m，n滿足m+n＝3，且求k的值．三位同學分別提出了以下三種不同的解題思路：甲同學：先解關于m，n的方程組，再求k的值；乙同學：將原方程組中的兩個方程相加，再求k的值；丙同學：先解方程組，再求k的值．（1）試選擇其中一名同學的思路，解答此題；（2）在解關于x，y的方程組時，可以用①×7﹣②×3消去未知數x，也可以用①×2+②×5消去未知數y．求a和b的值．【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、解答題1．（1）①6；②的坐標為，；（2）.【解析】【分析】（1）①易證四邊形AECO為矩形，則點B到AE的距離為OA，AE=OC=3，OA=CE=4，S△ABE=AE?OA，即可得出結果；②設點的坐標為，分兩種情況:點在點上方，連接,得=++=8,點在點的下方，得=8,分別列出方程解方程即可得出結果；（2）由S△AOF=S△QBF，則S△AOB=S△QOB，△AOB與△QOB是以AB為同底的三角形，高分別為：OA、QC，得出OA=CQ，即可得出結果．【詳解】解：（1）①∵CD⊥x軸，AE⊥CD，∴AE∥x軸，四邊形AECO為矩形，點B到AE的距離為OA，∵點A（0，4），點C（3，0），∴AE=OC=3，OA=CE=4，∴S△ABE=AE?OA=×3×4=6，故答案為：6；②設點的坐標為.（i）∵點坐標為，點坐標為，∴.∵，∴.∴點在點上方，連接（如圖1）.根據題意得∵，∴，∴，∴.∴當點的坐標為.（ii）點在點的下方，連接（如圖2）.∵.∴.∴點在點的下方，根據題意得∵，∴，∴，∴.∴當點的坐標為.（2）（2）∵S△AOF=S△QBF，如圖3所示：∴S△AOB=S△QOB，∵△AOB與△QOB是以AB為同底的三角形，高分別為：OA、QC，∴OA=CQ，∴點Q的坐標為（3，4），故答案為：（3，4）．【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了圖形與點的坐標、矩形的判定與性質、三角形面積的計算等知識，熟練掌握圖形與點的坐標，靈活運用割補法表示三角形面積列出方程是解題的關鍵．2．（1）65°；（2）；（3）2n∠M+∠BED=360°【分析】（1）首先作EG∥AB，F(xiàn)H∥AB，連結MF，利用平行線的性質可得∠ABE+∠CDE=260°，再利用角平分線的定義得到∠ABF+∠CDF=130°，從而得到∠BFD的度數，再根據角平分線的定義和三角形外角的性質可求∠M的度數；（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠BED，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代換即可求解；（3）由（2）的方法可得到2n∠M+∠BED=360°．【詳解】解：（1）如圖1，作，，連結，，，，，，，，，，和的角平分線相交于，，，、分別是和的角平分線，，，，；（2）如圖1，，，，，與兩個角的角平分線相交于點，，，，，，；（3）由（2）結論可得，，，則．【點睛】本題主要考查了平行線的性質和四邊形的內角和，關鍵在于掌握兩直線平行同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補的性質．3．（1）120，90；（2）①∠1=120°-n°，∠2=90°+n°；②見解析【分析】（1）根據鄰補角的定義和平行線的性質解答；（2）①根據鄰補角的定義求出∠ABE，再根據兩直線平行，同位角相等可得∠1=∠ABE，根據兩直線平行，同旁內角互補求出∠BCG，然后根據周角等于360°計算即可得到∠2；②結合圖形，分AB、BC、AC三條邊與直尺垂直討論求解．【詳解】解：（1）∠1=180°-60°=120°，∠2=90°；故答案為：120，90；（2）①如圖2，∵∠ABC=60°，∴∠ABE=180°-60°-n°=120°-n°，∵DG∥EF，∴∠1=∠ABE=120°-n°，∠BCG=180°-∠CBF=180°-n°，∵∠ACB+∠BCG+∠2=360°，∴∠2=360°-∠ACB-∠BCG=360°-90°-（180°-n°）=90°+n°；②當n=30°時，∵∠ABC=60°，∴∠ABF=30°+60°=90°，AB⊥DG（EF）；當n=90°時，∠C=∠CBF=90°，∴BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；當n=120°時，∴AB⊥DE（GF）．【點睛】本題考查了平行線角的計算，垂線的定義，主要利用了平行線的性質，直角三角形的性質，讀懂題目信息并準確識圖是解題的關鍵．4．（1）90°；（2）見解析；（3）不變，180°【分析】（1）根據鄰補角的定義及角平分線的定義即可得解；（2）根據垂直的定義及鄰補角的定義、角平分線的定義即可得解；（3），過，分別作，，根據平行線的性質及平角的定義即可得解．【詳解】解（1），分別平分和，，，，；（2），，即，，是的平分線，，，又，，又在的內部，平分；（3）如圖，不發(fā)生變化，，過，分別作，，則有，，，，，，，，，，，，不變．【點睛】此題考查了平行線的性質，熟記平行線的性質及作出合理的輔助線是解題的關鍵．5．（1）；（2）①，理由見解析；②圖見解析，或【分析】（1）作PQ∥EF，由平行線的性質，即可得到答案；（2）①過作交于，由平行線的性質，得到，，即可得到答案；②根據題意，可對點P進行分類討論：當點在延長線時；當在之間時；與①同理，利用平行線的性質，即可求出答案．【詳解】解：（1）作PQ∥EF，如圖：∵，∴，∴，，∵∴；（2）①；理由如下：如圖，過作交于，∵，∴，∴，，∴；②當點在延長線時，如備用圖1：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPC=，∠EPD=，∴；當在之間時，如備用圖2：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPD=，∠CPE=，∴．【點睛】本題考查了平行線的性質，解題的關鍵是熟練掌握兩直線平行同旁內角互補，兩直線平行內錯角相等，從而得到角的關系．6．（1）①18°；②2∠BEG+∠HFG=90°，證明見解析；（2）2∠BEG-∠HFG=90°證明見解析部【分析】（1）①證明2∠BEG+∠HFG=90°，可得結論．②利用平行線的性質證明即可．（2）如圖2中，結論：2∠BEG-∠HFG=90°．利用平行線的性質證明即可．【詳解】解：（1）①∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=∠FEG，∵FH⊥EF，∴∠EFH=90°，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFG=180°，∴2∠BEG+90°+∠HFG=180°，∴2∠BEG+∠HFG=90°，∵∠BEG=36°，∴∠HFG=18°．故答案為：18°．②結論：2∠BEG+∠HFG=90°．理由：∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=∠FEG，∵FH⊥EF，∴∠EFH=90°，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFG=180°，∴2∠BEG+90°+∠HFG=180°，∴2∠BEG+∠HFG=90°．（2）如圖2中，結論：2∠BEG-∠HFG=90°．理由：∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=∠FEG，∵FH⊥EF，∴∠EFH=90°，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFG=180°，∴2∠BEG+90°-∠HFG=180°，∴2∠BEG-∠HFG=90°．【點睛】本題考查平行線的性質，角平分線的定義等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．7．(1)；(2)①；②；(3)．【分析】（1）根據題目中的式子可以寫出第n個式子的結果；（2）①根據題目中的式子的特點和（1）中的結果，可以求得所求式子的值；②根據題目中的式子的特點和（1）中的結果，可以求得所求式子的值；（3）根據題目中式子的特點，可以求得所求式子的值．【詳解】解：（1）由題目中的式子可得，，故答案為：；（2）①，故答案為：；②，故答案為：；（3）．【點睛】本題考查數字的變化類、有理數的混合運算，解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中式子的變化特點，求出所求式子的值．8．（1）;（2）見解析；（3）【分析】（1）根據的定義，可以直接計算得出；（2）設，得到新的三個數分別是：，這三個新三位數的和為，可以得到：；（3）根據（2）中的結論，猜想：．【詳解】解：（1）已知，所以新的三個數分別是：，這三個新三位數的和為，；同樣，所以新的三個數分別是：，這三個新三位數的和為，．（2）設，得到新的三個數分別是：，這三個新三位數的和為，可得到：，即等于x的各數位上的數字之和．（3）設，由（2）的結論可以得到：，，，根據三位數的特點，可知必然有：，，故答案是：．【點睛】此題考查了多位數的數字特征，每個數字是10以內的自然數且不為0，解題的關鍵是：結合新定義，可以計算出問題的解，注意把握每個數字都會出現(xiàn)一次的特點，區(qū)別數字與多為數的不同．9．（1）1011，1101；（2）①12，65，97，見解析，②38【分析】(1)根據“模二數”的定義計算即可；(2)①根據“模二數”和模二相加不變”的定義，分別計算和12+23，65+23,97+23的值，即可得出答案②設兩位數的十位數字為a，個位數字為b，根據a、b的奇偶性和“模二數”和模二相加不變”的定義進行討論，從而得出與“模二相加不變”的兩位數的個數【詳解】解:(1)，故答案為：①，，與滿足“模二相加不變”.，，，與不滿足“模二相加不變”.，，，與滿足“模二相加不變”②當此兩位數小于77時，設兩位數的十位數字為a，個位數字為b，；當a為偶數，b為偶數時，∴∴與滿足“模二相加不變”有12個（28、48、68不符合）當a為偶數，b為奇數時，∴∴與不滿足“模二相加不變”.但27、47、67、29、49、69符合共6個當a為奇數，b為奇數時，∴∴與不滿足“模二相加不變”.但17、37、57、19、39、59也不符合當a為奇數，b為偶數時，∴∴與滿足“模二相加不變”有16個，（18、38、58不符合）當此兩位數大于等于77時，符合共有4個綜上所述共有12+6+16+4=38故答案為：38【點睛】本題考查新定義，數字的變化類，認真觀察、仔細思考，分類討論的數學思想是解決這類問題的方法．能夠理解定義是解題的關鍵．10．（1）5；（2）5或1；（3）1+y-2x；（4）t1=3；t2=【分析】（1）根據題中的新運算列出算式，計算即可得到結果；（2）根據題中的新運算列出方程，解方程即可得到結果；（3）根據題中的新運算列出代數式，根據數軸得出x、y的取值范圍進行化簡即可；（4）根據A、B在數軸上的移動方向和速度可分別用代數式表示出數和，再根據（2）的解題思路即可得到結果．【詳解】解：（1）；（2）依題意得：，化簡得：，所以或，解得：x=5或x=1；（3）由數軸可知：0<x<1，y<0，所以===（4）依題意得：數a=?1+t，b=3?t；因為，所以，化簡得：，解得：t=3或t=，所以當時，的值為3或．【點睛】本題主要考查了定義新運算、有理數的混合運算和解一元一次方程，根據定義新運算列出關系式是解題的關鍵．11．（1）1；5；（2）①3.807，0.807；②；.【分析】（1）根據布谷數的定義把2和32化為底數為2的冪即可得出答案；（2）①根據布谷數的運算性質,g（14）=g（2×7）=g（2）+g（7），，再代入數值可得解；②根據布谷數的運算性質,先將兩式化為，，再代入求解.【詳解】解：（1）g（2）=g（21）=1，g（32）=g（25）=5；故答案為1，32；（2）①g（14）=g（2×7）=g（2）+g（7），∵g（7）=2.807，g（2）=1，∴g（14）=3.807；g（4）=g（22）=2，∴=g（7）-g（4）=2.807-2=0.807；故答案為3.807，0.807；②∵.∴；.【點睛】本題考查有理數的乘方運算，新定義；能夠將新定義的運算轉化為有理數的乘方運算是解題的關鍵．12．（1）；（2）；（3）【分析】（1）設式子等于s，將方程兩邊都乘以2后進行計算即可；（2）設式子等于s，將方程兩邊都乘以3，再將兩個方程相減化簡后得到答案；（3）設式子等于s，將方程兩邊都乘以a后進行計算即可.【詳解】（1）設s=①，∴2s=②，②-①得：s=，故答案為：；（2）設s=①，∴3s=②，②-①得：2s=，∴,故答案為：；（3）設s=①，∴as=②，②-①得：（a-1）s=，∴s=.【點睛】此題考查代數式的規(guī)律計算，能正確理解已知的代數式的運算規(guī)律是難點，依據規(guī)律對于每個式子變形計算是關鍵.13．（1）；（2）；（3）不變，值為2．【分析】（1）根據，即可得出a，b的值，再根據平移的性質得出，因為點C在y軸負半軸，即可得出點C的坐標；（2）過點D分別作DM⊥x軸于點M，DN⊥y軸于點N，連接OD，在中用等面積法即可求出m和n的關系式；（3）分別過點E，F(xiàn)作EP∥OA，F(xiàn)Q∥OA分別交y軸于點P，點Q，根據平行線的性質，得出進而得到的值．【詳解】（1）解：∵，∴∴∵且C在y軸負半軸上，∴,故填：；（2）如圖1，過點D分別作DM⊥x軸于點M，DN⊥y軸于點N，連接OD．∵AB⊥x軸于點B，且點A，D，C三點的坐標分別為：∴，∴,又∵S△BOC=S△BOD＋S△COD=OB×MD＋OC×ND，∴；（3）解：的值不變，值為2．理由如下：如圖所示，分別過點E，F(xiàn)作EP∥OA，F(xiàn)Q∥OA分別交y軸于點P，點Q，∵線段OC是由線段AB平移得到，∴BC∥OA，又∵EP∥OA，∴EP∥BC，∴∠GCF=∠PEC，∵EP∥OA，∴∠AOE=∠OEP，∴∠OEC=∠OEP+∠PEC=∠AOE+∠GCF，同理：∠OFC=∠AOF+∠GCF，又∵∠AOB=∠BOG，∴∠OFC=2∠AOE+∠GCF，∴．【點睛】本題主要考查了非負數的性質，坐標與圖形，平行線的判定與性質，以及平移的性質，解決問題的關鍵是作輔助線，運用等面積法，角的和差關系以及平行線的性質進行求解．14．（1）；（2）的值為40°；（3）．【分析】（1）過點O作OG∥AB，可得AB∥OG∥CD，利用平行線的性質可求解；（2）過點M作MK∥AB，過點N作NH∥CD，由角平分線的定義可設∠BEM=∠OEM=x，∠CFN=∠OFN=y，由∠BEO+∠DFO=260°可求x-y=40°，進而求解；（3）設直線FK與EG交于點H，F(xiàn)K與AB交于點K，根據平行線的性質即三角形外角的性質及，可得，結合，可得即可得關于n的方程，計算可求解n值．【詳解】證明：過點O作OG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥OG∥CD，∴∴即∵∠EOF=100°，∴∠；（2）解：過點M作MK∥AB，過點N作NH∥CD，∵EM平分∠BEO，F(xiàn)N平分∠CFO，設∵∴∴x-y=40°，∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，∴AB∥MK∥NH∥CD，∴∴=x-y=40°，的值為40°；（3）如圖，設直線FK與EG交于點H，F(xiàn)K與AB交于點K，∵AB∥CD，∴∵∴∵∴即∵FK在∠DFO內，∴，∵∴∴即∴解得．經檢驗，符合題意，故答案為：．【點睛】本題主要考查平行線的性質，角平分線的定義，靈活運用平行線的性質是解題的關鍵．15．（1）；（2）（）；（3）的值為4，點的坐標是．【分析】（1）根據△AOB的面積可求得OA的長，即可求得點A的坐標；（2）由題意可分別得，由三角形面積公式即可得結果，由點Q只在線段OB上運動，從而可得t的取值范圍；（3）利用割補方法，由則可求得t的值；連接OE，由可求得OF的長，從而求得點F的坐標．【詳解】（1）∵B(-6，0)，∴OB=6，∵，∴，∴OA=6，∴．（2）∵，，∴，∴（）（3）∵，，∴，∴，解得，則，∴，連接，如圖∵，∴∴∴點坐標為綜上所述：的值為4，點的坐標是．【點睛】本題考查了代數式，三角形面積，用到了割補方法，也是本題的關鍵和難點．16．（1）；（2）；（3）①1，②，③【分析】（1）先求出這些數的值，再根據運算規(guī)則即可得出答案；（2）先根據運算規(guī)則列出不等式組，再進行求解即可得出答案；（3）根據題中規(guī)定的表示，，這三個數的平均數，表示，，這三個數中最小的數，列出方程組即可求解．【詳解】（1），，故答案為：-4；（2）由題意得：，解得：，則x的取值范圍是：；（3），，，；若，則；根據得：，解得：，則，故答案為：1，．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的應用，解題關鍵是讀懂題意，根據題意結合方程和不等式去求解，考查綜合應用能力．17．（1）；（2）當時，和面積的相等；（3）m的取值范圍是【分析】（1）利用非負數的性質求出a，b，c即可．（2）設點D的坐標為（0，y），根據面積關系，構建方程求出y，再根據△BOC和△AOD面積的相等，構建方程求出t即可．（3）分兩種情形：①當-2＜m＜0時，如圖1中，②當m≤-2時，如圖2中，根據S△MOC≥5，構建不等式求解即可．【詳解】解：（1）∵|a-2|+(b-3)2+=0，又∵|a-2|≥0，(b-3)2≥0，≥0，∴，∴a=2，b=3，c=-4；（2）設點D的坐標為（0，y），則S△BOD=×BO×OD=×4×y＝2y，S△AOD=xA?OD=×2y=y，S△AOB=×OB?yA=×4×3＝6，∵S△BOD+S△AOD=S△AOB，即2y+y=6，解得y=2，即點D的坐標為（0，2），∴S△BOC=BO?yc=×4t=2t，S△AOD=xA?OD=×2×2=2，∵△BOC和△AOD面積的相等，即2t=2，解得t=1，∴當t=1時，△BOC和△AOD面積的相等；（3）①當-2＜m＜0時，如圖1中，過點C作CF⊥軸于點F，過點M作GE⊥軸于點E，過點C作CG⊥軸交GE于點G，則四邊形CGEF為矩形，∵SCGEF=2×4=8，S△CFO=×2×1＝1，S△EMO=×(0?m)×3=?m，S△CMG=×(m+2)×4＝2(m+2)，∴S△MOC=SCGEF-S△CFO-S△EMO-S△CMG=8?1?(?m)?2(m+2)=3?m，∵S△MOC≥5，即3?m≥5，解得m≤-4，這與-2＜m＜0矛盾．②當m≤-2時，如圖2中，過點C作GF⊥軸于點F，過點M作ME⊥軸于點E，過點M作MG⊥軸交GF于點G，則四邊形MEFG為矩形，∵SGMEF=(0-m)×4=-4m，S△CFO=×2×1＝1，S△EMO=×(0?m)×3=?m，S△CMG=×(?2?m)×4＝?2(m+2)，∴S△MOC=SCGEF-S△CFO-S△EMO-S△CMG=?4m?1?(?m)?[?2(m+2)]=3?m，∵S△MOC≥5，即3?m≥5，解得m≤-4，綜上所述，m的取值范圍是m≤-4．【點睛】本題考查了坐標與圖形的性質，三角形的面積，非負數的性質等知識，解題的關鍵是學會利用參數，構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．18．（1）（0，6），（8，0）；（2）存在t=2.4時，使得△ODP與△ODQ的面積相等；（3）∠DOG+∠ACE=∠OHC【分析】（1）利用非負性即可求出a，b即可得出結論；（2）先表示出OQ，OP，利用面積相等，建立方程求解即可得出結論；（3）先判斷出∠OAC=∠AOD，進而判斷出OG∥AC，即可判斷出∠FHC=∠ACE，同理∠FHO=∠DOG，即可得出結論．【詳解】解：（1）∵，∴a-b+2=0，b-8=0，∴a=6，b=8，∴A（0，6），C（8，0），故答案為（0，6），（8，0）；（2）由（1）知，A（0，6），C（8，0），∴OA=6，OB=8，由運動知，OQ=t，PC=2t，∴OP=8-2t，∵D（4，3），∴S△ODQ=OQ×|xD|=t×4=2t，S△ODP=OP×|yD|=（8-2t）×3=12-3t，∵△ODP與△ODQ的面積相等，∴2t=12-3t，∴t=2.4，∴存在t=2.4時，使得△ODP與△ODQ的面積相等；（3）∴∠GOD+∠ACE=∠OHC，理由如下：∵x軸⊥y軸，∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°，∴∠OAC+∠ACO=90°，又∵∠DOC=∠DCO，∴∠OAC=∠AOD，∵y軸平分∠GOD，∴∠GOA=∠AOD，∴∠GOA=∠OAC，∴OG∥AC，如圖，過點H作HF∥OG交x軸于F，∴HF∥AC，∴∠FHC=∠ACE，同理∠FHO=∠GOD，∵OG∥FH，∴∠DOG=∠FHO，∴∠DOG+∠ACE=∠FHO+∠FHC，即∠DOG+∠ACE=∠OHC．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了非負性的性質，三角形的面積公式，角平分線的定義，平行線的性質，正確作出輔助線是解本題的關鍵．19．（1），；（2）【分析】（1）把和當做未知數，利用加減消元法解二元一次方程組即可；（2）先證明AB∥EF，則可以得到CD∥AB，∠C+∠CAB=180°，求出∠CAB的度數即可求解．【詳解】解：（1）用②+①得：，解得，把代入①解得；（2）∵∴AB∥EF，∵，∴CD∥AB，∴∠C+∠CAB=180°，∵∠CAB=∠EAC+∠BAE，AC⊥AE，∴∠CAE=90°，∴∠CAB=140°∴40°．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，解二元一次方程組，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．20．（1）；（2）；（3）a＝3，b＝2．【分析】（1）利用加減消元法，可以求得；（2）利用換元法，設m+5=x，n+3=y，則方程組化為（1）中的方程組，可求得x，y的值進一步可求出原方程組的解；（3）把am和bn當成一個整體利用已知條件可求出am和bn，再把bn代入2m-bn=-2中求出m的值，然后把m的值代入3m+n=5可求出n的值，繼而可求出a、b的值．【詳解】解：（1）兩個方程相加得，∴，把代入得，∴方程組的解為：；故答案是：；（2）設m+5＝x，n+3＝y(tǒng)，則原方程組可化為，由（1）可得：，∴m+5＝1，n+3＝2，∴m＝-4，n＝-1，∴，故答案是：；(3)由方程組與有相同的解可得方程組，解得，把bn＝4代入方程2m﹣bn＝﹣2得2m＝2，解得m＝1，再把m＝1代入3m+n＝5得3+n＝5，解得n＝2，把m＝1代入am＝3得：a＝3，把n＝2代入bn＝4得：b＝2，所以a＝3，b＝2．【點睛】本題主要考查二元一次方程組的解法，重點是考查整體思想及換元法的應用，解題的關鍵是理解好整體思想．21．（1）A的單價30元，B的單價15元（2）購買A獎品8個，購買B獎品22個，花費最少【分析】（1）設A的單價為x元，B的單價為y元，根據題意列出方程組，即可求解；（2）設購買A獎品z個，則購買B獎品為個，購買獎品的花費為W元，根據題意得到由題意可知，，，根據一次函數的性質，即可求解；【詳解】解：（1）設A的單價為x元，B的單價為y元，根據題意，得，，A的單價30元，B的單價15元；（2）設購買A獎品z個，則購買B獎品為個，購買獎品的花費為W元，由題意可知，，，，當時，W有最小值為570元，即購買A獎品8個，購買B獎品22個，花費最少；【點睛】本題考查二元一次方程組的應用，一次函數的應用；能夠根據條件列出方程組，將最優(yōu)方案轉化為一次函數性質解題是關鍵．22．（1）a=60，b=40；（2）①64，38；②x=7，y=12【分析】（1）由圖示利用板材的長列出關于a、b的二元一次方程組求解；（2）①根據已知和圖示計算出兩種裁法共產生A型板材和B型板材的張數；②根據豎式與橫式禮品盒所需要的A、B兩種型號板材的張數列出關于x、y的二元一次方程組，然后求解即可．【詳解】解：（1）由題意得：，解得：，答：圖甲中與的值分別為：60、40；（2）①由圖示裁法一產生型板材為：，裁法二產生型板材為：，所以兩種裁法共產生型板材為（張，由圖示裁法一產生型板材為：，裁法二產生型板材為，，所以兩種裁法共產生型板材為（張，故答案為：64，38；②根據題意豎式有蓋禮品盒的個，橫式無蓋禮品盒的個，則型板材需要個，型板材需要個，所以，解得．【點睛】本題考查的知識點是二元一次方程組的應用，關鍵是根據已知先列出二元一次方程組求出a、b的值，根據圖示列出算式以及關于x、y的二元一次方程組．23．（1）A（30，0），C（24，7）；（2）≤t＜10；（3）見解析【分析】（1）利用非負數的性質求出a＝30，b＝7，得出A，B的坐標，由平移的性質可得出答案；（2）由題意得出CD＝2t，則BD＝24﹣2t，OE＝3t，根據梯形的面積公式得出S四邊形BOED＝×（24﹣2t+3t）×7，S四邊形ACDE＝×7×（2t+30﹣3t），則可得出關于t的不等式，解不等式可得出答案；（3）由題意可得出S△OEF﹣S△DCF＝3.5t，根據t＞0則可得出結論．【詳解】（1）解：∵∴＝0，|2a﹣3b﹣39|＝0．∴a﹣b﹣23＝0，2a﹣3b﹣39＝0，解得，a＝30，b＝7．∴A（30，0），B（0，7），∵點B向右平移24個單位長度得到點C，∴C（24，7）．（2）解：由題意得，CD＝2t，則BD＝24﹣2t，OE＝3t，∴S四邊形BOED＝×（24﹣2t+3t）×7，S四邊形ACDE＝×7×（2t+30﹣3t），∵S四邊形BOED≥S四邊形ACDE，∴×（24﹣2t+3t）×7≥××7×（2t+30﹣3t），解得t≥，∵0＜t＜10，∴≤t＜10．（3）證明：∵S△OEF﹣S△DCF＝S四邊形BOED﹣S△OBC＝×（24﹣2t+3t）×7﹣×24×7，∴S△OEF﹣S△DCF＝3.5t，∵0＜t＜10，∴3.5t＞0，∴S△OEF﹣S△DCF＞0，∴S△OEF＞S△DCF．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了非負數的性質，平移的性質，坐標與圖形的性質，梯形的面積，解一元一次不等式，解二元一次方程組，解題的關鍵學會利用參數解決問題，屬于中考?？碱}型．24．（1）；（2）該公司有6種購買方案，方案1：購買10臺乙型設備；方案2：購買1臺甲型設備，9臺乙型設備；方案3：購買2臺甲型設備，8臺乙型設備；方案4：購買3臺甲型設備，7臺乙型設備；方案5：購買4臺甲型設備，6臺乙型設備；方案6：購買5臺甲型設備，5臺乙型設備；（3）最省錢的購買方案為：購買4臺甲型設備，6臺乙型設備．【分析】（1）由一臺A型設備的價格是x萬元，一臺乙型設備的價格是y萬元，根據題意得等量關系：購買一臺甲型設備-購買一臺乙型設備=2萬元，購買4臺乙型設備-購買3臺甲型設備=2萬元，根據等量關系，列出方程組，再解即可；（2）設購買甲型設備m臺，則購買乙型設備（10-m）臺，由題意得不等關系：購買甲型設備的花費+購買乙型設備的花費≤91萬元，根據不等關系列出不等式，再解即可；（3）由題意可得：甲型設備處理污水量+乙型設備處理污水量≥2750噸，根據不等關系，列出不等式，再解即可．【詳解】（1）依題意，得：，解得：．（2）設該治污公司購進m臺甲型設備，則購進(10﹣m)臺乙型設備，依題意，得：10m+8(10﹣m)≤91，解得：m≤5．又∵m為非零整數，∴m=0，1，2，3，4，5，∴該公司有6種購買方案，方案1：購買10臺乙型設備；方案2：購買1臺甲型設備，9臺乙型設備；方案3：購買2臺甲型設備，8臺乙型設備；方案4：購買3臺甲型設備，7臺乙型設備；方案5：購買4臺甲型設備，6臺乙型設備；方案6：購買5臺甲型設備，5臺乙型設備．（3）依題意，得：300m+260(10﹣m)≥2750，解得：m≥3，∴m=4，5．當m=4時，總費用為10×4+8×6=88(萬元)；當m=5時，總費用為10×5+8×5=90(萬元)．∵88＜90，∴最省錢的購買方案為：購買4臺甲型設備，6臺乙型設備．【點睛】此題主要考查了二元一次方程組的應用和一元一次不等式的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系和不等關系，列出方程（組）和不等式．25．（1）是．（2）a的最大值為，最小值為；（3）【分析】（1）先求解當時，的最大值與最小值，再根據定義判斷即可；（2）當時，得分＜，分別求解在內時的最大值與最小值，再列不等式組即可得到答案；（3）當時，分，兩種情況分別求解的最大值與最小值，再列不等式（組）求解即可．【詳解】解：（1）當時，取最大值，當時，取最小值所以代數式是的“湘一代數式”．故答案為：是．（2）∵，∴0≤|x|≤2，∴①當a≥0時，x=0時，有最大值為，x=2或-2時，有最小值為所以可得不等式組，由①得：由②得：所以：②a＜0時，x=0時，有最小值為，x=2或-2時，的有大值為所以可得不等式組，由①得：由②得：所以：＜，綜上①②可得，所以a的最大值為，最小值為．（3）是的“湘一代數式”，當時，的最大值是最小值是當時，當時，取最小值當時，取最大值，解得：綜上：的取值范圍是：【點睛】本題考查的是新定義情境下的不等式或不等式組的應用，理解定義列不等式（組）是解題的關鍵．26．（1）1；（2）（3）【分析】（1）根據三角形的面積公式即可求解；（2）根據題意列出不等式組故可求解；（3）分Q點在AB上、BC上和CD上分別列出方程即可求解．【詳解】（1）當時，=1平方厘米；當時，=平方厘米；故答案為；；（2）解：根據題意，得解得，故的取值范圍為；（3）當Q點在AB上時，依題意可得解得；當Q點在BC上時，依題意可得解得＞6，不符合題意；當Q點在AB上時，依題意可得或解得或；∴值為．【點睛】此題主要考查不等式組與一元一次方程的應用，解題的關鍵是根據題意得到方程或不等式組進行求解．27．（1）①⑥；（2），，；（3）有四種不同的截法不浪費材料，分別為2長的鋼絲12根，3長的鋼絲2根；或2長的鋼絲9根，3長的鋼絲4根；或2長的鋼絲6根，3長的鋼絲6根；或2長的鋼絲3根，3長的鋼絲8根【分析】（1）依據題中給出的判斷方法進行判斷，先找出最大公約數，然后再看能否整除c，從而來判斷是否有整數解；（2）依據材料2的解題過程，即可求得結果；（3）根據題意，設2長的鋼絲為根，3長的鋼絲為根（為正整數）．則可得關于x，y的二元一次方程，利用材料2的求解方法，求得此方程的整數解，即可得出結論．【詳解】解：（1）①，因為3，9的最大公約數是3，而11不是3的整倍數，所以此方程沒有整數解；②，因為15，5的最大公約數是5，而70是5的整倍數，所以此方程有整數解；③，因為6，3的最大公